シグモイドのソースを表示

[[Image:Logistic-curve.png|thumb|シグモイド関数]]
[[File:Gjl-t(x).svg|thumb|320px|right|{{lang|el|ς}}型の関数の比較]]

'''シグモイド'''（{{lang-en-short|sigmoid}}）とは、[[ギリシア文字]][[∑|シグマ]] ({{lang|el|σ}}) の語末形（{{lang|el|ς}}）に似た形のこと。[[S字形]]ともいう。

特に各種[[統計図表|グラフ]]に現れる'''シグモイド曲線''' ({{lang-en-short|sigmoid curve}}) を指す。このようなグラフは[[個体群]]増加や、ある[[閾値]]以上で起きる反応（例えば[[急性毒性]]試験での死亡率）などに見られる。

==共通する特徴==
<math>(-\infty, \infty) \rightarrow (a,b) </math> の[[単調増加]][[連続関数]]で表される。

<math>y = a</math> と <math>y = b</math> を[[漸近線]]に持ち、
:<math>\lim_{x \rightarrow \infty} y = a </math>
:<math>\lim_{x \rightarrow -\infty} y = b </math>
:<math>\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dot y = 0 </math>
である。

1つの[[変曲点]]を持つ。つまり、変曲点を <math>(x_\mathrm{s}, y_\mathrm{s})</math> とすると、
*<math> x < x_\mathrm{s}</math> では下に凸
*<math> x = x_\mathrm{s}</math>（変曲点） では傾き最大
*<math> x > x_\mathrm{s}</math> では上に凸
となる。

==式の例==
*[[ロジスティック関数]]
**[[シグモイド関数]] - ロジスティック関数の特殊例
**[[双曲線正接関数]] (tanh) - シグモイド関数の線形変換
*[[正規分布]]の累積分布関数 ({{lang|el|Φ}}<sup>-1</sup>) - [[プロビット]]の[[逆関数]]
*[[ゴンペルツ関数]]
*[[逆正接関数]] (arctan)
* <math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}</math>
* [[グーデルマン関数]] <math>{\rm{gd}}\,x=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} = \arcsin(\tanh(x))</math>
* <math>\frac{x}{1 + |x|}</math>

==実際の例==
[[生化学]]では[[アロステリック]][[タンパク質]]（または[[酵素]]）の飽和（反応）曲線にシグモイド曲線がよく見られるが、これは正の[[協同性]]があることを示す。一般に[[ヒルの式]]という[[経験式]]で表されるが、これも変数を[[対数]]に変換すればロジスティック関数の形になる。

{{DEFAULTSORT:しくもいと}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:曲線]]
[[Category:関数]]
[[Category:統計学]]