サラスの方法のソースを表示

[[File:Schema sarrus-regel.png|alt=|thumb|サラスの方法: 左三列の行列式は、赤線で結んだ斜め三項の積の和から青線で結んだ逆斜め三項の積の和を引いたものになる。]]
[[線型代数学]]における{{読み仮名|'''サラスの方法'''|サラスのほうほう|{{lang-en-short|Sarrus' rule}}、{{lang|en|Sarrus' scheme}}}}は {{math|3 × 3}} [[行列]]の[[行列式]]を算出するための計算方法である。フランスの数学者[[ピエール・フレデリック・サラス]]に由来する<ref name="Fischer"/>。

== 方法 ==
{{math|3 × 3}} 行列 <math display="block">M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math> の行列式は以下の方法で計算できる:

: まず、左の二列を第三列の右側に書き写す（各行に5列が並ぶことになる）。そして、左上から右下へ向かう対角線（実線）にそった項の積は加え、左下から右上へ向かう対角線（破線）にそった項の積を引く。そうして <math display="block">
\begin{align}
\det\left(M\right) &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 
           a_{33} \end{vmatrix}\\
        &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}- 
           a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}
\end{align}
</math> を得る<ref name="Fischer">{{cite book |title=Analytische Geometrie |last=Fischer |first=Gerd |authorlink= |coauthors= |edition=4th |year=1985 |publisher=Vieweg |location=Wiesbaden |isbn=3-528-37235-4 |page=145 |language=German |url= }}</ref><ref>Paul Cohn: ''Elements of Linear Algebra''. CRC Press, 1994, {{ISBN2|9780412552809}}, [https://books.google.de/books?id=KSL6tGj1MnAC&pg=PA69 p. 69]</ref>。

[[File:Sarrus_rule_vertical.svg|thumb|right|縦に並べてもよい]]

同様に対角線に沿って足したり引いたりする方法で {{math|2 × 2}} 行列の場合にも <math display="block">\det\left(M\right)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}</math> と計算できる<ref name="Fischer"/>。

何れも[[行列式に関するライプニッツの明示公式|ライプニッツの明示公式]]の特別の場合になっているが、より大きなサイズの行列の行列式を計算する場合にはこの算法は通用しない。サラスの方法は {{math|3 × 3}} 行列の[[余因子展開]]から導出することもできる<ref name="Fischer"/>。

サラスの方法をイメージするときには、行列の左と右を繋いで円筒状に丸めたうえで対角線上を辿ると思ってもよい。

== 参考文献 ==
<references/>

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=ruleofsarrus|title=Sarrus' rule}}
*[https://www.youtube.com/watch?v=4xFIi0JF2AM ''Linear Algebra: Rule of Sarrus of Determinants ''] at khanacademy.org

{{Linear algebra}}

{{DEFAULTSORT:さらすのほうほう}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]