コーシー・ビネの公式

テンプレート:出典の明記 テンプレート:混同 代数学におけるコーシー・ビネの公式（こーしー・びねのこうしき、テンプレート:Lang-en-short）、あるいは、コーシー・ビネの定理、コーシー・ビネの展開とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する恒等式で、2つの行列の積から作られる正方行列の行列式は、元の行列から取り出せる最大の小行列式の積の和に等しいというものであり、行列の成分が実数や複素数などの可換環において成立する。

定理

テンプレート:Mvar を自然数とし、集合 テンプレート:Math2 を テンプレート:Math と表記する。テンプレート:Mvar を非負整数として、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math2行列、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math2行列とする。テンプレート:Mvar を要素数 テンプレート:Math2 の テンプレート:Math の部分集合とする。テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar個の列から テンプレート:Mvar に含まれる添字の列を取り出して得られた テンプレート:Mvar次正方行列、テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar個の行から テンプレート:Mvar に含まれる添字の行を取り出して得られた テンプレート:Mvar次正方行列とする。

このとき積 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2行列となり、その行列式は

$\det (AB)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset [n]}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B^S)$

となる。ただし、総和について、テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math の部分集合で要素数が テンプレート:Mvar のものすべてを取るとする。なお、テンプレート:Math2 の場合は右辺は 0 である。

成分による表示

$A:=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,m}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,m}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right),B:=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& \cdots & b_{1,m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m,1}& \cdots & b_{m,m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n,1}& \cdots & b_{n,m}\end{array}\right)$

と成分表示すると、公式は

$\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{ccc}\sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,1}& \cdots & \sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \sum _{k=1}^n{a}_{m,k}{b}_{k,1}& \cdots & \sum _{k=1}^n{a}_{m,k}{b}_{k,m}\end{array}\right|& =\sum _{1\le k_1<\cdots <k_m\le n}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1,k_1}& \cdots & a_{1,k_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,k_1}& \cdots & a_{m,k_m}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{b}_{k_1,1}& \cdots & b_{k_1,m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{k_m,1}& \cdots & b_{k_m,m}\end{array}\right|\end{array}$

と表現できる。ただし、右辺の総和は、テンプレート:Math2 を満たす整数の組 テンプレート:Math2 の全てに対して取るとする。なお、テンプレート:Math2 の場合は右辺は テンプレート:Math である。

小行列式記法による表示

記法

$A\left(\begin{array}{ccc}{i}_1& \cdots & i_l\\ j_1& \cdots & j_l\end{array}\right)\equiv \left|\begin{array}{ccc}{a}_{i_1,j_1}& \cdots & a_{i_1,j_l}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i_l,j_1}& \cdots & a_{i_l,j_l}\end{array}\right|$

を使えば

$(AB)\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)=\sum _{1\le k_1<\cdots <k_m\le n}A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k_1& \cdots & k_m\end{array}\right)B\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& \cdots & k_m\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)$

となる。ただし、右辺の総和は、テンプレート:Math2 を満たす整数の組 テンプレート:Math2 の全てに対して和を取るとする。なお、テンプレート:Math2 の場合は右辺は テンプレート:Math である。

定理の証明

行列式の多重線型性により

$\begin{array}{cc}\det (AB)& =\left|\begin{array}{ccc}\sum _{p_1=1}^n{a}_{1,p_1}{b}_{p_1,1}& \cdots & \sum _{p_m=1}^n{a}_{1,p_m}{b}_{p_m,m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \sum _{p_1=1}^n{a}_{m,p_1}{b}_{p_1,1}& \cdots & \sum _{p_m=1}^n{a}_{m,p_m}{b}_{p_m,m}\end{array}\right|\\ & =\sum _{p_1=1}^n\cdots \sum _{p_m=1}^n\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1,p_1}& \cdots & a_{1,p_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,p_1}& \cdots & a_{m,p_m}\end{array}\right|b_{p_1,1}\cdots b_{p_m,m}\\ & =\sum _{p:[m]\to [n]}A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ p(1)& \cdots & p(m)\end{array}\right)b_{p(1),1}\cdots b_{p(m),m}\end{array}$

が導かれる。最後の式の テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 から テンプレート:Math2 への写像である。

行列式の反対称性により テンプレート:Mvar が単射の場合のみ行列式は非零なので、テンプレート:Math2 と置き換えられる。ここで、置換 テンプレート:Math2 は テンプレート:Mvar次対称群 ${𝔖}_m$ の元であり、テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 を満たす関数である。これより

$\begin{array}{cc}\det (AB)& =\sum _{\pi \in {𝔖}_m}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k:[m]\to [n]}{i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}}A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k(\pi (1))& \cdots & k(\pi (m))\end{array}\right)b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\ & =\sum _{\pi \in {𝔖}_m}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k:[m]\to [n]}{i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}}\mathrm{sgn}(\pi )A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k(1)& \cdots & k(m)\end{array}\right)b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\ & =\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k:[m]\to [n]}{i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}}A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k(1)& \cdots & k(m)\end{array}\right)\sum _{\pi \in {𝔖}_m}\mathrm{sgn}(\pi )b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\ & =\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k:[m]\to [n]}{i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}}A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k(1)& \cdots & k(m)\end{array}\right)B\left(\begin{array}{ccc}k(1)& \cdots & k(m)\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)\\ & =\sum _{1\le k_1<\cdots <k_m\le n}A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k_1& \cdots & k_m\end{array}\right)B\left(\begin{array}{ccc}{k}_1& \cdots & k_m\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)\end{array}$

が成り立つ。なお、テンプレート:Math は置換 テンプレート:Π の符号であり、行列式の反対称性

$A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k(\pi (1))& \cdots & k(\pi (m))\end{array}\right)=\mathrm{sgn}(\pi )A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ k(1)& \cdots & k(m)\end{array}\right)$

および、

$B\left(\begin{array}{ccc}k(1)& \cdots & k(m)\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)=\sum _{\pi \in {𝔖}_m}\mathrm{sgn}(\pi )b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}$

を用いた。

具体例

コーシー・ビネの公式を具体例で確認してみる。

（例1）テンプレート:Math2 の場合として、行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ を考える。$AB=\left(\begin{array}{c}4\end{array}\right),\det (AB)=4$である。

$S=\{1\},\{2\},\{3\}$ であるから、

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset [n]}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B^S)=\det (1)\cdot \det (1)+\det (1)\cdot \det (3)+\det (2)\cdot \det (0)=4.$

となる。

（例2）テンプレート:Math2 の場合として、行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 3& 1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ を考える。$AB=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 2\end{array}\right),\det (AB)=\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 2\end{array}\right|=-28$ である。

$S=\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}$ であるから、

$\begin{array}{cc}& \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset [n]}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B^S)=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|\\ & =(-2)\times (-2)+(-3)\times 6+(-7)\times 2=-28.\\ \end{array}$

となる。

（例3）テンプレート:Math2 の場合として、行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 3& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$ を考える。$AB=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 6& 2& -1\\ -2& 0& 0\end{array}\right),\det (AB)=\left|\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 6& 2& -1\\ -2& 0& 0\end{array}\right|=20$ である。

$S=\{1,2,3\}$ であるから、

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset [n]}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B^S)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 3& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right|=(-10)\times (-2)=20.$

となる。

（例4）テンプレート:Math2 の場合として、行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 3& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 3& 1& 0& 0\\ 0& 2& 1& 0\end{array}\right)$ を考える。$AB=\left(\begin{array}{cccc}4& 6& 2& 1\\ 6& 2& -1& 3\\ -2& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right),\det (AB)=\left|\begin{array}{cccc}4& 6& 2& 1\\ 6& 2& -1& 3\\ -2& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right|=0$ である。

$S$ は存在しないから、

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset [n]}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B^S)=0.$

となる。

一般化されたクロネッカーのデルタとの関係

$A\doteq \left(\begin{array}{ccccc}{\delta }_1^{i_1}& \cdots & {\delta }_m^{i_1}& \cdots & {\delta }_n^{i_1}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_1^{i_m}& \cdots & {\delta }_m^{i_m}& \cdots & {\delta }_n^{i_m}\end{array}\right),B\doteq \left(\begin{array}{ccc}{\delta }_{j_1}^1& \cdots & {\delta }_{j_m}^1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{j_1}^m& \cdots & {\delta }_{j_m}^m\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{j_1}^n& \cdots & {\delta }_{j_m}^n\end{array}\right)(i_k\in [n],j_k\in [n]\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}k\in [m])$

とする。ただし、δはクロネッカーのデルタ

${\delta }_{\nu }^{\mu }=\{\begin{array}{cc}1& (\mu =\nu )\\ 0& (\mu \ne \nu )\end{array}$

である。 これをコーシー・ビネの公式に代入し、一般化されたクロネッカーのデルタ

$\begin{array}{cc}{\delta }_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_m}& \equiv \left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{j_1}^{i_1}& \cdots & {\delta }_{j_m}^{i_1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{j_1}^{i_m}& \cdots & {\delta }_{j_m}^{i_m}\end{array}\right|\end{array}$

を使えば、

${\delta }_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_m}=\sum _{1\le k_1<\cdots <k_m\le n}{\delta }_{k_1\cdots k_m}^{i_1\cdots i_m}{\delta }_{j_1\cdots j_m}^{k_1\cdots k_m}(i_p\in [n],j_p\in [n]\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}p\in [m])$

が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。

これは単位行列の基本的性質

${\delta }_j^i=\sum _{k=1}^n{\delta }_k^i{\delta }_j^k(i\in [n],j\in [n])$

の一般化である。

特別な場合

テンプレート:Math2 の場合、テンプレート:Math2 となる整数の組 テンプレート:Math2 は存在しないから、公式の右辺は 0 となる。このとき テンプレート:Math2 の階数はこの場合高々 テンプレート:Mvar だから、テンプレート:Math2 行列 テンプレート:Mvar の階数も高々 テンプレート:Math2 であるので、公式の左辺 テンプレート:Math は 0 となり、公式が成り立つ。

テンプレート:Math2 のとき、テンプレート:Math2 は正方行列である。テンプレート:Math2 となる整数の組 テンプレート:Math2 は テンプレート:Math に等しいから、公式は

$(AB)\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & m\\ 1& \cdots & n\end{array}\right)B\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & n\\ 1& \cdots & m\end{array}\right)$

すなわち テンプレート:Math2 となる。

テンプレート:Math2 のとき、テンプレート:Math2 そして テンプレート:Mvar は空行列（ただし、テンプレート:Math2 なら行列の型は異なる）であり、空行列の行列式は定義により 1 だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。

テンプレート:Math2 のとき、公式は $\det \sum _{j=1}^n{A}_{1,j}{B}_{j,1}=\sum _{k=1}^n\det (A_k^1)\det (B_1^k)$ となるが、1×1行列 A に対して det(A) = A だから、自明の式を述べているに過ぎない。

テンプレート:Math2 は非自明な公式を与える最小の テンプレート:Mvar であり、そのときの公式

$\left|\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,1}& \sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,2}\\ \sum _{k=1}^n{a}_{2,k}{b}_{k,1}& \sum _{k=1}^n{a}_{2,k}{b}_{k,2}\end{array}\right|=\sum _{1\le k_1<k_2\le n}\left|\begin{array}{cc}{a}_{1,k_1}& a_{1,k_2}\\ a_{2,k_1}& a_{2,k_2}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{b}_{k_1,1}& b_{k_1,2}\\ b_{k_2,1}& b_{k_2,2}\end{array}\right|$

はビネ・コーシーの恒等式と呼ばれる。

n = 3 の場合の具体例

$𝒂,𝒙$ などは3次元ベクトルとする。 $\begin{array}{ccc}1& =1& (m=0)\\ 𝒂\cdot 𝒙& =a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3& (m=1)\\ \left|\begin{array}{cc}𝒂\cdot 𝒙& 𝒂\cdot 𝒚\\ 𝒃\cdot 𝒙& 𝒃\cdot 𝒚\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ x_3& y_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{x}_3& y_3\\ x_1& y_1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\\ & =(𝒂\times 𝒃)\cdot (𝒙\times 𝒚)& (m=2)\\ \left|\begin{array}{ccc}𝒂\cdot 𝒙& 𝒂\cdot 𝒚& 𝒂\cdot 𝒛\\ 𝒃\cdot 𝒙& 𝒃\cdot 𝒚& 𝒃\cdot 𝒛\\ 𝒄\cdot 𝒙& 𝒄\cdot 𝒚& 𝒄\cdot 𝒛\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|\\ & =\{𝒂\cdot (𝒃\times 𝒄)\}\{𝒙\cdot (𝒚\times 𝒛)\}& (m=3)\\ \left|\begin{array}{cccc}𝒂\cdot 𝒙& 𝒂\cdot 𝒚& 𝒂\cdot 𝒛& 𝒂\cdot 𝒘\\ 𝒃\cdot 𝒙& 𝒃\cdot 𝒚& 𝒃\cdot 𝒛& 𝒃\cdot 𝒘\\ 𝒄\cdot 𝒙& 𝒄\cdot 𝒚& 𝒄\cdot 𝒛& 𝒄\cdot 𝒘\\ 𝒅\cdot 𝒙& 𝒅\cdot 𝒚& 𝒅\cdot 𝒛& 𝒅\cdot 𝒘\end{array}\right|& =0& (m=4)\end{array}$

m > 3 の場合、右辺は常に0である。なお、

m = 2 の式はスカラー四重積に対するビネ・コーシーの恒等式、

m = 3 の式はスカラー三重積の積に対する公式

であり、m = 4 の式より四重積 (ベクトル解析) の公式：

$\begin{array}{cc}[𝒂,𝒃,𝒄]𝒅& =[𝒅,𝒃,𝒄]𝒂+[𝒂,𝒅,𝒄]𝒃+[𝒂,𝒃,𝒅]𝒄([𝒂,𝒃,𝒄]=𝒂\cdot (𝒃\times 𝒄))\end{array}$

が導かれる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy- Binet theorem, pp.208-14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.
• Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) Linear Algebra 2nd edition, Example 2.15 Binet-Cauchy formula, pp.66,7, Birkhäuser ISBN 0-8176-4294-3.
• Igor R. Shafarevich & Alexey O. Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p.68) & §10.5 (p. 377), Springer ISBN 978-3-642-30993-9.
• Aaron Lauve (2004) A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula from Université du Québec à Montréal.

関連項目

• ビネ・コーシーの恒等式

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語