ゴレンシュタイン環のソースを表示

[[可換環論]]において、'''Gorenstein 局所環''' (Gorenstein local ring) は[[ネーター環|ネーター]]可換[[局所環]] ''R'' であって、''R''-加群として有限の[[移入次元]]をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。

Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は {{harvtxt|Gorenstein|1952}} によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは {{harvtxt|Macaulay|1934}} によって研究されていた。{{harvtxt|Serre|1961}} と {{harvtxt|Bass|1963}} は Gorenstein 環の概念を公表した。

0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似は[[フロベニウス多元環|フロベニウス環]]と呼ばれる。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
:{{仮リンク|強鎖状環|en|universally catenary ring}} &sup; [[コーエン・マコーレー環]] &sup; '''ゴレンシュタイン環''' &sup; [[完全交叉環]] &sup; [[正則局所環]]

== 定義 ==

'''Gorenstein 環''' は可換環であって[[素イデアル]]における各[[環の局所化|局所化]]が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的な[[コーエン・マコーレー環]]の特別な場合である。

古典的な定義は：

局所[[コーエン・マコーレー環]] ''R'' は[[既約イデアル]]を生成する極大イデアルにおいて極大''R''-[[正則列]]が存在するときに '''Gorenstein''' と呼ばれる。{{Citation needed|date=May 2012}}

クルル次元 ''n'' の[[ネーター環|ネーター]]可換[[局所環]] <math>(R, m, k)</math> に対して、以下は同値である。
* <math>R</math> は <math>R</math>-加群として[[移入次元]]が有限である。
* <math>R</math> は <math>R</math>-加群として移入次元が <math>n</math> である。
* <math>i \neq n</math> に対して <math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math> であり <math>\operatorname{Ext}^n_R (k, R)</math> は <math>k</math> と同型。
* ある <math>i > n</math> に対して <math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math>
* すべての <math>i < n</math> に対して <math>\operatorname{Ext}^i_R (k, R) = 0</math> であり <math>\operatorname{Ext}^n_R (k, R)</math> は <math>k</math> と同型。
* <math>R</math> は <math>n</math>-次元 Gorenstein 環。

（可換とは限らない）環 ''R'' は左 ''R''-加群としても右 ''R''-加群としても ''R'' の入射次元が有限なときに '''Gorenstein''' と呼ばれる。''R'' が局所環であれば、''R'' を局所 Gorenstein 環という。

== 例 ==

* すべての局所{{仮リンク|完交環|en|complete intersection ring}}、とくにすべての[[正則局所環]]は Gorenstein である。

* 環 ''k''[''x'',''y'',''z'']/(''x''<sup>2</sup>, ''y''<sup>2</sup>, ''xz'', ''yz'', ''z''<sup>2</sup>–''xy'') は完交環でない0次元 Gorenstein 環である。

* 環 ''k''[''x'',''y'']/(''x''<sup>2</sup>, ''y''<sup>2</sup>, ''xy'') は Gorenstein 環でない0次元 Cohen–Macaulay 環である。

== 性質 ==
ネーター可換局所環が Gorenstein であることとその[[完備化 (環論)|完備化]]が Gorenstein であることは同値である<ref>{{harvnb|Matsumura|1986|nb=Theorem 18.3}}</ref>。

次数付き Gorenstein 環 ''R'' の {{仮リンク|正準加群|en|canonical module}} は ''R'' を何次かずらしたものに同型である。<!-- and in fact this characterize a Gorenstein ring among Cohen-Macaulay ring? -->

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{Citation | last1=Bass | first1=Hyman | title=On the ubiquity of Gorenstein rings | doi=10.1007/BF01112819 |mr=0153708 | year=1963 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=82 | pages=8–28}}
*{{Citation | last1=Bruns | first1=Winfried | last2=Herzog | first2=Jürgen | title=Cohen-Macaulay rings | url=https://books.google.co.jp/books?id=LF6CbQk9uScC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-41068-7 |mr=1251956 | year=1993 | volume=39}}
*{{Citation | last1=Gorenstein | first1=D. | title=An arithmetic theory of adjoint plane curves | url= http://www.jstor.org/stable/1990710 |mr=0049591 | year=1952 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=72 | pages=414–436 | doi=10.2307/1990710}}
*{{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexandre | author1-link=Alexandre Grothendieck | title=Séminaire Bourbaki, Vol. 4 | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__169_0 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris |mr=1610898 | year=1957 | chapter=Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents | pages=169–193}}
*{{SpringerEOM|title=Gorenstein ring|urlname=Gorenstein_ring}}
*{{Citation | last1=Macaulay | first1=F. S. | title= Modern algebra and polynomial ideals  | doi=10.1017/S0305004100012354 | year=1934 | journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | issn=0305-0041 | volume=30 | issue=1 | pages=27–46}}
*Hideyuki Matsumura, ''Commutative Ring Theory'', Cambridge studies in advanced mathematics 8.
*{{Citation |year=1961| last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Sur les modules projectifs | url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1960-1961__14_1_A2_0 | series=Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres | volume=14 | pages=1–16}}

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|正準加群|en|canonical module}}

{{デフォルトソート:これんしゆたいんかん}}
[[Category:可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]