シラッシの多面体のソースを表示

{{脚注の不足|date=2023年7月}}
{{Infobox polyhedron 
| Image_File=Szilassi polyhedron.svg
| Polyhedron_Type=[[穿孔多面体]]、[[七面体]]
| Face_Count=7つの[[六角形]]
| Edge_Count=21
| Vertex_Count=14
| euler=0 (種数 1) <!--日本語版にないらしい-->
| symmetry=C<sub>1</sub>, [ ]<sup>+</sup>, (11)
| Vertex_List=6,6,6
| dual=[[チャーサールの多面体]]
| Property_List=非凸
| Net_Image_File=
}}
'''シラッシの多面体'''（シラッシのためんたい、{{lang-en-short|Szilassi polyhedron}}）は7つの[[六角形]]の面からなる、[[トーラス]]に同相な、凸でない[[多面体]]である。

== 彩色と対称性 ==
シラッシの多面体の全ての面は、他のどの面とも一辺を共有している。よって、隣接する面を異なる色で塗るためには七色を要し、[[四色定理|七色定理]]の下界値を与える。シラッシの多面体は180度[[回転対称]]の軸を1つ持ち、3対の面は合同である。対にならない残り1つの六角形は、この軸に関して垂直かつ180度回転対称である。14個の頂点と21本の辺は、トーラス表面へと埋め込まれた[[ヒーウッドグラフ|ヒーウッド・グラフ]]の形をしている。

== 面の完全な隣り合い ==
{{unsolved|数学|面の数が7より多く、全ての面同士が一辺を共有するような非凸多面体は存在するか？}}
[[四面体]]とシラッシの多面体は、全ての面同士が一辺を共有する多面体として（今のところ）知られているただ2つのものである。

もし ''f'' 枚の面を持つ多面体が ''h'' 個の穴を持つ曲面に埋め込まれていて、全ての面が他のどの面とも一辺を共有しているならば、[[オイラー標数]]の式を変形して
<math display="block">h=\frac{(f-4)(f-3)}{12}</math>
であることが導かれる。四面体は ''h'' = 0, ''f'' = 4 で、シラッシの多面体は ''h'' = 1, ''f'' = 7 でこの等式を満たす。

数式上、次に考えられるのは ''h'' = 6, ''f'' = 12 で、これは各面が[[十一角形]]で44個の頂点と66本の辺をもつ多面体になるだろう。しかしながら、そのような多面体が（単に{{仮リンク|抽象多面体|en|Abstract polytope}}であるにとどまらず）幾何的に実現できるか否かは知られていない。一般には、この式が満たされるのは <math>f \equiv 0,3,4,7 \pmod {12}</math> のときに限られる。

== 歴史 ==
シラッシの多面体の名は、1977年にこれを発見したハンガリーの数学者ラヨシュ・シラッシ（[[:en:Lajos Szilassi|Lajos Szilassi]]）に由来する。その[[双対多面体|双対]]である[[:en:Császár polyhedron|チャーサールの多面体]]はアーコシュ・チャーサール（[[:en:Ákos Császár|Ákos Császár]]）が1949年に発見していたもので、こちらは7つの頂点、全ての頂点対を結ぶ21本の辺、14枚の三角形の面を持つ{{harv|Császár|1949}}。チャーサールの多面体もシラッシの多面体と同様、トーラスと同相である。

== ギャラリー ==
<gallery>
Net of szilassi polyhedron.svg|[[展開図]]
Szilassi polyhedron 3D model.svg|各面を異なる色で表示した正射投影。ファイルを開くとマウスを左右に動かして模型を回転させられる。<ref>Branko Grünbaum, Lajos Szilassi, [http://www.diale.org/pdf/csaszar.pdf ''Geometric Realizations of Special Toroidal Complexes''], Contributions to Discrete Mathematics, Volume 4, Number 1, Pages 21-39, ISSN 1715-0868</ref>
Szilassi polyhedron.gif|回転するシラッシの多面体
</gallery>

== 参考文献 ==
*{{citation
 | last = Császár | first = Ákos | author-link = Ákos Császár
 | journal = Acta Sci. Math. Szeged
 | pages = 140–142
 | title = A polyhedron without diagonals
 | volume = 13
 | year = 1949}}.
*{{citation
 | doi = 10.1038/scientificamerican1178-22
 | last = Gardner | first = Martin | author-link = マーティン・ガードナー
 | title = In Which a Mathematical Aesthetic is Applied to Modern Minimal Art
 | journal = [[Scientific American]]
 | pages = 22–32
 | department = Mathematical Games
 | issue = 5
 | volume = 239
 | year = 1978}}.
*{{citation
 | last1 = Jungerman | first1 = M.
 | last2 = Ringel | first2 = Gerhard | author2-link = Gerhard Ringel
 | doi = 10.1007/BF02414187
 | issue = 1–2
 | journal = Acta Mathematica
 | pages = 121–154
 | title = Minimal triangulations on orientable surfaces
 | volume = 145
 | year = 1980}}.
*{{citation
 | last = Peterson | first = Ivars | author-link = Ivars Peterson
 | publisher = [[Mathematical Association of America]]
 | contribution = A polyhedron with a hole
 | title = MathTrek
 | url = http://www.maa.org/mathland/mathtrek_01_22_07.html
 | year = 2007}}.
*{{citation
 |last    = Szilassi
 |first   = Lajos
 |journal = Structural Topology
 |pages   = 69–80
 |title   = Regular toroids
 |url     = http://www-iri.upc.es/people/ros/StructuralTopology/ST13/st13-06-a3-ocr.pdf
 |volume  = 13
 |year    = 1986
}}
*{{Cite book|和書|author=マーク・チャンバーランド |translator=川辺治之 |year=2016 |title=ひとけたの数に魅せられて |publisher=岩波書店 |isbn=9784000058858}}

{{reflist}}

== 外部リンク ==
*{{citation
 | last = Ace | first = Tom
 | title = The Szilassi polyhedron
 | url = http://www.minortriad.com/szilassi.html}}.
*{{MathWorld | urlname=SzilassiPolyhedron | title=Szilassi Polyhedron}}
* [http://cutoutfoldup.com/patterns/0927_a4.pdf Szilassi Polyhedron] – Papercraft model at [http://cutoutfoldup.com CutOutFoldUp.com]

{{Polyhedron-stub}}
{{多面体}}
{{デフォルトソート:しらつしのためんたい}}
[[Category:多面体]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
<!--
[[Category:Nonconvex polyhedra]] 非凸多面体
[[Category:Toroidal polyhedra]] 穿孔多面体
-->