シャピロの不等式のソースを表示

[[数学]]における'''シャピロの不等式'''（シャピロのふとうしき、{{Lang-en-short|Shapiro inequality}}）、または'''シャピロの巡回不等式'''とは、{{仮リンク|ハロルド・S・シャピロ|en|Harold S. Shapiro}}によって1954年に提案された[[不等式]]である。

==内容==

<math>n</math> を[[自然数]]、 <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> を非負の実数で、
:<math>x_i + x_{i+1} > 0 \quad (i=1,2, \dots, n)</math>
であるとする。ただし、 <math>x_{n+1}=x_1, x_{n+2}=x_2</math> とする。このとき、

* <math>n</math> が <math>12</math> 以下の偶数
* <math>n</math> が <math>23</math> 以下の奇数

のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。

:<math>\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}} \geq \frac{n}{2}</math>

より大きな <math>n</math> に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 <math>\gamma \frac{n}{2}</math> が存在する。ここで <math>\gamma \approx 0.9891\dots</math> 。

重要なケース <math>n=12</math> の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の <math>n=23</math> の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は <math>n=12</math> のときの解析的な証明を発表した。

<math>\gamma</math> の値は1971年に[[ウラジーミル・ドリンフェルト]]（1990年の[[フィールズ賞]]受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる <math>\gamma</math> が <math>\psi(0)</math> で与えられることを示した。ここで <math>\psi</math> は関数 <math>f(x)=e^{-x}</math> と <math>g(x) = \frac{2}{e^x+e^{\frac{x}{2}}}</math> の関数的凸包である。(つまり、 <math>\psi</math> のグラフの上側の部分は、 <math>f</math> と <math>g</math> のグラフの上側部分の合併の[[凸包]]になっている）。

左辺の、内部での極小値は常に <math>\ge\frac{n}2</math> となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。

==より大きな n に対する反例==

最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 <math>n=20</math> に対するものである：
:<math>
\begin{align}
x_{20} = ( &1+5\epsilon,\ 6\epsilon,\ 1+4\epsilon,\ 5\epsilon,\ 1+3\epsilon,\ 4\epsilon,\ 1+2\epsilon,\ 3\epsilon,\ 1+\epsilon,\ 2\epsilon,\ \\
& 1+2\epsilon,\ \epsilon,\ 1+3\epsilon,\ 2\epsilon,\ 1+4\epsilon,\ 3\epsilon,\ 1+5\epsilon,\ 4\epsilon,\ 1+6\epsilon,\ 5\epsilon)
\end{align}
</math> 
:（ここで <math>\epsilon</math> は 0 に極めて近いとする。）
このとき不等式の左辺は <math>10 - \epsilon^2 + O(\epsilon^3)</math> となり、 <math>\epsilon</math> が十分小さければ 10 より小さくなる。

次の反例は <math>n=14</math> に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：
:<math>x_{14} = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40)</math> <!--this example has been double-checked by user:FvdP, 2010/01/12-->

また、 <math>n=25</math> に対して次の反例がある：
:<math>
\begin{align}
x_{25} = ( & 32, 0, 37, 0, 43, 0, 50, 0, 59, 8, 62, 21, 55, \\
& 29, 44, 32, 33, 31, 24, 30, 16, 29, 10, 29, 4)
\end{align}
</math>

== n が小さなときの証明 ==
* <math>n=2</math>
:<math>\frac{x_1}{x_2+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}=1 \ge \frac{2}{2}</math>
:より自明である。

* <math>n=3</math>
:この場合を[[ネスビットの不等式]]といい、様々な証明が知られている。
:正の数 ''a'' に対して、[[平均|相加平均と相乗平均の不等式]]から、
::<math>a + \frac{1}{a} \ge 2 \sqrt{a \sdot \frac{1}{a}} = 2</math>
:よって、<math>S_{3} := \frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2}{x_3 + x_1} + \frac{x_3}{x_1 + x_2}</math> とおくと
::<math>
\begin{align}
2S_{3} & =  \frac{x_3 + x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_1 + x_2}{x_2 + x_3}+ \frac{x_1 + x_2}{x_3 + x_1} \\
&+ \frac{x_2 + x_3}{x_3 + x_1}+ \frac{x_2 + x_3}{x_1 + x_2} + \frac{x_3 + x_1}{x_1 + x_2} 
-3  \\
& \ge  2+2+2-3  = 3
\end{align}
</math>
:ゆえに <math>S_{3} \ge \frac{3}{2}</math> 。

* <math>n=4</math>
:正の数 ''a, b'' に対して、[[平均|相加平均と調和平均の不等式]]から、
::<math>\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b} </math>
:また、正の数 ''a, b, c, d'' に対して、[[平均|相加平均と相乗平均の不等式]]から、
::<math>\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c}+ \frac{a}{d}
\ge 4 \sqrt[4]{\frac{b}{a}  \frac{c}{b}  \frac{d}{c} \frac{a}{d}}=4 </math>
:ここで <math>S_{4} := \frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2}{x_3 + x_4} + \frac{x_3}{x_4 + x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2}</math> とおくと
::<math>
\begin{align}
2S_{4} & =   \frac{x_1+x_2}{x_2 + x_3} + \frac{x_2+x_3}{x_3 + x_4} + \frac{x_3+x_4}{x_4 + x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2}  \\
& + \frac{x_3}{x_2 + x_3} + \frac{x_4}{x_3 + x_4} + \frac{x_1}{x_4 + x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2} -4 +S_{4} \\
& \ge 4 + \frac{x_3}{x_2 + x_3} + \frac{x_4}{x_3 + x_4} + \frac{x_1}{x_4 + x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2} -4 +S_{4}\\
& = \frac{x_3}{x_2 + x_3} + \frac{x_4}{x_3 + x_4} + \frac{x_1}{x_4 + x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2} \\
& + \frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2}{x_3 + x_4} + \frac{x_3}{x_4 + x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2} \\
& = (x_1+x_3)\left(\frac{1}{x_2+x_3} + \frac{1}{x_4+x_1}\right) + (x_2+x_4)\left(\frac{1}{x_3+x_4} + \frac{1}{x_1+x_2}\right) \\
& \ge \frac{4(x_1+x_3)}{x_1+x_2+x_3+x_4} + \frac{4(x_2+x_4)}{x_1+x_2+x_3+x_4} \\
& = 4
\end{align}
</math>
:ゆえに <math>S_{4} \ge \frac{4}{2}</math> 。

==参考文献==
* {{cite book | zbl=0895.26001 | last=Fink | first=A.M. | chapter=Shapiro's inequality | editor=Gradimir V. Milovanović, G. V. | title=Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic Publishers. | series=Mathematics and its Applications (Dordrecht) | volume=430 | pages=241–248 | year=1998 | isbn=0-7923-4845-1 }}
* {{cite journal | zbl=1018.26010 | last1=Bushell | first1=P.J. | last2=McLeod | first2=J.B. | title=Shapiro's cyclic inequality for even n | journal=J. Inequal. Appl. | volume=7 | number=3 | pages=331–348 | year=2002 | issn=1029-242X |url=ftp://ftp.sam.math.ethz.ch/EMIS/journals/HOA/JIA/40a3.pdf}} They give an analytic proof of the formula for even <math>n\le12</math>, from which the result for all <math>n\le12</math> follows. They state <math>n=23</math> as an open problem.

==外部リンク==
* [https://web.archive.org/web/20100630173514/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/shapiro Usenet discussion in 1999] (Dave Rusin's notes)

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