サイクロトロン運動のソースを表示

[[File:Cyclotron motion smaller view.jpg|thumb|upright=1.2|真空管内の陰極線のビームが[[ヘルムホルツコイル]]によって生成された磁場によって円状に曲げられ、サイクロトロン運動する様子。陰極線は通常目に見えないが、このデモンストレーションでは、十分な残留気体が真空管内に残されており、高速電子が気体原子に衝突することで[[蛍光]]を発する]]
物理学において、'''サイクロトロン運動'''（{{lang-en-short|cyclotron motion}}）とは空間的に一様な定常[[磁場]]中における[[荷電粒子]]の[[等速円運動]]<ref name="suzuki_arafune_wadachi2005_ch2">[[#suzuki_arafune_wadachi2005：|鈴木、荒船、和達 (2015)、第2章]]</ref><ref name="totsuji2010_ch3">[[#totsuji2010|東辻 (2010)、第3章]]</ref>。一様な定常磁場中で荷電粒子の運動の軌道は、一般に[[磁力線]]に巻き付く形で螺旋軌道となるが、速度ベクトルが磁場に垂直な場合にはサイクロトロン運動での等速円運動となる。[[加速器]]の一種である[[サイクロトロン]]では、サイクロトロン運動における回転の周期が粒子の速度や円運動の半径に依存しないことを利用し、周期的な[[電場]]印加による加速を行う。
==概要==
[[画像:Charge-helix-path.svg|thumb|一様な静磁場中での電子の旋回運動。軌道は磁場の方向を中心軸とする螺旋軌道となる。負の電荷をもつ電子は磁場の方向に対し、右回りに旋回運動する。]]
磁場中で電荷{{mvar|q}}の荷電粒子は磁場{{math|''{{mathbf|B}}''}}と粒子の速度ベクトル{{math|''{{mathbf|v}}''}}に垂直な方向に[[ローレンツ力]]を受け、磁場に巻き付く旋回運動をする。このとき、正の電荷を持つ粒子は磁場方向に向かって左回り、負の電荷を持つ粒子は磁場方向に向かって右回りに運動する。磁場が空間的に一様で時間的に定常である場合、荷電粒子の運動は磁場の方向を中心軸とする[[螺旋運動]]となる。粒子の運動を磁場に垂直な平面に[[射影]]した場合、運動成分は'''サイクロトロン周波数'''または'''ジャイロ周波数'''と呼ばれる角周波数<ref group="注">角周波数ではあるが、慣用的に周波数と呼ばれる。また、サイクロトロン振動数、ジャイロ振動数とも呼ばれる。</ref><ref group="注">文献によっては、これをラーモア振動数と定義する場合があるが、ラーモア周波数{{math|&omega;<sub>L</sub>}}はサイクロトロン周波数 {{math|&omega;<sub>c</sub>}}に対し、{{math|&omega;<sub>L</sub>{{=}}&omega;<sub>c</sub>/2}}とすべきであるという主張もある（[[#terajima1993|寺嶋 (1993)]]）。</ref>
での[[等速円運動]]となる。この運動を'''サイクロトロン運動'''という<ref name="suzuki_arafune_wadachi2005_ch2"></ref><ref name="totsuji2010_ch3"></ref>。速度ベクトルの磁場に垂直な成分を{{math|''{{mathbf|v}}''<sub>&perp;</sub>}}、回転の半径を{{math|''r<sub>c</sub>''}}とすると、[[向心力]] {{math|{{Sfrac|''mv''<sub>&perp;</sub><sup>2</sup>|''r<sub>c</sub>''}}}}とローレンツ力 {{math|''qv''<sub>&perp;</sub>''B''}}は釣り合うことから{{math|''r<sub>c</sub>''{{=}}{{Sfrac|''mv''<sub>&perp;</sub>|{{abs|''q''}}''B''}}}}である<ref name="miyamoto1991_ch2">[[#miyamoto1991|宮本 (1991)、第2章]]</ref>。この半径{{math|''r<sub>c</sub>''}}を'''サイクロトロン半径'''、または'''ラーモア半径'''、'''ジャイロ半径'''という。また、速度ベクトルの磁場に水平な成分を{{math|''{{mathbf|v}}''<sub>&parallel;</sub>}}とすると、磁場に水平な方向についての運動は、{{math|''{{mathbf|v}}''<sub>&parallel;</sub>}}での[[等速直線運動]]となる。特に速度ベクトルの磁場に水平な成分{{math|''{{mathbf|v}}''<sub>&parallel;</sub>}}がゼロであり、垂直な成分{{math|''{{mathbf|v}}''<sub>&perp;</sub>}}のみが存在する場合、粒子の運動は磁場に水平な面内での等速円運動となる。

==磁場中の粒子の運動==
電荷{{mvar|q}} 、質量{{mvar|m}} の粒子が一様の定常磁場中{{math|''{{mathbf|B}}''}}を[[古典力学]]に従い運動することを考える。粒子の位置座標を{{math|''{{mathbf|r}}'' {{=}}(''x'', ''y'', ''z'' )}}、速度{{math|''{{mathbf|v}}'' {{=}}(''v<sub>x</sub>'', ''v<sub>y</sub>'', ''v<sub>z</sub>'' )}}をすると、[[ローレンツ力]]を受けて運動する粒子の[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]は以下で与えられる。

:<math>m \frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=q(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) </math>

磁場の方向を{{mvar|z}} 軸方向にとって{{math|''{{mathbf|B}}'' {{=}}(0,0,''B'')}} とすると、運動方程式は
:<math>
\begin{align}
m\frac{d v_x}{dt} &=qBv_y \\
m\frac{d v_y}{dt} &=- qBv_x \\
m\frac{d v_z}{dt} &=0
\end{align}
</math>
となる。この解は
:<math>
\begin{align}
v_x(t)&=v_{\perp} \sin{(\omega_c t+ \alpha)} \\
v_y(t)&=v_{\perp} \cos{(\omega_c t+ \alpha)} \\
v_z(t)&=v_{\parallel}
\end{align}
</math>
で与えられる。ここで{{math|''v''<sub>&perp;</sub>>0}}、{{math|''v''<sub>&parallel;</sub>}}、{{mvar|&alpha;}}は[[積分定数]]であり、角周波数{{math|''&omega;<sub>c</sub>''}}は
:<math>
\omega_c =\frac{qB}{m}=\frac{q|\mathbf{B}|}{m}
</math>
で定義されるサイクトロン振動数である<ref group="注">ここでは文献 [[#tanaka_nishikawa1991|田中&西川 (1991)]]、[[#miyamoto1993|宮本 (1993)]]に合わせ、電荷の符号に応じて正負をとる定義をとった。文献によっては、{{math|''&omega;<sub>c</sub>''{{=}}{{Sfrac|{{abs|''q''}}''B''|''m''}}}}と正の値のみをとる形で定義する場合もある。</ref>
。このとき、対応する位置座標は
:<math>
\begin{align}
x(t)&=X-\frac{v_{\perp}}{\omega_c} \cos{(\omega_c t+ \alpha)} \\
y(t)&=Y+\frac{v_{\perp}}{\omega_c} \sin{(\omega_c t+ \alpha)} \\
z(t)&=Z+v_{\parallel}t
\end{align}
</math>
となる。{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}、{{mvar|Z}}は積分定数である。この粒子の運動をサイクロン運動という。
この運動の軌道を{{mvar|xy}}平面内に射影すると{{math|(''X'',''Y'')}}を中心とし、半径を
:<math>
r_c =  \frac{v_{\perp}}{| \omega_c |} = \frac{mv_{\perp}}{|q|B} 
</math>
とし、一定の角周波数{{math|''&omega;<sub>c</sub>''}}で旋回する等速円運動になる。この半径を'''サイクロトロン半径'''、または'''ラーモア半径'''、'''ジャイロ半径'''という。
粒子は{{mvar|z}}軸方向には等速直線運動をしており、空間内の軌道は等速直線運動と等速円運動を組み合わせた螺旋となる。

==例==
物質は温度を上げていくと固体、液体、気体と状態が[[相変化]]する。さらに温度を上げると気体分子は気体原子に分離し、やがて、電子とイオンに電離した[[プラズマ]]状態となる。
磁場の値を{{math|''B'' [T]}}としたとき、電子のサイクロトロン周波数{{mvar|&omega;<sub>e</sub>}}とイオンのサイクロトロン周波数{{mvar|&omega;<sub>i</sub>}}は角周波数の表示で

:<math>\omega_e= -1.76 \times 10^{11} B  \,\, [\mathrm{rad/s}] </math>
:<math>\omega_i= 9.58 \times 10^{7} Z_i \mu_i^{-1} B  \,\, [\mathrm{rad/s}] </math>

となり、対応する周波数は

:<math> f_e=\frac{\omega_e}{2\pi}= -2.80 \times 10^{10} B  \,\, [\mathrm{Hz}] </math>
:<math> f_i=\frac{\omega_p}{2\pi}= 1.52 \times 10^{7} Z_i \mu_i^{-1} B  \,\, [\mathrm{Hz}] </math>

となる<ref name="totsuji2010_ch3"></ref><ref name="ishihara2015_ch2">[[#ishihara2015|石原 (2015)、第2章]]</ref><ref name="hayashi1987_ch7">[[#hayashi1987|林 (1987)、第7章]]</ref>。ここで{{mvar|Z<sub>i</sub>}} はイオンの価数、{{mvar|&mu;<sub>i</sub>}} は{{math|''&mu;<sub>i</sub>''{{=}}{{Sfrac|''m<sub>i</sub>''|''m<sub>p</sub>''}}}} ({{mvar|m<sub>i</sub>}}:イオンの質量、{{mvar|m<sub>p</sub>}}:[[プロトン]]の質量)で定まるイオンとプロトン(＝水素イオン)の質量比であり、例えば、{{math|''&mu;<sub>i</sub>''{{=}}1(H), 4(He), 39.9(Ar), 131.3(Xe) }}である<ref name="ishihara2015_ch2"></ref>。

{{math|''B''{{=}}1 T}}、{{math|''k<sub>B</sub>T''{{=}}100 eV}}（{{mvar|k<sub>B</sub>}}：[[ボルツマン定数]]、{{mvar|T}}：温度）の場合、電子とプロトンのサイクロトロン半径、サイクロトロン周波数は下記の表に示される値になる<ref name="miyamoto1991_ch2"></ref>。
但し、温度{{mvar|T}} における粒子が[[熱速度]]{{math|''v<sub>T</sub>''{{=}} {{sqrt|{{Sfrac|''k<sub>B</sub>T''|''m''}}|.}}}}で運動しているとし、磁場との垂直方向の速度成分の大きさ{{math|''v''<sub>&perp;</sub>}}は{{math|''v<sub>T</sub>''}} に等しいとする。

{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
!項目!!式!!電子!!プロトン
|-
|熱速度||{{math|''v<sub>T</sub>''{{=}} {{sqrt|{{Sfrac|''k<sub>B</sub>T''|''m''}}|.}}}}||{{math|4.2&times;10<sup>6</sup> m/s}}||{{math|9.8&times;10<sup>4</sup> m/s}}
|-
|サイクロトロン半径||{{math|''r<sub>c</sub>''{{=}}{{Sfrac|''v''<sub>&perp;</sub>|{{abs|''&omega;<sub>c</sub>''}}}}}}||{{math|23.8 &micro;m}}||{{math|10.2 nm}}
|-
|サイクロトロン周波数（角周波数表示）||{{math|''&omega;<sub>c</sub>''{{=}}{{Sfrac|''qB''|''m''}}}}
||{{math|1.76 &times;10<sup>11</sup> rad/s}}||{{math|-9.58&times;10<sup>7</sup> rad/s}}
|-
|サイクロトロン周波数（周波数表示）||{{math|''f<sub>c</sub>''{{=}}{{Sfrac|''&omega;<sub>c</sub>''|2&pi;}}}}||{{math|28.0 GHz}}||{{math|-15.2 MHz}}
|}

==歴史==
一様な磁場中の荷電粒子の運動を理論的に扱ったのは、ドイツの物理学者{{仮リンク|エドゥアルト・リーケ|en|Eduard Riecke}}である<ref name="Riecke1881">[[#Riecke1881|E. Reicke (1881)]]</ref>
<ref name="ohta2005_ch3">[[#ohta2005|太田 (2005)、第3章]]</ref>。リーケは1881年の論文「一様な磁場中での電気的な粒子の運動と負の電気的なグリム光」の中で一様な磁場中をローレンツ力を受けて運動する粒子の軌道が螺旋となることを示した。

== 脚注 ==
===注===
{{reflist|group="注"}}
===出典===
{{reflist|30em}}

==参考文献==
===論文===
*{{Cite journal
|first1=Eduard
|last1=Riecke
|authorlink1=
|title=Ueber die Bewegung eines electrischen Theilchens in einem homogenen magnetischen Felde und das negative electrische Glimmlicht
|journal=Annalen der Physik
|year=1881
|volume=249
|page=191
|doi=10.1002/andp.18812490513
|url =https://www.archive.org/details/annalenderphysi01pogggoog
|ref=Riecke1881 }}

===和文誌記事===
*{{Cite journal |
|author = 寺嶋由之介 
|authorlink = 寺嶋由之介 
|title = サイクロトロン振動数(Cyclotron Fequency)とラーモア振動数(Larmor Frequency)
|journal = プラズマ・核融合学会誌 
|volume = 69 
|issue = 1 
|year = 1993 
|page = 1281 
|crid = 154085419528177292 
|ref = terajima1993
}}{{CRID|1540854195281772928}}

===書籍===
*{{Cite book |和書
|title= 物理学大事典
|author1=
|authorlink1=
|editor = [[鈴木増雄]]、[[荒船次郎]]、[[和達三樹]]
|series=
|publisher=朝倉書店
|year=2005
|isbn=978-4254130942
|ref=suzuki_arafune_wadachi2005}}
*{{Cite book |和書
|title= 高温プラズマの物理学
|author1= 田中基彦
|authorlink1=田中基彦
|author2= 西川恭治
|authorlink2=西川恭治
|series=パリティ物理学コース
|publisher=丸善 
|year=1991
|isbn=978-4621035634
|ref=tanaka_nishikawa1991}}
*{{Cite book |和書
|title= プラズマ物理入門
|author1= 宮本健郎
|authorlink1=宮本健郎
|publisher=岩波書店
|year=1991
|isbn=978-4000059329
|ref=miyamoto1991}}
*{{Cite book |和書
|title=プラズマ物理学―基礎物理からプラズマ工学へ
|author1= 東辻浩夫
|authorlink1=東辻浩夫
|series=物理の考え方
|publisher=朝倉書店 
|year=2010
|isbn=978-4254137446
|ref=totsuji2010}}
*{{Cite book |和書
|title=プラズマ物理学
|author1=石原修 
|authorlink1=石原修
|publisher= 電気書院
|year=2015
|isbn=978-4485300756 
|ref=ishihara2015}}
*{{Cite book |和書
|title=プラズマ工学
|author1= 林泉
|authorlink1=林泉
|publisher= 朝倉書店
|year=1987
|isbn=978-4254220230
|ref=hayashi1987}}
*{{Cite book |和書
|title= マクスウェルの渦・アインシュタインの時計―現代物理学の源流
|author1=太田浩一
|authorlink1=太田浩一
|series=
|publisher=東京大学出版会
|year=2005
|isbn=978-4130630030
|ref=ohta2005}}

==関連項目==
*[[ローレンツ力]]
*[[サイクロトロン]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|サイクロトロン運動|}}
* {{Kotobank|サイクロトロン振動数|}}

{{DEFAULTSORT:さいくろとろんうんとう}}

[[Category:力学]]
[[Category:電磁気学]]