シラッシの多面体

テンプレート:脚注の不足 テンプレート:Infobox polyhedron シラッシの多面体（シラッシのためんたい、テンプレート:Lang-en-short）は7つの六角形の面からなる、トーラスに同相な、凸でない多面体である。

彩色と対称性

シラッシの多面体の全ての面は、他のどの面とも一辺を共有している。よって、隣接する面を異なる色で塗るためには七色を要し、七色定理の下界値を与える。シラッシの多面体は180度回転対称の軸を1つ持ち、3対の面は合同である。対にならない残り1つの六角形は、この軸に関して垂直かつ180度回転対称である。14個の頂点と21本の辺は、トーラス表面へと埋め込まれたヒーウッド・グラフの形をしている。

面の完全な隣り合い

テンプレート:Unsolved 四面体とシラッシの多面体は、全ての面同士が一辺を共有する多面体として（今のところ）知られているただ2つのものである。

もし f 枚の面を持つ多面体が h 個の穴を持つ曲面に埋め込まれていて、全ての面が他のどの面とも一辺を共有しているならば、オイラー標数の式を変形して $$h=\frac{(f-4)(f-3)}{12}$$ であることが導かれる。四面体は h = 0, f = 4 で、シラッシの多面体は h = 1, f = 7 でこの等式を満たす。

数式上、次に考えられるのは h = 6, f = 12 で、これは各面が十一角形で44個の頂点と66本の辺をもつ多面体になるだろう。しかしながら、そのような多面体が（単にテンプレート:仮リンクであるにとどまらず）幾何的に実現できるか否かは知られていない。一般には、この式が満たされるのは $f\equiv 0,3,4,7(\mathrm{mod}12)$ のときに限られる。

歴史

シラッシの多面体の名は、1977年にこれを発見したハンガリーの数学者ラヨシュ・シラッシ（Lajos Szilassi）に由来する。その双対であるチャーサールの多面体はアーコシュ・チャーサール（Ákos Császár）が1949年に発見していたもので、こちらは7つの頂点、全ての頂点対を結ぶ21本の辺、14枚の三角形の面を持つテンプレート:Harv。チャーサールの多面体もシラッシの多面体と同様、トーラスと同相である。

ギャラリー

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  展開図
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  各面を異なる色で表示した正射投影。ファイルを開くとマウスを左右に動かして模型を回転させられる。
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  回転するシラッシの多面体

参考文献

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• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:Citation.
• テンプレート:MathWorld
• Szilassi Polyhedron – Papercraft model at CutOutFoldUp.com