サーモンの定理のソースを表示

[[ファイル:Salmon-theorem.svg|サムネイル|シムソン線に関するサーモンの定理]]
'''サーモンの定理'''（サーモンのていり、{{lang-en-short|Salmon's theorem}}）は、[[ジョージ・サーモン]]に因んで命名された[[幾何学]]の諸定理。

== 極線に関する定理 ==
''{{Mvar|O}}''を中心とする[[円 (数学)|円]]と任意の点''{{Mvar|A,B}}''について、''{{Mvar|B,A}}''の[[極と極線|極線]]への''{{Mvar|A,B}}''の[[直交射影]]（垂足）を''{{Mvar|P,Q}}''としたとき、<math>\frac{OA}{OB}=\frac{OP}{OQ}</math>が成立する<ref name=":0" /><ref name=":3">{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 : 円錐曲線 |year=1914 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂出版部]] |author=ジョージ・サーモン |translator=[[小倉金之助]] |id={{NDLJP|952208}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学辞典 : 問題解法 |year=1907 |publisher=長沢亀之助 |page=471 |author=[[長沢亀之助]] |id={{NDLJP|1087163}}}}</ref><ref>{{Cite journal|last=N|first=E. H.|date=1954-05|title=2405. Notes on conics. 17. Salmon's Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/2405-notes-on-conics-17-salmons-theorem/BFA644D8F24A096E7161CCF1268D45A6|journal=The Mathematical Gazette|volume=38|issue=324|pages=125–126|language=en|doi=10.2307/3609833|issn=0025-5572}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=Elements of Geometry: And the First Principles of Modern Geometry |url=https://www.google.co.jp/books/edition/Elements_of_Geometry/wSMAAAAAYAAJ |publisher=Sheldon & Company |date=1878 |language=en |first=William Henry Harrison |last=Phillips}}</ref>。

この定理に関して、[[澤山勇三郞]]は次の一般化を示した<ref>{{Cite book |title=沢山勇三郎全集 |publisher=[[岩波書店]] |year=1938 |author=森本清吾 |author-link=森本清吾 |id={{NDLJP|1239383}}}}</ref>。

[[円錐曲線]]''{{Mvar|S}}''と任意の点''{{Mvar|A,B}}''に関して、''{{Mvar|A,B}}''の極線の''{{Mvar|A,B}}''を通る[[垂線]]と''{{Mvar|S}}''の一方の軸との交点をそれぞれ''{{Mvar|M,N}}''、''{{Mvar|B,A}}''の極線への''{{Mvar|A,B}}''の直交射影を''{{Mvar|P,Q}}''としたとき、<math>\frac{AM}{BN}=\frac{AP}{BQ}</math>が成立する。

== 弦に関する定理 ==
円周''{{Mvar|O}}''上の任意の一点''{{Mvar|P}}''を通る3つの[[弦 (数学)|弦]]を直径とする円をそれぞれ書く。3円の''{{Mvar|P}}''でない方の交点は共線である<ref name=":3" /><ref>{{Cite book|和書 |title=最新高等平面幾何学通論 |year=1930 |publisher=内田老鶴圃 |page=51 |author=[[山崎栄作]] |id={{NDLJP|1223370}}}}</ref>。これは''{{Mvar|O}}''と3円の交点が成す三角形の[[シムソンの定理|シムソン線]]となる。

この定理には[[小倉金之助]]による一般化が存在する<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第2巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |pages= |author=[[Eugène Rouché]],[[Charles de Comberousse]] |editor=[[小倉金之助]] |page=926 |id={{NDLJP|1082037}}}}</ref>。

== 楕円に関する定理 ==
2つの[[共焦点円錐曲線|共焦点]][[楕円]]に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。[[ビリヤード]]の球の様に外側の楕円で[[ボールの跳ね返り運動|跳ね返る]]ようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続ける<ref name=":0">[[MathWorld|Mathworld]]</ref>。

== 円錐曲線に関する定理 ==
ある三角形とその[[接円錐曲線|極三角形]]の[[配景]]の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。

2つの円錐曲線''{{Mvar|S,S'}}''について、''{{Mvar|S'}}''に内接する任意の三角形が''{{Mvar|S}}''に関して自共役であるとする。このとき''{{Mvar|S'}}''に内接する三角形の''{{Mvar|S}}''に関する極は''{{Mvar|S'}}''上にある。''{{Mvar|S}}''に外接する三角形の''{{Mvar|S'}}''に関する軸は''{{Mvar|S}}''に接する<ref name=":3" />。

他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |year=1932 |publisher=[[共立社書店]] |page=113 |author=窪田忠彦 |author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|1211458}}}}</ref>。

== ケイリー-サーモンの定理 ==
円に内接する[[六角形]]''{{Mvar|abcdef}}''において、たとえば''{{Mvar|ab,cd}}''の交点を{{Math|(''ab'' , ''cd'')}}と表す。{{Math|(''ab'' , ''de''),(''bc'' , ''ef''),(''cd'' , ''fa'')}}は[[パスカルの定理]]より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線を<math>\begin{Bmatrix}
ab & cd & ef \\ 
de & bf & bc
\end{Bmatrix}</math>と書く。

今、それぞれ''{{Mvar|ab,cd,ef}}''、''{{Mvar|de,fa,bc}}''、''{{Mvar|cf,be,ad}}''の成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺

<math>\begin{matrix} 
ab & cd &ef, \\
 \begin{Bmatrix}ab & cd & ef \\ de & bf & ac\end{Bmatrix} 
&\begin{Bmatrix}cd & bf & ae \\ af & ce & bd \end{Bmatrix}
&\begin{Bmatrix}ef & bd & ac \\ bc & ae & df \end{Bmatrix},\\
 \begin{Bmatrix}ab & cd & ef \\ cf & bd & ae \end{Bmatrix} 
&\begin{Bmatrix}cd & bf & ae \\ be & ac & df \end{Bmatrix}
&\begin{Bmatrix}ef & bd & ac \\ ad & ce & bf \end{Bmatrix},\\
\end{matrix}</math>

からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という<ref name=":3" /><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |doi=10.11501/930885 |author=[[Eugène Rouché]],[[Charles de Comberousse]] |editor=[[小倉金之助]] |page=505}}</ref>。[[アーサー・ケイリー]]の名を冠する。

他、{{仮リンク|三次曲面|en|Cubic surface}}や[[代数曲線]]に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある<ref>{{Arxiv|id=1804.08025}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=Algebraic Curves over a Finite Field |url=https://www.google.co.jp/books/edition/Algebraic_Curves_over_a_Finite_Field/VnBZzTso_tQC |publisher=Princeton University Press |date=2013-03-25 |isbn=978-1-4008-4741-9 |language=en |first=J. W. P. |last=Hirschfeld |first2=Gabor |last2=Korchmaros |first3=Fernando |last3=Torres}}</ref><ref>{{Cite book |title=Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties: A Classical View of Algebraic Geometry |url=https://www.google.co.jp/books/edition/Lectures_on_Curves_Surfaces_and_Projecti/g9DBgD22n_IC |publisher=European Mathematical Society |date=2009 |isbn=978-3-03719-064-7 |language=en |first=Mauro |last=Beltrametti}}</ref>。

[[三角形]]に関しては、[[幾何中心|重心]]、[[垂心]]、[[外心]]、{{仮リンク|九点円の中心|en|Nine-point center}}が[[調和共役 (幾何学)|調和点列]]を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともある<ref>''Дмитрий Ефремов''. [http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.djvu?djvuopts&page=17 Новая геометрия треугольника] {{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.djvu?djvuopts&page=17|date=20200225055649}}. — Одесса, 1902. — С. 47. Глава II, п.47</ref>。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite book|和書 |title=Новая геометрия треугольника |url=https://archive.org/details/libgen_00031664/page/n319/mode/2up |date=1902 |language=Russian |others=Library Genesis |last=Ефремов Д. |publisher= |page=30}}
* {{Cite book |title=Элементарная геометрия. Т. 1, Планиметрия, преобразования плоскости / Èlementarnaâ geometriâ. T. 1, Planimetriâ, preobrazovaniâ ploskosti |year=2004 |publisher=Издательство МЦНМО, Moskva |page=65 |oclc=749678381 |isbn=5-94057-170-0}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld/sandbox|title=Salmons' Theorem|id=SalmonsTheorem}}

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