サーモンの定理

シムソン線に関するサーモンの定理

サーモンの定理（サーモンのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、ジョージ・サーモンに因んで命名された幾何学の諸定理。

極線に関する定理

テンプレート:Mvarを中心とする円と任意の点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarの極線へのテンプレート:Mvarの直交射影（垂足）をテンプレート:Mvarとしたとき、$\frac{OA}{OB}=\frac{OP}{OQ}$が成立する。

この定理に関して、澤山勇三郞は次の一般化を示した。

円錐曲線テンプレート:Mvarと任意の点テンプレート:Mvarに関して、テンプレート:Mvarの極線のテンプレート:Mvarを通る垂線とテンプレート:Mvarの一方の軸との交点をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの極線へのテンプレート:Mvarの直交射影をテンプレート:Mvarとしたとき、$\frac{AM}{BN}=\frac{AP}{BQ}$が成立する。

弦に関する定理

円周テンプレート:Mvar上の任意の一点テンプレート:Mvarを通る3つの弦を直径とする円をそれぞれ書く。3円のテンプレート:Mvarでない方の交点は共線である。これはテンプレート:Mvarと3円の交点が成す三角形のシムソン線となる。

この定理には小倉金之助による一般化が存在する。

楕円に関する定理

2つの共焦点楕円に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。ビリヤードの球の様に外側の楕円で跳ね返るようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続ける。

円錐曲線に関する定理

ある三角形とその極三角形の配景の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。

2つの円錐曲線テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarに内接する任意の三角形がテンプレート:Mvarに関して自共役であるとする。このときテンプレート:Mvarに内接する三角形のテンプレート:Mvarに関する極はテンプレート:Mvar上にある。テンプレート:Mvarに外接する三角形のテンプレート:Mvarに関する軸はテンプレート:Mvarに接する。

他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する。

ケイリー-サーモンの定理

円に内接する六角形テンプレート:Mvarにおいて、たとえばテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mathと表す。テンプレート:Mathはパスカルの定理より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線を$\left\{\begin{array}{ccc}ab& cd& ef\\ de& bf& bc\end{array}\right\}$と書く。

今、それぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺

$\begin{array}{ccc}ab& cd& ef,\\ \left\{\begin{array}{ccc}ab& cd& ef\\ de& bf& ac\end{array}\right\}& \left\{\begin{array}{ccc}cd& bf& ae\\ af& ce& bd\end{array}\right\}& \left\{\begin{array}{ccc}ef& bd& ac\\ bc& ae& df\end{array}\right\},\\ \left\{\begin{array}{ccc}ab& cd& ef\\ cf& bd& ae\end{array}\right\}& \left\{\begin{array}{ccc}cd& bf& ae\\ be& ac& df\end{array}\right\}& \left\{\begin{array}{ccc}ef& bd& ac\\ ad& ce& bf\end{array}\right\},\end{array}$

からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という。アーサー・ケイリーの名を冠する。

他、テンプレート:仮リンクや代数曲線に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある。

三角形に関しては、重心、垂心、外心、テンプレート:仮リンクが調和点列を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともある。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:MathWorld/sandbox