サイクロイドのソースを表示

{{Pathnavbox|
* {{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[曲線]]|{{仮リンク|輪転曲線|en|Roulette (curve)}}|[[トロコイド]]}}}}

'''サイクロイド'''（{{lang-en|cycloid}}）とは、[[円 (数学)|円]]がある規則にしたがって[[回転 (数学)|回転]]するときの円上の[[点 (数学)|定点]]が描く[[軌跡 (数学)|軌跡]]として得られる[[曲線|平面曲線]]の総称である。一般にサイクロイドといえば[[直線|定直線]]上を回転するものを指すことが多い。'''擺線'''（はいせん）とも呼ばれる。
<gallery widths="250px">
ファイル:Cycloid f.gif|サイクロイドの図示
ファイル:Cycloid.png|サイクロイド ({{math|1=''r''<sub>''m''</sub> = 1}}, {{math|−''π'' ≤ ''θ'' ≤ 3''π''}})
ファイル:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|サイクロイド（青）、その{{仮リンク|接触円|en|osculating circle}}（赤）および[[縮閉線]]（緑）。
</gallery>

== 定義および性質 ==
定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を'''サイクロイド'''という（→[[:Image:Cycloid animated .gif|生成アニメーション]]）。サイクロイドは[[トロコイド]]の一種と見なすことができる。半アーチ分の[[伸開線]]は、自身と[[図形の合同|合同]]なサイクロイドとなる。逆に言うと、サイクロイドの[[縮閉線]]は、自身と合同なサイクロイドとなる。

円が {{Mvar|''y''}} が非負の側で {{Math|''x''}} 軸上を転がるとき、動円の[[半径]]を {{Math|''r''<sub>m</sub>}}、回転角を {{Mvar|θ}} とすると、原点を通るサイクロイドの[[媒介変数]]表示は
:<math display="block">\begin{cases}
 x = r_\mathrm m(\theta - \sin \theta), \\ 
 y = r_\mathrm m (1 - \cos \theta).
\end{cases}</math>
となる。このとき、
* <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy/\mathrm d\theta}{\mathrm dx/\mathrm d\theta}=\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}</math>
* <math>\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{1}{r_\mathrm m(1 - \cos \theta)^2}</math>
* 媒介変数 {{mvar|θ}} の地点における[[曲率半径]]は
:<math display="block">4r_{\mathrm m}\left| \sin \frac{\theta}{2} \right|.</math>
[[ファイル:Cycloid length.png|thumb|300px|right|サイクロイドの半[[アーチ]]分の伸開線。半アーチ分の[[弧長]]は、動円半径の4倍となる。]]
* "円が1回転したときの定点の軌跡" の長さを {{Mvar|l}} とすると、
:<math display="block">\begin{align}
  l &= \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta}\right)^2} {\mathrm d\theta} \\
    &= \int_0^{2\pi} r_\mathrm m \sqrt{2 - 2\cos\theta}\, {\mathrm d\theta} \\
    &= 2r_\mathrm m\int_0^{2\pi} \sin \frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
    &= 8r_\mathrm m.
\end{align}</math>（= "当該円の半径" の 8倍）
[[ファイル:Mamikon Cycloid.svg|thumb|300px|right|サイクロイドの面積を{{仮リンク|マミコンの定理|en|Mamikon's theorem}}により求める図。サイクロイドを囲む長方形（面積 {{math|2''r''<sub>m</sub> × 2π''r''<sub>m</sub> {{=}} 4π''r''<sub>m</sub><sup>2</sup>}}）からサイクロイド自身を取り除いた領域の面積は、動円の面積 {{math|π''r''<sub>m</sub><sup>2</sup>}} に等しい。]]
* "円が1回転したときの定点の軌跡" と "{{Mvar|x}}-軸" で囲まれた部分の面積を {{Mvar|S}} とすると、
:<math display="block">\begin{align}
  S &= \int_{0}^{2 \pi r_\mathrm m} y \, {\mathrm dx} = \int_{0}^{2 \pi} r_{\mathrm m}^{2}(1 - \cos\theta)^2 {\mathrm d\theta} \\
    &= 4r_{\mathrm m}^{2}\int_{0}^{2 \pi}\sin^4\frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
    &= 3\pi r_{\mathrm m}^{2}.
\end{align}</math>（= "当該円の面積" の 3倍）
* ''x''軸まわりの回転体の体積を {{Mvar|V<sub>x</sub>}} とすると、
:<math display="block">\begin{align}
  V_x &= \pi\int_{0}^{2 \pi r_\mathrm m} y^2 \, {\mathrm dx} = \pi\int_{0}^{2 \pi} r_{\mathrm m}^{3}(1 - \cos\theta)^3 {\mathrm d\theta} \\
      &= 8\pi r_{\mathrm m}^{3}\int_{0}^{2 \pi}\sin^6\frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
      &= 5\pi^{2} r_{\mathrm m}^{3}.
\end{align}</math>
* ''x''軸まわりの回転体の表面積を {{Mvar|S<sub>x</sub>}} とすると、
:<math display="block">\begin{align}
  S_x &= 2\pi\int_0^{2\pi} r_\mathrm m (1 - \cos \theta)\sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm d\theta}\right)^2} {\mathrm d\theta} \\
      &= 8\pi r_{\mathrm m}^{2}\int_{0}^{2 \pi}\sin^3\frac{\theta}{2}\, {\mathrm d\theta} \\
      &= \frac{64}{3}\pi r_{\mathrm m}^{2}.
\end{align}</math>
* サイクロイドの[[微分方程式]]は
:<math display="block">\left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \right)^2 = \frac{2r_\mathrm {m}}{y}-1, \quad \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} = -\frac{r_\mathrm {m}}{y^2}.</math>

== 応用分野 ==
[[ファイル:Isochronous_cycloidal_pendula.gif|thumb|300px|right|振幅の異なる5つのサイクロイド振り子。おもりの軌跡はサイクロイドとなる。]]
* {{仮リンク|サイクロイド歯車|en|Cycloid gear}}
* [[振り子#サイクロイド振り子|サイクロイド振り子]] - 任意振幅に対して[[等時性]]を担保する[[振り子]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|last1      = Apostol
|first1     = Tom M. 
|last2      = Mnatsakanian
|first2     = Mamikon A. 
|translator = 川辺治之
|date       = 2016-08
|title      = Aha! ひらめきの幾何学―アルキメデスも驚くマミコンの定理―
|publisher  = [[共立出版]]
|isbn       = 978-4-320-11138-7
}}

== 関連項目 ==
* [[エピサイクロイド]]
* [[ハイポサイクロイド]]
* [[曲線]]
* [[最速降下曲線]]
* [[スピログラフ]]
* [[シャープ]] - [[AQUOSケータイ]]シリーズに採用した、画面が横になる仕組みをサイクロイドスタイルと命名。サイクロイドスタイルと共にサイクロイドも同社の[[登録商標]]または[[商標]]となっている
* [[サイクロイド (ストリートファイター)]] - ゲーム『[[ストリートファイターEX]]』シリーズに登場する架空の[[人造人間]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|サイクロイド}}
* {{MathWorld | urlname=Cycloid | title=Cycloid}}
* [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml Cycloids] at [[:en:cut-the-knot]]
* [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves], monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by [http://historical.library.cornell.edu/math/index.html Cornell University Library].
* {{Cite web|url=http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm|title=Cicloides y Trocoides|archiveurl=https://web.archive.org/web/20091212011141/http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm|archivedate=2009-12-12|accessdate=2017-07-08}}
* ''[https://demonstrations.wolfram.com/CycloidCurves/ Cycloid Curves]'' by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, [[Wolframデモンストレーションプロジェクト|Wolfram Demonstrations Project]].

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:さいくろいと}}
[[Category:曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]