四重積 (ベクトル解析)

四重積（よんじゅうせき）とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー四重積とベクトル四重積の総称である。

スカラー四重積

スカラー四重積は2つのクロス積のドット積である。

$(𝒂\times 𝒃)\cdot (𝒄\times 𝒅)$

ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には a, b で張られた面積ベクトルと c, d で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。

以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)

$\begin{array}{cc}(𝒂\times 𝒃)\cdot (𝒄\times 𝒅)& =(𝒂\cdot 𝒄)(𝒃\cdot 𝒅)-(𝒂\cdot 𝒅)(𝒃\cdot 𝒄)\\ & =\det \left(\begin{array}{cc}𝒂\cdot 𝒄& 𝒂\cdot 𝒅\\ 𝒃\cdot 𝒄& 𝒃\cdot 𝒅\end{array}\right)\end{array}$

が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば

$\begin{array}{cc}(𝒂\times 𝒃)\cdot (𝒄\times 𝒅)& =((𝒂\times 𝒃)\times 𝒄)\cdot 𝒅\\ & =((𝒂\cdot 𝒄)𝒃-(𝒃\cdot 𝒄)𝒂)\cdot 𝒅\\ & =(𝒂\cdot 𝒄)(𝒃\cdot 𝒅)-(𝒂\cdot 𝒅)(𝒃\cdot 𝒄)\end{array}$

と導ける。

あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式

$\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{d}_j\right)-\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{c}_j\right)$

を既知とすれば、n=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である

$\Vert 𝒂\times 𝒃{\Vert }^2=\Vert 𝒂{\Vert }^2\Vert 𝒃{\Vert }^2-(𝒂\cdot 𝒃{)}^2$

も有用な公式でテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

ベクトル四重積

ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。

$(𝒂\times 𝒃)\times (𝒄\times 𝒅)$

ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。

ベクトル三重積の公式を使えば

$\begin{array}{cc}(𝒂\times 𝒃)\times (𝒄\times 𝒅)& =[𝒂,𝒃,𝒅]𝒄-[𝒂,𝒃,𝒄]𝒅\\ & =[𝒂,𝒄,𝒅]𝒃-[𝒃,𝒄,𝒅]𝒂\\ \end{array}$

が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。

2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。

2つの右辺が等しいことより恒等式

$[𝒂,𝒃,𝒄]𝒓=[𝒓,𝒃,𝒄]𝒂+[𝒂,𝒓,𝒄]𝒃+[𝒂,𝒃,𝒓]𝒄$

が得られる。

これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が

$(\frac{[𝒓,𝒃,𝒄]}{[𝒂,𝒃,𝒄]},\frac{[𝒂,𝒓,𝒄]}{[𝒂,𝒃,𝒄]},\frac{[𝒂,𝒃,𝒓]}{[𝒂,𝒃,𝒄]})$

であること示す。

あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式

$(𝒂𝒃𝒄)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=𝒓$

に対するクラメルの公式

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{1}{\det (𝒂𝒃𝒄)}\left(\begin{array}{c}\det (𝒓𝒃𝒄)\\ \det (𝒂𝒓𝒄)\\ \det (𝒂𝒃𝒓)\end{array}\right)$

と同じである。

なお、

$(𝒂\times 𝒃)\times (𝒂\times 𝒄)=[𝒂,𝒃,𝒄]𝒂$

が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。

a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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関連項目

• 三重積 (ベクトル解析)
• ビネ・コーシーの恒等式
• テンプレート:仮リンク