サイクロイド

サイクロイド（テンプレート:Lang-en）とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線（はいせん）とも呼ばれる。

定義および性質

定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという（→生成アニメーション）。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。半アーチ分の伸開線は、自身と合同なサイクロイドとなる。逆に言うと、サイクロイドの縮閉線は、自身と合同なサイクロイドとなる。

円がテンプレート:Mvar が非負の側でテンプレート:Math 軸上を転がるとき、動円の半径をテンプレート:Math、回転角をテンプレート:Mvar とすると、原点を通るサイクロイドの媒介変数表示は

{\begin{matrix} x = r_{m} (θ - \sin θ), \\ y = r_{m} (1 - \cos θ) . \end{matrix}

となる。このとき、

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ} = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ}$
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} \frac{d y}{d x} = \frac{d θ}{d x} \frac{d}{d θ} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{r_{m} (1 - \cos θ)^{2}}$
媒介変数テンプレート:Mvar の地点における曲率半径は

4 r_{m} | \sin \frac{θ}{2} | .

\begin{matrix} l & = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(\frac{d x}{d θ})}^{2} + {(\frac{d y}{d θ})}^{2}} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} r_{m} \sqrt{2 - 2 \cos θ} d θ \\ = 2 r_{m} \int_{0}^{2 π} \sin \frac{θ}{2} d θ \\ = 8 r_{m} . \end{matrix}

（= "当該円の半径" の 8倍）

\begin{matrix} S & = \int_{0}^{2 π r_{m}} y d x = \int_{0}^{2 π} r_{m}^{2} (1 - \cos θ)^{2} d θ \\ = 4 r_{m}^{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{4} \frac{θ}{2} d θ \\ = 3 π r_{m}^{2} . \end{matrix}

（= "当該円の面積" の 3倍）

\begin{matrix} V_{x} & = π \int_{0}^{2 π r_{m}} y^{2} d x = π \int_{0}^{2 π} r_{m}^{3} (1 - \cos θ)^{3} d θ \\ = 8 π r_{m}^{3} \int_{0}^{2 π} \sin^{6} \frac{θ}{2} d θ \\ = 5 π^{2} r_{m}^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} S_{x} & = 2 π \int_{0}^{2 π} r_{m} (1 - \cos θ) \sqrt{{(\frac{d x}{d θ})}^{2} + {(\frac{d y}{d θ})}^{2}} d θ \\ = 8 π r_{m}^{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{3} \frac{θ}{2} d θ \\ = \frac{64}{3} π r_{m}^{2} . \end{matrix}

{(\frac{d y}{d x})}^{2} = \frac{2 r_{m}}{y} - 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{r_{m}}{y^{2}} .