シュタイナーの内接楕円のソースを表示

[[Image:Steiner Inellipse.svg|300px|right|thumb|3頂点が(1,7), (7,5), (3,1) である三角形とシュタイナーの内接楕円。{{仮リンク|マーデンの定理|en|Marden's theorem}}により、
<math>\begin{align}
& D_x(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x) \\
& = -3(3+5i-x)\left(\tfrac{13}{3}+\tfrac{11}{3}i-x\right)
\end{align}</math>
であるから、[[焦点 (幾何学)|焦点]]の座標は (3,5) と (13/3,11/3) になる。]]
[[File:Steiner-inellipse-1.svg|230px|right|thumb|
{{legend-line|solid #333333|任意の三角形 {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid blue|シュタイナーの内接楕円}}
{{legend-line|solid red|シュタイナーの（外接）楕円}}
{{legend-line|dashed #e053bb 2px|長軸および短軸}}]]
[[幾何学]]における[[三角形]]の'''シュタイナーの内接楕円'''（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する[[楕円]]である<ref name=Weisstein>{{mathworld|title=Steiner Inellipse|urlname=SteinerInellipse}}</ref>。'''中点楕円'''、'''ガウス楕円'''とも呼ばれる。この楕円はデリー<ref>[[ハインリヒ・デリー (数学者)|H. Dörrie]], ''100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution'' (D. Antin 英訳), Dover, New York, 1965, problem 98. なお、邦訳には高津巌訳『数学ノ勝利』、根上生也訳『数学100の勝利』(3分冊)がある。[http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/creator/480164.html Webcat Plus]</ref>によって[[ヤコブ・シュタイナー]]に属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている<ref name=Kalman>{{citation
 | last = Kalman | first = Dan
 | issue = 4
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 2398412
 | pages = 330–338
 | title = An elementary proof of Marden's theorem
 | url = http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Kalman.pdf
 | volume = 115
 | year = 2008}}.</ref>
。

シュタイナーの名前を冠する[[シュタイナー楕円]]は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある<ref>{{mathworld|title=Steiner Circumellipse|urlname=SteinerCircumellipse}}</ref>。

以下の解説で特に説明がない場合、''a, b, c'' は三角形の3辺の長さを表す。

== 三角形上の座標による表記 ==
シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される<ref name=Weisstein/>。
:<math>a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy-2bcyz-2cazx = 0</math>

[[重心座標]]では以下のようになる。
:<math>x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx = 0</math>

== 性質 ==
* シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の[[幾何中心|重心]]である<ref name="Weisstein" /><ref name="Chakerian" />。重心を中心とする唯一の内接楕円である<ref name="Chakerian" />{{rp|p.142}}。
* シュタイナーの内接楕円の[[面積]]は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の <math>\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}</math>倍である<ref name="Chakerian">{{citation
 | last = Chakerian | first = G. D.
 | editor-last = Honsberger | editor-first = Ross
 | contribution = A distorted view of geometry
 | location = Washington, D.C.
 | pages = 135–136, 145–146
 | publisher = Mathematical Association of America
 | series = The Dolciani Mathematical Expositions
 | title = Mathematical plums
 | volume = 4
 | year = 1979}}.</ref>{{rp|p.146}} <ref name="Minda" />{{rp|Corollary 4.2}}。
* シュタイナー楕円とは重心を共有するとともに[[図形の相似|相似]]の関係にあり、相似比は 1:2 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、[[離心率]]は等しく、面積比は 1:4 である。
* 三角形に内接する[[二次曲線]]のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである<ref name="Chakerian" />。
* シュタイナーの内接楕円は[[中点三角形]]のシュタイナー楕円である。
* シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される<ref name="Weisstein" />。
::<math>\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},</math>
:焦点間の長さは以下になる。
::<math>\frac{1}{3}\sqrt{Z}</math>
:ただし Z は以下の式で与えられる。
::<math>Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.</math>
* [[複素数平面]]において、三角形の3つの頂点の座標を[[零点]]にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の[[導関数]]の零点となる（{{仮リンク|マーデンの定理|en|Marden's theorem}}、冒頭の図も参照。）<ref name="Kalman" />。
* 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある<ref name="Minda">{{citation
 | last1 = Minda | first1 = D. | author1-link = David Minda
 | last2 = Phelps | first2 = S.
 | issue = 8
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 2456092
 | pages = 679–689
 | title = Triangles, ellipses, and cubic polynomials
 | url = http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/steve_phelps/minda%20phelps.pdf
 | volume = 115
 | year = 2008}}.</ref>{{rp|Corollary 2.4}} 。
* ''G'', ''F''<sub>+</sub>, ''F''<sub>−</sub> を三角形の重心と2つの[[フェルマー点]]とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠''F''<sub>+</sub>''GF''<sub>−</sub>の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |''GF''<sub>−</sub>| ± |''GF''<sub>+</sub>| という式で表される<ref name="Scimemi">[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.]</ref>{{rp|Thm. 1}}。
* シュタイナー内接楕円の2つの軸は[[キーペルト円錐曲線|キーペルト放物線]]に接する。
* シュタイナー内接楕円の2つの焦点は[[17点3次曲線]]上にある<ref>[https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k002.html Thomson cubic]</ref>。<!--
The foci of the Steiner inellipse of a triangle are the intersections of the inellipse's major axis and the circle with center on the minor axis and going through the Fermat points.<ref name=Scimemi/>{{rp|Thm. 6}}
-->
* [[クラーク・キンバリング]]の「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される<ref>{{Cite web |title=BICENTRIC PAIRS P(118) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html#P118 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-26}}</ref>。すなわち、
::<math>V=2a^2b^2c^2Z^3, W=b^6c^6 + c^6a^6 + a^6b^6 - 3a^4 b^4 c^4 - (b^4c^4+ c^4a^4 + a^4b^4)Z^2,</math>
::<math>f(a,b,c)=(b^2-c^2)(a^4-b^4c^4-a^2Z)+\sqrt{V-W}</math>
:として
::<math>f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\; ,\; f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)</math>
* 三角形ABCに内接する楕円の焦点を ''P'', ''Q'' とすると以下の式が成り立つ<ref>Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", ''[[Mathematical Gazette]]'' 96, March 2012, 161-165.</ref>。
::<math>\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.</math>
* △ABCと重心に対する[[九点円錐曲線]]である。

== 出典 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:しゆたいなあのないせつたえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:ヤコブ・シュタイナー]]
[[Category:数学に関する記事]]