シグモイド

シグモイド関数

テンプレート:Lang型の関数の比較

シグモイド（テンプレート:Lang-en-short）とは、ギリシア文字シグマ (テンプレート:Lang) の語末形（テンプレート:Lang）に似た形のこと。S字形ともいう。

特に各種グラフに現れるシグモイド曲線 (テンプレート:Lang-en-short) を指す。このようなグラフは個体群増加や、ある閾値以上で起きる反応（例えば急性毒性試験での死亡率）などに見られる。

共通する特徴

$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to (a,b)$ の単調増加連続関数で表される。

$y=a$ と $y=b$ を漸近線に持ち、

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }y=a$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }y=b$

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\dot{y}=0$

である。

1つの変曲点を持つ。つまり、変曲点を $(x_{\mathrm{s}},y_{\mathrm{s}})$ とすると、

• $x<x_{\mathrm{s}}$ では下に凸
• $x=x_{\mathrm{s}}$（変曲点） では傾き最大
• $x>x_{\mathrm{s}}$ では上に凸

となる。

式の例

• ロジスティック関数
  • シグモイド関数 - ロジスティック関数の特殊例
  • 双曲線正接関数 (tanh) - シグモイド関数の線形変換
• 正規分布の累積分布関数 (テンプレート:Lang^-1) - プロビットの逆関数
• ゴンペルツ関数
• 逆正接関数 (arctan)
• $\sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
• グーデルマン関数 $\mathrm{g}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}=\arcsin (\tanh (x))$
• $\frac{x}{1+|x|}$

実際の例

生化学ではアロステリックタンパク質（または酵素）の飽和（反応）曲線にシグモイド曲線がよく見られるが、これは正の協同性があることを示す。一般にヒルの式という経験式で表されるが、これも変数を対数に変換すればロジスティック関数の形になる。