コーシー・ビネの公式のソースを表示

{{出典の明記|date=2022-03}}
{{混同|ビネ・コーシーの恒等式}}
[[代数学]]における'''コーシー・ビネの公式'''（こーしー・びねのこうしき、{{lang-en-short|Cauchy–Binet formula}}）、あるいは、'''コーシー・ビネの定理'''、'''コーシー・ビネの展開'''とは、[[ジャック・フィリップ・マリー・ビネ]]および[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]に由来する[[恒等式]]で、2つの[[行列]]の積から作られる[[正方行列]]の[[行列式]]は、元の行列から取り出せる最大の[[小行列式]]の積の和に等しいというものであり<ref name="伊理">{{Harvnb|伊理|韓|1977}}</ref>、行列の成分が[[実数]]や[[複素数]]などの[[可換環]]において成立する。

== 定理 ==
{{mvar|n}} を[[自然数]]とし、[[集合]] {{math2|{{mset|1, …, ''n''}}}} を {{math|[''n'']}} と表記する。{{mvar|m}} を非負[[整数]]として、{{mvar|A}} を {{math2|''m'' × ''n''}}[[行列]]、{{mvar|B}} を {{math2|''n'' × ''m''}}行列とする。{{mvar|S}} を要素数 {{math2|1=({{abs|''S''}} = )''m''}} の {{math|[''n'']}} の部分集合とする。{{mvar|A{{sub|S}}}} を、{{mvar|A}} の {{mvar|n}}個の'''列'''から {{mvar|S}} に含まれる添字の'''列'''を取り出して得られた {{mvar|m}}次正方行列、{{mvar|B{{sup|S}}}} を、{{mvar|B}} の {{mvar|n}}個の'''行'''から {{mvar|S}} に含まれる添字の'''行'''を取り出して得られた {{mvar|m}}次正方行列とする。

このとき積 {{mvar|AB}} は {{math2|''m'' × ''m''}}行列となり、その[[行列式]]は
 <math>\det(AB) = \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle S\subset[n]\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B^S)</math>
となる。ただし、総和について、{{mvar|S}} は、{{math|[''n'']}} の部分集合で要素数が {{mvar|m}} のものすべてを取るとする。なお、{{math2|''m'' > ''n''}} の場合は右辺は 0 である。

=== 成分による表示 ===
:<math>A:=\begin{pmatrix}
  a_{1,1} &\cdots &a_{1,m} &\cdots &a_{1,n} \\
  \vdots  &\ddots &\vdots  &\ddots &\vdots  \\
  a_{m,1} &\cdots &a_{m,m} &\cdots &a_{m,n}
\end{pmatrix}, \quad B:= \begin{pmatrix}
  b_{1,1} &\cdots &b_{1,m} \\
  \vdots  &\ddots &\vdots  \\
  b_{m,1} &\cdots &b_{m,m} \\
  \vdots  &\ddots &\vdots  \\
  b_{n,1} &\cdots &b_{n,m}
\end{pmatrix}</math>
と成分表示すると、公式は
:<math>\begin{align}
\begin{vmatrix}
\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,1} &\cdots &\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,m} \\
\vdots                              &\ddots &\vdots \\
\sum\limits_{k=1}^n a_{m,k} b_{k,1} &\cdots &\sum\limits_{k=1}^n a_{m,k} b_{k,m}
\end{vmatrix}
  &=\textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} \begin{vmatrix}
a_{1,k_1} &\cdots &a_{1,k_m} \\
\vdots    &\ddots &\vdots    \\
a_{m,k_1} &\cdots &a_{m,k_m}
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
b_{k_1,1} &\cdots &b_{k_1,m} \\
\vdots    &\ddots &\vdots    \\
b_{k_m,1} &\cdots &b_{k_m,m}
\end{vmatrix}
\end{align}</math>
と表現できる。ただし、右辺の総和は、{{math2|1 ≤ ''k''{{sub|1}} < … < ''k{{sub|m}}'' ≤ ''n''}} を満たす整数の組 {{math2|(''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|m}}'')}} の全てに対して取るとする。なお、{{math2|''m'' > ''n''}} の場合は右辺は {{math|0}} である。

=== 小行列式記法による表示 ===
記法
:<math>A\begin{pmatrix}
  i_1 &\cdots &i_l \\
  j_1 &\cdots &j_l
\end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix}
  a_{i_1,j_1} &\cdots &a_{i_1,j_l} \\
  \vdots    &\ddots & \vdots   \\
  a_{i_l,j_1} &\cdots &a_{i_l,j_l}
\end{vmatrix}</math>
を使えば
 <math>(AB) \begin{pmatrix}
1 &\cdots &m \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix} = \textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} A \begin{pmatrix}
1   &\cdots &m \\
k_1 &\cdots &k_m
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
k_1 &\cdots &k_m \\
1   &\cdots &m
\end{pmatrix}</math>
となる。ただし、右辺の総和は、{{math2|1 ≤ ''k''{{sub|1}} < … < ''k{{sub|m}}'' ≤ ''n''}} を満たす整数の組 {{math2|(''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|m}}'')}} の全てに対して和を取るとする。なお、{{math2|''m'' > ''n''}} の場合は右辺は {{math|0}} である。

=== 定理の証明 ===
行列式の[[多重線型写像|多重線型性]]により
:<math>\begin{align}
\det(AB) &= \begin{vmatrix}
  \sum\limits_{p_1=1}^n a_{1,p_1} b_{p_1,1} &\cdots &\sum\limits_{p_m=1}^n a_{1,p_m} b_{p_m,m} \\
  \vdots &\ddots &\vdots \\
  \sum\limits_{p_1=1}^n a_{m,p_1} b_{p_1,1} &\cdots &\sum\limits_{p_m=1}^n a_{m,p_m} b_{p_m,m}
\end{vmatrix} \\
&= \textstyle\sum\limits_{p_1=1}^n \cdots \sum\limits_{p_m=1}^n \begin{vmatrix}
  a_{1,p_1} &\cdots &a_{1,p_m} \\
  \vdots    &\ddots &\vdots \\
  a_{m,p_1} &\cdots &a_{m,p_m}
\end{vmatrix} \, b_{p_1,1} \cdots b_{p_m,m} \\
&= \textstyle\sum\limits_{p:[m]\to[n]} A \begin{pmatrix}
  1    &\cdots &m \\
  p(1) &\cdots &p(m)
\end{pmatrix}
b_{p(1),1} \cdots b_{p(m),m}
\end{align}</math>
が導かれる。最後の式の {{mvar|p}} は {{math2|{{mset|1, …, ''m''}}}} から {{math2|{{mset|1, …, ''n''}}}} への写像である。

行列式の[[反対称性]]により {{mvar|p}} が[[単射]]の場合のみ行列式は非零なので、{{math2|1=''p''(''i'') = ''k''(''π''(''i''))}} と置き換えられる。ここで、[[置換 (数学)|置換]] {{math2|''π'' : [''m''] → [''m'']}} は {{mvar|m}}次[[対称群]] <math>\mathfrak{S}_m</math> の元であり、{{math2|''k'' : [''m''] → [''n'']}} は {{math2|''i'' < ''j'' ⇒ ''k''(''i'') < ''k''(''j'')}} を満たす関数である。これより
:<math>\begin{align}
\det (AB)
  &= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle \pi\in\mathfrak{S}_m} \sum\limits_{k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i<j \Rightarrow k(i)<k(j)} A \begin{pmatrix}
  1         &\cdots &m         \\
  k(\pi(1)) &\cdots &k(\pi(m))
\end{pmatrix} b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\
  &= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle \pi\in\mathfrak{S}_m} \sum\limits_{k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i<j \Rightarrow k(i)<k(j)} \sgn(\pi)~ A \begin{pmatrix}
  1    &\cdots &m \\
  k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix} b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\


  &= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i<j \Rightarrow k(i)<k(j)} A \begin{pmatrix}
  1    &\cdots &m \\
  k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix} \sum\limits_{\pi\in\mathfrak{S}_m} \sgn(\pi)~ b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\
  &= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i<j \Rightarrow k(i)<k(j)} A \begin{pmatrix}
  1    &\cdots &m \\
  k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
  k(1) &\cdots &k(m) \\
  1    &\cdots &m
\end{pmatrix} \\
&= \textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} A \begin{pmatrix}
  1   &\cdots &m \\
  k_1 &\cdots &k_m
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
  k_1 &\cdots &k_m \\
  1   &\cdots &m
\end{pmatrix}
\end{align}</math>
が成り立つ。なお、{{math|sgn(''π'')}} は置換 {{π}} の[[対称群#置換の符号|符号]]であり、行列式の反対称性
:<math>A \begin{pmatrix}
  1         &\cdots &m \\
  k(\pi(1)) &\cdots &k(\pi(m))
\end{pmatrix} = \sgn(\pi)~ A \begin{pmatrix}
  1    &\cdots &m \\
  k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix}</math>
および、
:<math>B \begin{pmatrix}
  k(1) &\cdots &k(m) \\
  1    &\cdots &m
\end{pmatrix} = \textstyle\sum\limits_{\pi\in\mathfrak{S}_m} \sgn(\pi)~b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m}</math>
を用いた。

=== 具体例 ===
コーシー・ビネの公式を具体例で確認してみる。

（例1）{{math2|1=''m'' = 1, ''n'' = 3}} の場合として、行列 <math>A = \begin{pmatrix}
1 &1 &2
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
 1 \\
 3 \\
 0
\end{pmatrix}</math> を考える。<math>AB =\begin{pmatrix}
4
\end{pmatrix}, \det(AB) = 4</math>である。

<math>S=\{1\},\{2\},\{3\}</math> であるから、
:<math>\textstyle\sum\limits_{\scriptstyle S\subset[n] \atop\scriptstyle |S|=m} \det(A_S)\det(B^S)=\det(1)\cdot\det(1)+\det(1)\cdot\det(3)+\det(2)\cdot\det(0)=4.</math>
となる。

（例2）{{math2|1=''m'' = 2, ''n'' = 3}} の場合として、行列 <math>A = \begin{pmatrix}
1 &1 &2  \\
3 &1 &-1
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
 1& 1 \\
 3& 1 \\
 0& 2
\end{pmatrix}</math> を考える。<math>AB = \begin{pmatrix}
4 &6 \\
6 &2
\end{pmatrix}, \det(AB) = \begin{vmatrix}
4 &6 \\
6 &2
\end{vmatrix} =-28</math> である。

<math>S=\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}</math> であるから、
:<math>\begin{align}
  &\textstyle\sum\limits_{\scriptstyle S\subset[n] \atop\scriptstyle |S|=m} \det(A_S) \det(B^S) = \begin{vmatrix}
1 &1 \\
3 &1
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
1 &1 \\
3 &1
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
1 &2  \\
1 &-1
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
3 &1 \\
0 &2
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
1 &2  \\
3 &-1
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
1 &1 \\
0 &2
\end{vmatrix} \\
  &\qquad\qquad = (-2) \times (-2)+(-3) \times 6+(-7) \times 2 = -28. \\
\end{align}</math>
となる。

（例3）{{math2|1=''m'' = 3, ''n'' = 3}} の場合として、行列 <math>A = \begin{pmatrix}
1 &1 &2  \\
3 &1 &-1 \\
1 &-1 &0 \\
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
 1 &1 &0 \\
 3 &1 &0 \\
 0 &2 &1
\end{pmatrix}</math> を考える。<math>AB = \begin{pmatrix}
4  &6 &2  \\
6  &2 &-1 \\
-2 &0 &0
\end{pmatrix}, \det(AB) = \begin{vmatrix}
4  &6 &2  \\
6  &2 &-1 \\
-2 &0 &0
\end{vmatrix} =20</math> である。

<math>S=\{1,2,3\}</math> であるから、
:<math>\textstyle\sum\limits_{\scriptstyle S\subset[n] \atop\scriptstyle |S|=m} \det(A_S)\det(B^S) = \begin{vmatrix}
1 &1 &2  \\
3 &1 &-1 \\
1 &-1 &0
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
1 &1 &0 \\
3 &1 &0 \\
0 &2 &1
\end{vmatrix} = (-10) \times (-2) = 20.</math>
となる。

（例4）{{math2|1=''m'' = 4, ''n'' = 3}} の場合として、行列 <math>A = \begin{pmatrix}
1& 1  &2  \\
3& 1  &-1 \\
1& -1 &0  \\
1&  0 &0
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
 1& 1& 0& 1\\
 3& 1& 0& 0\\
 0& 2& 1& 0
\end{pmatrix}</math> を考える。<math>AB = \begin{pmatrix}
4  &6 &2  &1 \\
6  &2 &-1 &3 \\
-2 &0 &0  &1 \\
1  &1 &0  &1
\end{pmatrix}, \det(AB) = \begin{vmatrix}
4  &6 &2  &1 \\
6  &2 &-1 &3 \\
-2 &0 &0  &1 \\
1  &1 &0  &1
\end{vmatrix} =0</math> である。

<math>S</math> は存在しないから、
:<math>\textstyle\sum\limits_{\scriptstyle S\subset[n] \atop\scriptstyle |S|=m} \det(A_S)\det(B^S) =0.</math>
となる。

== 一般化されたクロネッカーのデルタとの関係 ==
:<math>
A \doteq \begin{pmatrix}
\delta^{i_1}_1 &\cdots &\delta^{i_1}_m &\cdots &\delta^{i_1}_n \\
\vdots         &\ddots &\vdots         &\ddots &\vdots         \\
\delta^{i_m}_1 &\cdots &\delta^{i_m}_m &\cdots &\delta^{i_m}_n
\end{pmatrix}, \quad B \doteq \begin{pmatrix}
\delta^1_{j_1} &\cdots &\delta^1_{j_m} \\
\vdots         &\ddots &\vdots         \\
\delta^m_{j_1} &\cdots &\delta^m_{j_m} \\
\vdots         &\ddots &\vdots         \\
\delta^n_{j_1} &\cdots &\delta^n_{j_m}
\end{pmatrix} \quad (i_k \in [n], j_k \in [n] \mathrm{~for~} k \in [m])
</math>
とする。ただし、δは<!--''n'' 次元2階(1,1)型[[テンソル]]としての-->[[クロネッカーのデルタ]]
:<math>\delta^{\mu}_{\nu} = \begin{cases}
1 &\quad (\mu=\nu)\\
0 &\quad (\mu\ne\nu)
\end{cases}</math>
である。
これをコーシー・ビネの公式に代入し、<!--''n''次元 2階(''m'', ''m'')型テンソルの-->[[クロネッカーのデルタ#一般化されたクロネッカーのデルタ|一般化されたクロネッカーのデルタ]]
:<math>\begin{align}
\delta^{i_1 \cdots i_m}_{j_1 \cdots j_m}
&\equiv
\begin{vmatrix}
\delta^{i_1}_{j_1} &\cdots &\delta^{i_1}_{j_m} \\
\vdots             &\ddots &\vdots             \\
\delta^{i_m}_{j_1} &\cdots &\delta^{i_m}_{j_m}
\end{vmatrix}
\end{align}</math>
を使えば、
 <math>\delta^{i_1 \cdots i_m}_{j_1 \cdots j_m} = \sum_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} \delta^{i_1 \cdots i_m}_{k_1 \cdots k_m} \delta^{k_1 \cdots k_m}_{j_1 \cdots j_m} \quad (i_p \in [n], j_p \in [n] \mathrm{~for~} p \in [m])</math>
が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。

これは単位行列の基本的性質
:<math>\delta^i_j = \sum_{k=1}^n \delta^i_k \delta^k_j \quad (i \in [n], j \in [n])</math>
の一般化である。

== 特別な場合 ==
{{math2|''m'' > ''n''}} の場合、{{math2|1 ≤ ''k''{{sub|1}} < … < ''k{{sub|m}}'' ≤ ''n''}} となる整数の組 {{math2|(''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|m}}'')}} は存在しないから、公式の右辺は 0 となる。このとき {{math2|''A'', ''B''}} の[[行列の階数|階数]]はこの場合高々 {{mvar|n}} だから、{{math2|''m'' × ''m''}} 行列 {{mvar|AB}} の階数も高々 {{math2|''n'' (< ''m'')}} であるので、公式の左辺 {{math|det(''AB'')}} は 0 となり、公式が成り立つ。

{{math2|1=''m'' = ''n''}} のとき、{{math2|''A'', ''B''}} は正方行列である。{{math2|1 ≤ ''k''{{sub|1}} < … < ''k{{sub|m}}'' ≤ ''n''}} となる整数の組 {{math2|(''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}, …, ''k{{sub|m}}'')}} は {{math|[''n'']}} に等しいから、公式は
:<math>(AB) \begin{pmatrix}
1 &\cdots &m \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}
1 &\cdots &m \\
1 &\cdots &n
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
1 &\cdots &n \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix}</math>
すなわち {{math2|1=det(''AB'') = det(''A'')det(''B'')}} となる。

{{math2|1=''m'' = 0}} のとき、{{math2|''A'', ''B''}} そして {{mvar|AB}} は空[[行列]]（ただし、{{math2|''n'' > 0}} なら行列の型は異なる）であり、空行列の行列式は定義により 1 だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。

{{math2|1=''m'' = 1}} のとき、公式は <math>\det \textstyle\sum\limits_{j=1}^n A_{1,j} B_{j,1} = \sum\limits_{k=1}^n \det(A^1_k) \det(B^k_1)</math> となるが、1×1行列 ''A'' に対して det(''A'') = ''A'' だから、自明の式を述べているに過ぎない。

{{math2|1=''m'' = 2}} は非自明な公式を与える最小の {{mvar|m}} であり、そのときの公式
 <math>\begin{vmatrix}
\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,1} &\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,2} \\
\sum\limits_{k=1}^n a_{2,k} b_{k,1} &\sum\limits_{k=1}^n a_{2,k} b_{k,2}
\end{vmatrix} = \textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < k_2 \le n} \begin{vmatrix}
a_{1,k_1} &a_{1,k_2} \\
a_{2,k_1} &a_{2,k_2}
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
b_{k_1,1} &b_{k_1,2} \\
b_{k_2,1} &b_{k_2,2}
\end{vmatrix}</math>
は[[ビネ・コーシーの恒等式]]と呼ばれる。

=== ''n'' = 3 の場合の具体例 ===
<math>\boldsymbol{a}, \boldsymbol{x}</math> などは3次元ベクトルとする。
<math>\begin{align}
1 &=1 &(m=0) \\
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x} &= a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 &(m=1) \\
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y} \\
\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{y}
\end{vmatrix}
 &= \begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
x_2 & y_2\\
x_3 & y_3
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a_3 & a_1 \\
b_3 & b_1
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
x_3 & y_3 \\
x_1 & y_1
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a_1 & a_2\\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix} \\
&= (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y}) &(m=2) \\
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y} & \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{z}\\
\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{y} & \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{z}\\
\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{y} & \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{z}
\end{vmatrix}
 &= \begin{vmatrix}
a_1 &a_2 &a_3 \\
b_1 &b_2 &b_3 \\
c_1 &c_2 &c_3
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_1 &y_1 &z_1 \\
x_2 &y_2 &z_2 \\
x_3 &y_3 &z_3
\end{vmatrix} \\
&= \{ \boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \} \{ \boldsymbol{x}\cdot (\boldsymbol{y} \times \boldsymbol{z}) \}
& (m=3) \\
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{y} &\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{z} &\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{w} \\
\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{y} &\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{z} &\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{w} \\
\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{x} & \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{y} &\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{z} &\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{w} \\
\boldsymbol{d}\cdot \boldsymbol{x} &\boldsymbol{d}\cdot \boldsymbol{y} &\boldsymbol{d}\cdot \boldsymbol{z} &\boldsymbol{d}\cdot \boldsymbol{w}
\end{vmatrix}
 &= 0 &(m=4)
\end{align}</math>

''m'' > 3 の場合、右辺は常に0である。なお、
:''m'' = 2 の式は[[四重積 (ベクトル解析)#スカラー四重積|スカラー四重積]]に対する[[ビネ・コーシーの恒等式]]、
:''m'' = 3 の式は[[三重積 (ベクトル解析)#スカラー三重積|スカラー三重積]]の積に対する公式
であり、''m'' = 4 の式より[[四重積 (ベクトル解析)]] の公式：
:<math>\begin{align}
~ [ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} ] \boldsymbol{d}
&= [ \boldsymbol{d},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} ] \boldsymbol{a}
+ [ \boldsymbol{a},\boldsymbol{d},\boldsymbol{c} ] \boldsymbol{b}
+ [ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d} ] \boldsymbol{c}
\quad ([ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} ] = \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}))
\end{align}</math>

が導かれる。<!--

== Geometric interpretations ==
If ''A'' is a real ''m''×''n'' matrix, then det(''A'' ''A''{{sup|T}}) is equal to the square of the ''m''-dimensional volume of the [[parallelepiped]] spanned in '''R'''{{sup|''n''}} by the ''m'' rows of ''A''. Binet's formula states that this is equal to the sum of the squares of the volumes that arise if the parallelepiped is orthogonally projected onto the ''m''-dimensional coordinate planes (of which there are <math>\tbinom nm</math>).

In the case ''m'' = 1 the parallelepiped is reduced to a single vector and its volume its length. The above statement then states that the square of the length of a vector is the sum of the squares of its coordinates; this is indeed the case by [[Euclidean distance|the definition]] of that length, which is based on the [[Pythagorean theorem]].

== Generalization ==
The Cauchy–Binet formula can be extended in a straightforward way to a general formula for the [[minor (linear algebra)|minors]] of the product of two matrices. That formula is given in the article on [[minor (linear algebra)|minors]].-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author1=伊理正夫|authorlink1=伊理正夫 |author2=韓太舜|authorlink2=韓太舜 |date=1977-06 |title=線形代数 行列とその標準形 |series=新しい応用の数学16 |publisher=教育出版 |isbn=4-316-37670-5 |ref={{Harvid|伊理|韓|1977}}}}
* Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) ''A Comprehensive Introduction to Linear Algebra'', §4.6 Cauchy- Binet theorem, pp.208-14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.
* Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) ''Linear Algebra'' 2nd edition, Example 2.15 Binet-Cauchy formula, pp.66,7, Birkhäuser ISBN 0-8176-4294-3.
* Igor R. Shafarevich & Alexey O. Remizov (2012) ''Linear Algebra and Geometry'', §2.9 (p.68) & §10.5 (p. 377), [[Springer Science+Business Media|Springer]] ISBN 978-3-642-30993-9.
* Aaron Lauve (2004) [http://www.lacim.uqam.ca/~lauve/courses/su2005-550/BS3.pdf A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula] from Université du Québec à Montréal.

== 関連項目 ==
* [[ビネ・コーシーの恒等式]]

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|1305|ビネ・コーシーの定理とその証明}}

{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:こしひねのていり}}
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