シュタイナー点のソースを表示

[[ユークリッド幾何学]]において、'''シュタイナー点'''（シュタイナーてん、{{lang-en-short|Steiner point}}）は[[三角形の中心]]の一つである<ref>{{Cite web |author=Paul E. Black |title=Steiner point |url=http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/steinerpoint.html |website=Dictionary of Algorithms and Data Structures |publisher=U.S. National Institute of Standards and Technology. |access-date=17 May 2012}}</ref>。{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}の「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」ではX(99)として登録されている<ref name="Kimberling">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Steiner point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/steiner.html |access-date=17 May 2012}}</ref>。1826年、[[スイス]]の数学者[[ヤコブ・シュタイナー]]によって言及され、1886年、[[ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|ヨーゼフ・ノイベルグ]]によって名付けられた<ref name="Kimberling" /><ref>{{Cite journal|last=J. Neuberg|year=1886|title=Sur le point de Steiner|journal=Journal de mathématiques spéciales|page=29}}</ref>。なお、頂点との距離の和を最小にする点をシュタイナー点と言う場合もある（{{仮リンク|シュタイナー点 (計算幾何学)|en|Steiner point (computational geometry)}}を参照）<ref>{{Cite web |title=正方形の頂点と最短距離 |url=https://manabitimes.jp/math/802 |website=高校数学の美しい物語 |date=2023-06-01 |access-date=2024-03-17 |language=ja}}</ref>。

== 定義 ==
[[ファイル:Steiner_point_construction_01_.svg|サムネイル|300x300ピクセル|'''シュタイナー点の作図法'''
{{Legend-line|solid #B8860B 2px|三角形{{mvar|ABC}}}}<br /><br />''シュタイナー点で交わる線:''
{{Legend-line|solid green 2px|{{mvar|B'C'}}に平行な {{mvar|A}} を通る直線{{mvar|L{{sub|A}}}}}}
{{Legend-line|solid blue 2px|{{mvar|C'A'}}に平行な {{mvar|B}} を通る直線{{mvar|L{{sub|B}}}}}}
{{Legend-line|solid red 2px|{{mvar|A'B'}}に平行な{{mvar|C}}を通る直線{{mvar|L{{sub|C}}}}}}]]
シュタイナー点の定義は以下のとおりである（これはシュタイナー自身が採用した定義ではない<ref name="Kimberling">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Steiner point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/steiner.html |access-date=17 May 2012}}</ref>）。

: 三角形{{Mvar|ABC}} の[[外心]]を{{Mvar|O}}、[[類似重心]]を{{Mvar|K}} とする。{{Mvar|OK}} を[[直径]]とする円（[[ブロカール円]]）と{{Mvar|BC}}の[[垂直二等分線]]の{{Mvar|O}}でない方の交点を{{Mvar|A'}}とする。{{Mvar|B'}},{{Mvar|C'}}についても同様に定める（この三角形{{Mvar|A'B'C'}}は[[ブロカール三角形]]と呼ばれる）。{{Mvar|L{{sub|A}}}}を{{Mvar|A}}を通り{{Mvar|B'C'}} に平行な直線とする。{{Mvar|L{{sub|B}}}},{{Mvar|L{{sub|C}}}}も同様に定義する。このとき{{Mvar|L{{sub|A}}}},{{Mvar|L{{sub|B}}}},{{Mvar|L{{sub|C}}}}は[[共点]]で、その点を三角形{{Mvar|ABC}}のシュタイナー点と言う。

[[ファイル:Steiner_point_Construction_02.svg|サムネイル|300x300ピクセル]]「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」で採用された定義は以下の通りである。
: 三角形 {{Mvar|ABC}} について{{Mvar|O}},{{Mvar|K}}を上記のように定める。{{Mvar|l{{sub|A}}}}を、{{Mvar|OK}} を{{Mvar|BC}}で鏡映した点とする。{{Mvar|l{{sub|B}}}},{{Mvar|l{{sub|C}}}}も同様に定義する。{{Mvar|l{{sub|B}}}}と{{Mvar|l{{sub|C}}}}の交点を{{Mvar|A″}} 、{{Mvar|l{{sub|C}}}}と{{Mvar|l{{sub|A}}}} の交点を{{Mvar|B″}}、{{Mvar|l{{sub|A}}}}と{{Mvar|l{{sub|B}}}}の交点を{{Mvar|C″}}とすると、直線 {{Mvar|AA″}}, {{Mvar|BB″}} , {{Mvar|CC″}} は共点であり、その点をシュタイナー点という。

== 三線座標 ==
シュタイナー点の[[三線座標]]は以下の様に与えられる。

<math>\frac{bc}{b^2-c^2}:\frac{ca}{c^2-a^2}:\frac{ab}{a^2-b^2}
</math>

<math>=b^2c^2\csc(B-C):c^2a^2\csc(C-A):a^2b^2\csc(A-B)</math>

== 性質 ==

* [[シュタイナー楕円]]と[[外接円]]の第四交点である。
* シュタイナー点の[[チェビアン#チェバ三角形|チェバ三角形]]は'''シュタイナー三角形'''（Steiner triangle）と呼ばれ、[[キーペルト円錐曲線#キーペルト放物線|キーペルト放物線]]の[[接円錐曲線#polar triangle|Polar triangle]]である。また、シュタイナー点はキーペルト放物線の[[接円錐曲線#polar triangle|ブリアンション点]]である。
* [[カナダ]]の数学者[[ロス・ホンスバーガー]]は、三角形のシュタイナー点は、各頂点にその頂点の外角の大きさに等しい[[質量]]をつり下げて得られる系の[[重心]]であると述べた<ref>{{Cite book |last=Honsberger |first=Ross |title=Episodes in nineteenth and twentieth century Euclidean geometry |year=1965 |publisher=The Mathematical Association of America |pages=119–124}}</ref>。しかしこれは誤りで、実際は、'''シュタイナーの曲率重心'''X(1115) であり、その三線座標は以下の式で与えられる。<math>\left(\frac{\pi - A}{a} : \frac{\pi - B}{b} : \frac{\pi - C}{c}\right)</math>.<ref>{{Cite web |author=Eric W. |first=Weisstein |title=Steiner Curvature Centroid |url=http://mathworld.wolfram.com/SteinerCurvatureCentroid.html |publisher=MathWorld—A Wolfram Web Resource. |access-date=17 May 2012}}</ref> 
* シュタイナー点に対する三角形{{Mvar|ABC}}の[[シムソン線]]は[[外心]]と[[類似重心]]を通る直線（[[ブロカール点|ブロカール軸]]）に平行である。

== タリ―点 ==
{{main|タリー点}}
[[ファイル:Tarry_point_Construction.svg|サムネイル|300x300ピクセル| {{Mvar|A}} を通る{{Mvar|B'C'}}の垂線、{{Mvar|B}}を通る{{Mvar|C'A'}}の垂線、{{Mvar|C}}を通る{{Mvar|A'B'}}の垂線はタリ―点で交わる。]]
シュタイナー点と似た性質を持つ点が[[タリー点|タリ―点]]である。三角形{{Mvar|ABC}}の外接円の、シュタイナー点の対蹠点をタリ―点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(98)として登録されている。タリ―点の三線座標は以下の式で与えられる。

: <math>\sec(A+\omega):\sec(B+\omega):\sec(C+\omega)</math>
: <math>=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)</math>
::: ここで {{Mvar|ω}} は [[ブロカール点|ブロカール角]]で
::: <math>f(a,b,c)=\frac{bc}{b^4+c^4-a^2b^2-a^2c^{2}}</math> である。

シュタイナー点のように、タリ―点は以下の様に定義される。

: 三角形 {{Mvar|ABC}}に対し三角形{{Mvar|A'B'C'}} を[[ブロカール三角形]] とする。{{Mvar|L{{sub|A}}}}を{{Mvar|B'C'}}に垂直な{{Mvar|A}}を通る直線、{{Mvar|L{{sub|B}}}}を{{Mvar|C'A'}}に垂直な{{Mvar|B}}を通る直線、{{Mvar|L{{sub|C}}}}を{{Mvar|A'B'}}に垂直な{{Mvar|C}}を通る直線とする。このとき、{{Mvar|L{{sub|A}}}}, {{Mvar|L{{sub|B}}}},{{Mvar|L{{sub|C}}}}は[[共点]]であり、その点を三角形{{Mvar|ABC}}のタリ―点という。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==

* [[三角形の中心]]
* [[タリー点]]

{{デフォルトソート:しゆたいなあてん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]