十一角形

十一角形（じゅういちかくけい、じゅういちかっけい、hendecagon）は、多角形の一つで、11本の辺と11個の頂点を持つ図形である。内角の和は1620°、対角線の本数は44本である。

正十一角形

正十一角形においては、中心角と外角は32.72…°で、内角は147.27…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十一角形の面積 S は

S = \frac{11}{4} a^{2} \cot \frac{π}{11} ≃ 9.36564 a^{2}

となる。

$\cos (2 π / 11)$ の値は冪根を用いて以下となる^[1]。

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{11} = & - \frac{1}{10} \\ + \frac{- 1 + \sqrt{5} + i \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{40} {\sqrt[5]{- \frac{11}{4} {89 + 25 \sqrt{5} + (45 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} - 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) i}} + \sqrt[5]{- \frac{11}{4} {89 - 25 \sqrt{5} + (5 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + 45 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) i}}} \\ + \frac{- 1 + \sqrt{5} - i \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{40} {\sqrt[5]{- \frac{11}{4} {89 + 25 \sqrt{5} - (45 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} - 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) i}} + \sqrt[5]{- \frac{11}{4} {89 - 25 \sqrt{5} - (5 \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}} + 45 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) i}}} \\ = & 0.841253 \dots \end{matrix}

正十一角形はコンパスと定規だけではもちろん、目盛り付き定規を用いても作図が不可能な図形である。折り紙による作図も不可能である。

正十一角形はネウシス作図^[2]や折り紙の多重折り^[3]であれば作図可能となり、当然、面積が最大の正十一角形は折れる。

2023年現在流通しているカナダ1ドル硬貨は正十一角形をデザインの中に含む（→w:Loonie）。

アメリカ合衆国にも正十一角形をデザインの中に含む1ドル硬貨があった（→w:Susan B. Anthony dollar）。