シャピロの不等式

数学におけるシャピロの不等式（シャピロのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）、またはシャピロの巡回不等式とは、テンプレート:仮リンクによって1954年に提案された不等式である。

内容

$n$ を自然数、 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ を非負の実数で、

$x_i+x_{i+1}>0(i=1,2,\dots ,n)$

であるとする。ただし、 $x_{n+1}=x_1,x_{n+2}=x_2$ とする。このとき、

• $n$ が $12$ 以下の偶数
• $n$ が $23$ 以下の奇数

のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。

$\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\ge \frac{n}{2}$

より大きな $n$ に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 $\gamma \frac{n}{2}$ が存在する。ここで $\gamma \approx 0.9891\dots$ 。

重要なケース $n=12$ の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の $n=23$ の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は $n=12$ のときの解析的な証明を発表した。

$\gamma$ の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる $\gamma$ が $\psi (0)$ で与えられることを示した。ここで $\psi$ は関数 $f(x)=e^{-x}$ と $g(x)=\frac{2}{e^x+e^{\frac{x}{2}}}$ の関数的凸包である。(つまり、 $\psi$ のグラフの上側の部分は、 $f$ と $g$ のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。

左辺の、内部での極小値は常に $\ge \frac{n}{2}$ となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。

より大きな n に対する反例

最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 $n=20$ に対するものである：

$\begin{array}{cc}{x}_{20}=(& 1+5ϵ,6ϵ,1+4ϵ,5ϵ,1+3ϵ,4ϵ,1+2ϵ,3ϵ,1+ϵ,2ϵ,\\ & 1+2ϵ,ϵ,1+3ϵ,2ϵ,1+4ϵ,3ϵ,1+5ϵ,4ϵ,1+6ϵ,5ϵ)\end{array}$

（ここで $ϵ$ は 0 に極めて近いとする。）

このとき不等式の左辺は $10-{ϵ}^2+O({ϵ}^3)$ となり、 $ϵ$ が十分小さければ 10 より小さくなる。

次の反例は $n=14$ に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：

$x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)$

また、 $n=25$ に対して次の反例がある：

$\begin{array}{cc}{x}_{25}=(& 32,0,37,0,43,0,50,0,59,8,62,21,55,\\ & 29,44,32,33,31,24,30,16,29,10,29,4)\end{array}$

n が小さなときの証明

• $n=2$

$\frac{x_1}{x_2+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}=1\ge \frac{2}{2}$

より自明である。

• $n=3$

この場合をネスビットの不等式といい、様々な証明が知られている。

正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、

$a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}=2$

よって、$S_3:=\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_1}+\frac{x_3}{x_1+x_2}$ とおくと

$\begin{array}{cc}2S_3& =\frac{x_3+x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}+\frac{x_1+x_2}{x_3+x_1}\\ & +\frac{x_2+x_3}{x_3+x_1}+\frac{x_2+x_3}{x_1+x_2}+\frac{x_3+x_1}{x_1+x_2}-3\\ & \ge 2+2+2-3=3\end{array}$

ゆえに $S_3\ge \frac{3}{2}$ 。

• $n=4$

正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、

$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}\ge 4\sqrt[4]{\frac{b}{a}\frac{c}{b}\frac{d}{c}\frac{a}{d}}=4$

ここで $S_4:=\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2}$ とおくと

$\begin{array}{cc}2S_4& =\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}+\frac{x_2+x_3}{x_3+x_4}+\frac{x_3+x_4}{x_4+x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2}\\ & +\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}-4+S_4\\ & \ge 4+\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}-4+S_4\\ & =\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}\\ & +\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2}\\ & =(x_1+x_3)(\frac{1}{x_2+x_3}+\frac{1}{x_4+x_1})+(x_2+x_4)(\frac{1}{x_3+x_4}+\frac{1}{x_1+x_2})\\ & \ge \frac{4(x_1+x_3)}{x_1+x_2+x_3+x_4}+\frac{4(x_2+x_4)}{x_1+x_2+x_3+x_4}\\ & =4\end{array}$

ゆえに $S_4\ge \frac{4}{2}$ 。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal They give an analytic proof of the formula for even $n\le 12$, from which the result for all $n\le 12$ follows. They state $n=23$ as an open problem.

外部リンク

• Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)