ゴッサード配景中心のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年7月}}

'''ゴッサード配景中心'''（ゴッサードはいけいちゅうしん、{{Lang-en-short|Gossard perspector}}<ref name="Clark">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Gossard Perspector |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html |access-date=17 June 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120510142023/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html |archive-date=10 May 2012}}</ref>）または'''ゼーマン＝ゴッサード配景中心'''（{{Lang|en|Zeeman–Gossard perspector}}<ref name="ETC">{{Cite encyclopedia |title=X(402) = Zeemann--Gossard perspector |encyclopedia=Encyclopedia of Triangle Centers}}</ref>）は、[[幾何学]]において[[三角形の中心|三角形の心]]の一つを意味する用語。{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}の[[Encyclopedia of Triangle Centers]]ではX(402)に登録されている。この点は1998年に[[ジョン・ホートン・コンウェイ]]によって、1916年にこの点を発見した{{仮リンク|ハリー・クリントン・ゴッサード|en|Harry Clinton Gossard}}を賞して命名された。命名後、1899年から1902年の間に、クリストファー・ゼーマン（{{Lang|en|Christopher Zeeman}}）によってこの点が発見された旨のある出版物が発見された。そのため2003年より、Encyclopedia of Triangle Centersでは後者の名を用いている<ref name="ETC" />。

== 定義 ==
[[ファイル:Gossard_perspector.svg|サムネイル|400x400ピクセル|{{Math|△''ABC'', △''AEF'', △''BFD'', △''CDE'', △''A{{sub|g}}B{{sub|g}}C{{sub|g}}''}}の[[垂心]]{{Mvar|H, H{{sub|A}}, H{{sub|B}}, H{{sub|C}}, H{{sub|g}}}}と、[[重心]]{{Mvar|G, G{{sub|A}}, G{{sub|B}}, G{{sub|C}}, G{{sub|g}}}}。]]

=== ゴッサード三角形 ===
{{Math|△''ABC''}}の[[オイラー線]]が[[辺]]{{Mvar|BC,CA,AB}}と交わる点をそれぞれ{{Mvar|D,E,F}}とする。次に、 {{Math|△''A{{sub|g}}B{{sub|g}}C{{sub|g}}''}}を、{{Math|△''AEF'', △''BFD'', △''CDE''}}のオイラー線が成す三角形とする。ただし{{Mvar|A{{sub|g}}}}は{{Math|△''BFD'', △''CDE''}}のオイラー線の交点とする。{{Mvar|B{{sub|g}},C{{sub|g}}}}も同様に定義される。この{{Math|△''A{{sub|g}}B{{sub|g}}C{{sub|g}}''}}を'''ゴッサード三角形'''（{{Lang|en|Gossard triangle}}）という<ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Harry Clinton Gossard |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/gossard.html |access-date=17 June 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20130522042839/http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/gossard.html |archive-date=22 May 2013}}</ref>。

=== ゴッサード配景中心 ===
{{Math|△''ABC''}}のゴッサード三角形を{{Math|△''A{{sub|g}}B{{sub|g}}C{{sub|g}}''}}とする。このとき[[直線]]{{Mvar|AA{{sub|g}},BB{{sub|g}},CC{{sub|g}}}}は[[共点|一点で交わる]]。この点を{{Math|△''ABC''}}のゴッサード配景中心という。

== 性質 ==

* ゴッサード三角形と基準三角形は[[合同 (幾何学)|合同]]である<ref name="Antreas">{{Cite web |author=Hatzipolakis |first=Antreas P. |title=Hyacinthos Message #7564 |url=http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/7564 |archive-url=https://archive.today/20130105143601/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/7564 |url-status=dead |archive-date=January 5, 2013 |access-date=17 June 2012}}</ref>。
* それぞれ{{Mvar|BC,CA,AB}}と{{Mvar|B{{sub|g}}C{{sub|g}},C{{sub|g}}A{{sub|g}},A{{sub|g}}B{{sub|g}}}}は[[平行]]である。
* ゴッサード三角形をゴッサード配景中心で鏡映すると基準三角形となる。
* つまりゴッサード三角形は基準三角形をゴッサード配景中心を中心として点対称移動したものである。
* ゴッサード三角形と基準三角形のオイラー線は一致する。
* ゴッサード配景中心はオイラー線上にある。

=== 座標 ===
ゴッサード配景中心の[[重心座標]]は以下の式で表される。

<math>p(a,b,c)=2a^4-a^2b^2-a^2c^2-(b^2-c^2)^2</math>

<math>y(a,b,c)=a^8-a^6(b^2+c^2)+a^4(2b^2-c^2)(2c^2-b^2)+(b^2-c^2)^2\bigl(3a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4-3^b2c^2\bigr)</math><math>f(a,b,c)=p(a,b,c)y(a,b,c)</math>

: として

<math>\Bigl(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\Bigr)</math>
[[ファイル:Gossard_perspector_generalisation.gif|サムネイル|400x400ピクセル|直線{{Mvar|DEF}}は{{Math|△''ABC''}}のオイラー線。直線{{Mvar|XYZ}}が{{Mvar|DEF}}と平行になるように動く。{{Mvar|XYZ}}の位置にかかわらず{{Math|△''A'B'C' ''}}は{{Math|△''ABC''}}と合同である。反転した青い三角形は基準三角形のゴッサード三角形。]]

== 一般化 ==
ゴッサード三角形の一般化は基準三角形と合同な[[三角形]]として一般化される。

=== ゼーマンによる一般化 ===
次はクリスストファー・ゼーマンによる一般化である<ref name="Antreas" />。

{{Math|△''ABC''}}の[[オイラー線]]{{Mvar|l}}と[[平行]]な直線と{{Mvar|BC,CA,AB}}の交点をそれぞれ{{Mvar|X,Y,Z}}とする。次に{{Math|△''A'B'C' ''}}を{{Math|△''AYZ'',△''BZX'',△''CXY''}}のオイラー線の成す三角形とする。{{Math|△''A'B'C' ''}}と{{Math|△''ABC''}}のそれぞれの辺は平行である<ref name="Antreas" />。

=== ヨウによる一般化 ===
[[ファイル:Gossard_perspector_generalisation02.svg|サムネイル|400x400ピクセル|パウル・ヨウによるゴッサード三角形の一般化]]
次は[[パウル・ヨウ]]（{{Lang|en|Paul Yiu}}）による一般化である<ref name="Clark" /><ref>{{Cite web |author=Grinberg |first=Darij |title=Hyacithos Message #9666 |url=http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/9666 |archive-url=https://archive.today/20130105223625/http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/9666 |url-status=dead |archive-date=January 5, 2013 |access-date=18 June 2012}}</ref>。

{{Math|△''ABC''}}とその[[重心]]（[[幾何中心]]）{{Mvar|G}}ではない点{{Mvar|P}}を取る。

: 直線{{Mvar|PG}}と{{Mvar|BC,CA,AB}}の交点をそれぞれ{{Mvar|X,Y,Z}}、{{Math|△''AYZ'',△''BZX'',△''CXY''}}の重心を{{Mvar|G{{sub|a}},G{{sub|b}},G{{sub|c}}}}とする。
: 次に、それぞれ{{Mvar|Y}}を通る{{Mvar|CP}}の平行線と、{{Mvar|Z}}を通る{{Mvar|BP}}の平行線も交点を{{Mvar|P{{sub|a}}}}とする。
: {{Mvar|P{{sub|b}},P{{sub|c}}}}も同様に定義する。このとき{{Mvar|G{{sub|a}}P{{sub|a}},G{{sub|b}}P{{sub|b}},G{{sub|c}}P{{sub|c}}}}の成す三角形を{{Math|△''A'B'C' ''}}と置く。
:

このとき{{Math|△''A'B'C' ''}}と{{Math|△''ABC''}}のそれぞれの辺は平行である。

{{Mvar|P}}が[[垂心]]のとき、直線{{Mvar|PG}}はオイラー線で、{{Math|△''A'B'C' ''}}はゴッサード三角形となる。

=== ダオによる一般化 ===
[[ダオ・タイン・オアイ]]（{{Lang|en|Dao Thanh Oai}}）はさらなる一般化を公表している。{{Math|△''ABC''}}と異なる二点{{Mvar|H,O}}を用意する。直線{{Mvar|OH}}と{{Mvar|BC,CA,AB}}の交点をそれぞれ{{Math|''A''{{sub|0}},''B''{{sub|0}},''C''{{sub|0}}}}する。次に、{{Math|''C''{{sub|0}}}}を通る{{Mvar|BH}}の平行線と{{Math|''B''{{sub|0}}}}を通る{{Mvar|CH}}の平行線交点を{{Mvar|A{{sub|H}}}}、{{Math|''C''{{sub|0}}}}を通る{{Mvar|BO}}の平行線と{{Math|''B''{{sub|0}}}}を通る{{Mvar|CO}}の平行線交点を{{Mvar|A{{sub|O}}}}とする。{{Mvar|B{{sub|H}},B{{sub|O}},C{{sub|H}},C{{sub|O}}}}も同様に定義する。このとき、{{Mvar|A{{sub|H}}A{{sub|O}},B{{sub|H}}B{{sub|O}},C{{sub|H}}C{{sub|O}}}}の成す三角形は基準三角形{{Math|△''ABC''}}と合同で、かつ相似の位置にあり、相似の中心は{{Mvar|OH}}上にある。ダオの結果は以下のように上記の定理をすべて統一した<ref name="O.T.Dao">[http://www.journal-1.eu/2016-1/Dao-Thanh-Oai-Zeeman-Gossard-pp.76-79.pdf Dao Thanh Oai, ''A generalization of the Zeeman-Gossard perspector theorem'', International Journal of Computer Discovered Mathematics, Vol.1, (2016), Issue 3, page 76-79], {{ISSN|2367-7775}} </ref><ref name=":0">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part32#X63787 |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart32.html#X63787 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-07-22}}</ref><ref>{{Cite web |title=Vladimir Shelomovskii, Gossard perspector |url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Gossard_perspector |website=artofproblemsolving.com |access-date=2024-07-22 |publisher=Art of Problem Solving}}</ref>。

* 直線{{Mvar|OH}}がオイラー線と一致すると、ゴッサード三角形とゴッサード配景中心となる。
* 直線{{Mvar|OH}}がオイラー線と平行ならゼーマンの一般化となる。
* {{Mvar|O,H}}のうち一点が重心ならば、ヨウの一般化となる。

ある直線{{Mvar|OH}}に関する、最後の相似の中心は直線{{Mvar|OH}}'''のダオ＝ゼーマン配景中心'''（{{Lang|en|Dao-Zeeman perspector}}）と呼ばれる<ref name=":0" />。

== 関連 ==

* [[中心線 (幾何学)|Central line]]
* [[Encyclopedia of Triangle Centers]]
* [[幾何中心]]
* {{仮リンク|Central triangle|en|Central triangle}}
* [[オイラー線]]
* [[パリー点|パリー鏡映点]]

== 出典 ==
{{Reflist}}{{デフォルトソート:こつさあとはいけいちゆうしん}}
[[Category:三角形の中心]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]