シルベスター行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2019年6月17日 (月) 00:35 (UTC)}}
'''シルベスター行列'''（シルベスターぎょうれつ、{{Lang-en|Sylvester matrix}}）とは、2つの[[多項式]]が[[共通根]]を持つか否かを判定する[[行列]]である。名称は英国の数学者[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター]]に因む。

== 概要 ==
2つの多項式を以下のようにする。

<math>f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n</math>

<math>g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^{m-i} = b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \dots + b_m</math>

このとき、<math>m + n</math> 個の変数をもつ連立方程式
{{Indent|<math>\begin{cases}
 a_0 x_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n &= 0\\
 \quad\qquad a_0 x_1 + \cdots + a_{n-1} x_n + a_n x_{n+1}\quad &= 0\\
 \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\cdots & \\
 \qquad\qquad\qquad a_0 x_{m-1} + a_1 x_m + \cdots\cdots + a_n x_{m+n-1} &= 0\\
 b_0 x_0 + b_1 x_1 + \cdots\cdots + b_m x_m &= 0\\
 \quad\qquad b_0 x_1 + \cdots\cdots + b_{m-1} x_m + b_m x_{m+1} &= 0\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\cdots & \\
 \quad\qquad\qquad b_0 x_{n-1} + b_1 x_n + \cdots\cdots\cdots + b_m x_{m+n-1} &= 0
\end{cases}</math>}}
が自明でない解 <math>x_k = \alpha^{m+n-1-k} (0 \leqq k \leqq m + n - 1</math>) を持つことと、<math>f</math>, <math>g</math> が共通根 <math>\alpha</math> を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される <math>m + n</math> 次の[[正方行列]]である。
{{Indent|<math>
\begin{pmatrix}
a_{0} & a_{1} & \quad  & \cdots & a_{n}  &        &        & \\[5pt]
      & a_{0} & a_{1}  & \quad  & \cdots & a_{n}  &        & 0 \\[5pt]
  0   &       & \ddots & \ddots &        &        & \ddots & \\[5pt]
      &       &        & a_{0}  & a_{1}  & \quad  & \cdots & a_{n} \\[5pt]
b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad  & b_{m}  &        &        & \\[5pt]
      & b_{0} & b_{1}  & \cdots & \quad  & b_{m}  &        & 0 \\[5pt]
  0   &       & \ddots & \ddots &        &        & \ddots & \\[5pt]
      &       &        & b_{0}  & b_{1}  & \cdots & \quad & b_{m}
\end{pmatrix}
</math>}}

また、この行列の行列式を <math>R(f, g)</math> と表し、'''終結式'''（しゅうけつしき、{{Lang-en|resultant}}; '''リザルタント'''）またはシルベスター行列式と言う。
{{Indent|<math>f(x) = a_0 \prod_{i=1}^{\deg f} (x - \alpha_i),\quad g(x) = b_0 \prod_{j=1}^{\deg g}( x - \beta_j)</math>}}
と因数分解するとき、
{{Indent|
<math>R(f,g) = a_0^{\deg g} b_0^{\deg f} \prod_{1\le i\le \deg f,1\le j\le \deg g} (\alpha_i - \beta_j)</math>

<math>R(cf,g) = c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg) = c^{\deg f}R(f,g)</math>
}}
<math>f(x)</math> と <math>g(x)</math> が共通根をもつための必要十分条件は <math>R(f,g) = 0</math> である。多項式 <math>f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n</math> が[[重根 (多項式)|重根]]をもつための必要十分条件は <math>f</math> とその導多項式 <math>f'</math> が共通根を持つことであり、また、<math>f</math> の[[判別式]] <math>D(f)</math> が <math>D(f) = 0</math> となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として

{{Indent|<math>a_0 D(f) = (-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')</math>}}

{{DEFAULTSORT:しるへすたあきようれつ}}
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