シュピーカー点のソースを表示

[[幾何学]]において, '''シュピーカー点'''（シュピーカーてん、[[英語|英]]:''Spieker center'',''Spieker point''<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf |title=Some Triangle Centers Associated with the Circles Tangent to the Excircle |access-date=2024/5/3 |publisher=[[Forum Geometricorum]] |author=Boris Odehnal}}</ref>）または'''シュピーカー中心'''、'''シュピーカー心'''は、[[三角形の中心]]の一つである。 三角形の[[周長]]の[[重心]]として定義される<ref name="Ross">{{Cite book |last=Honsberger |first=Ross |title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry |year=1995 |publisher=Mathematical Association of America |pages=3–4}}</ref><ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Spieker center |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/spieker.html |access-date=5 May 2012}}</ref>。  19世紀のドイツの数学者[[テオドール・シュピーカー]]にちなんで名づけられた<ref>{{Cite book |last=Spieker |first=Theodor |title=Lehrbuch der ebenen Geometrie |year=1888 |location=Potsdam, Germany}}</ref>。{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}の「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」ではX(10)として登録されている 。

== 位置 ==
[[ファイル:SpiekerCenter.svg|サムネイル|350x350ピクセル|
シュピーカー点の作図,三角形DEFは三角形ABCの中点三角形,Sは三角形DEFの[[内心]]]]
シュピーカー点は中点三角形の[[内心]]である。

つまりシュピーカー点は {{Math|△''ABC''}} の[[中点三角形]]の[[内接円]]の中心である。この円は[[シュピーカー円]]と呼ばれている。

またシュピーカー点は、{{仮リンク|中分線|en|Cleaver (geometry)}}（中点を通り周長を二等分する直線）の交点である。

== 性質 ==
[[ファイル:CleavanceCenter.svg|サムネイル|350x350ピクセル|黒い破線は三角形ABCの[[角の二等分線]],青い線は中分線,赤い線はシュピーカー円]]
{{Math|△''ABC''}}のシュピーカー点を{{Mvar|S}}とする。

* {{Mvar|S}}の [[三線座標]] は以下の式で表される。

:: <math>bc(b+c) : ca(c+a) : ab(a+b).</math><ref name="Clark">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Encyclopedia of Triangle Centers |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |access-date=5 May 2012}}</ref>

* [[重心座標]] は以下の式で表される。

:: <math>b+c : c+a : a+b.</math>

* {{Mvar|S}} は3つの[[三角形の内接円と傍接円|傍接円]]の[[根心]] である<ref>{{Citation|和書|title=Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles|last=Odenhal|first=Boris|year=2010|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=10|pages=35–40}}</ref>。
* {{Mvar|S}} は{{Math|△''ABC''}}の中分線の交点である。
* {{Mvar|S}} は{{Math|△''ABC''}}のナーゲル線上にある。また、[[内心]]''I'',[[幾何中心|重心]]{{Mvar|G}},[[ナーゲル点]]''N''について<math>  3 \overrightarrow{\mathrm{IG}}
= 2  \overrightarrow{\mathrm{IS}}
=  \overrightarrow{\mathrm{IN}} </math>が成り立つ<ref>{{Cite web |author=Bogomolny |first=A. |authorlink=Alexander Bogomolny |title=Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles |url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NagelLine.shtml |access-date=5 May 2012}}</ref>。

::

* {{Mvar|S}} は[[キーペルト双曲線]]上にある<ref>{{Cite web |url=https://mathworld.wolfram.com/KiepertHyperbola.html |title=キーペルト双曲線 |access-date=2024/3/9 |publisher=Weisstein, Eric W}}</ref>。つまり角XBC,XCB,YCA,YAC,ZAB,ZBAが以下の式で表される{{math|△''XBC'', △''YCA'', △''ZAB''}}を内側に描いたとき、{{mvar|AX, BY, CZ}}の交点である。

:: <math>\theta = \tan^{-1}\left[ \tan\left(\frac{A}{2}\right) \tan\left(\frac{B}{2}\right) \tan\left(\frac{C}{2}\right) \right].</math>

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>

{{デフォルトソート:しゆひいかあてん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]