ゴッサード配景中心

ゴッサード配景中心（ゴッサードはいけいちゅうしん、テンプレート:Lang-en-short）またはゼーマン＝ゴッサード配景中心（テンプレート:Lang）は、幾何学において三角形の心の一つを意味する用語。テンプレート:仮リンクのEncyclopedia of Triangle CentersではX(402)に登録されている。この点は1998年にジョン・ホートン・コンウェイによって、1916年にこの点を発見したテンプレート:仮リンクを賞して命名された。命名後、1899年から1902年の間に、クリストファー・ゼーマン（テンプレート:Lang）によってこの点が発見された旨のある出版物が発見された。そのため2003年より、Encyclopedia of Triangle Centersでは後者の名を用いている。

定義

テンプレート:Mathの垂心テンプレート:Mvarと、重心テンプレート:Mvar。

ゴッサード三角形

テンプレート:Mathのオイラー線が辺テンプレート:Mvarと交わる点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。次に、 テンプレート:Mathを、テンプレート:Mathのオイラー線が成す三角形とする。ただしテンプレート:Mvarはテンプレート:Mathのオイラー線の交点とする。テンプレート:Mvarも同様に定義される。このテンプレート:Mathをゴッサード三角形（テンプレート:Lang）という。

ゴッサード配景中心

テンプレート:Mathのゴッサード三角形をテンプレート:Mathとする。このとき直線テンプレート:Mvarは一点で交わる。この点をテンプレート:Mathのゴッサード配景中心という。

性質

• ゴッサード三角形と基準三角形は合同である。
• それぞれテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarは平行である。
• ゴッサード三角形をゴッサード配景中心で鏡映すると基準三角形となる。
• つまりゴッサード三角形は基準三角形をゴッサード配景中心を中心として点対称移動したものである。
• ゴッサード三角形と基準三角形のオイラー線は一致する。
• ゴッサード配景中心はオイラー線上にある。

座標

ゴッサード配景中心の重心座標は以下の式で表される。

$p(a,b,c)=2a^4-a^2{b}^2-a^2{c}^2-(b^2-c^2{)}^2$

$y(a,b,c)=a^8-a^6(b^2+c^2)+a^4(2b^2-c^2)(2c^2-b^2)+(b^2-c^2{)}^2(3a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4-3^{b}2c^2)$$f(a,b,c)=p(a,b,c)y(a,b,c)$

として

$(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))$

直線テンプレート:Mvarはテンプレート:Mathのオイラー線。直線テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarと平行になるように動く。テンプレート:Mvarの位置にかかわらずテンプレート:Mathはテンプレート:Mathと合同である。反転した青い三角形は基準三角形のゴッサード三角形。

一般化

ゴッサード三角形の一般化は基準三角形と合同な三角形として一般化される。

ゼーマンによる一般化

次はクリスストファー・ゼーマンによる一般化である。

テンプレート:Mathのオイラー線テンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。次にテンプレート:Mathをテンプレート:Mathのオイラー線の成す三角形とする。テンプレート:Mathとテンプレート:Mathのそれぞれの辺は平行である。

ヨウによる一般化

パウル・ヨウによるゴッサード三角形の一般化

次はパウル・ヨウ（テンプレート:Lang）による一般化である。

テンプレート:Mathとその重心（幾何中心）テンプレート:Mvarではない点テンプレート:Mvarを取る。

直線テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの重心をテンプレート:Mvarとする。

次に、それぞれテンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの平行線と、テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの平行線も交点をテンプレート:Mvarとする。

テンプレート:Mvarも同様に定義する。このときテンプレート:Mvarの成す三角形をテンプレート:Mathと置く。

このときテンプレート:Mathとテンプレート:Mathのそれぞれの辺は平行である。

テンプレート:Mvarが垂心のとき、直線テンプレート:Mvarはオイラー線で、テンプレート:Mathはゴッサード三角形となる。

ダオによる一般化

ダオ・タイン・オアイ（テンプレート:Lang）はさらなる一般化を公表している。テンプレート:Mathと異なる二点テンプレート:Mvarを用意する。直線テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をそれぞれテンプレート:Mathする。次に、テンプレート:Mathを通るテンプレート:Mvarの平行線とテンプレート:Mathを通るテンプレート:Mvarの平行線交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathを通るテンプレート:Mvarの平行線とテンプレート:Mathを通るテンプレート:Mvarの平行線交点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarも同様に定義する。このとき、テンプレート:Mvarの成す三角形は基準三角形テンプレート:Mathと合同で、かつ相似の位置にあり、相似の中心はテンプレート:Mvar上にある。ダオの結果は以下のように上記の定理をすべて統一した。

• 直線テンプレート:Mvarがオイラー線と一致すると、ゴッサード三角形とゴッサード配景中心となる。
• 直線テンプレート:Mvarがオイラー線と平行ならゼーマンの一般化となる。
• テンプレート:Mvarのうち一点が重心ならば、ヨウの一般化となる。

ある直線テンプレート:Mvarに関する、最後の相似の中心は直線テンプレート:Mvarのダオ＝ゼーマン配景中心（テンプレート:Lang）と呼ばれる。

関連

• Central line
• Encyclopedia of Triangle Centers
• 幾何中心
• テンプレート:仮リンク
• オイラー線
• パリー鏡映点