ジェラベク双曲線のソースを表示

[[ファイル:Jerabek hyperbola.png|サムネイル|313x313ピクセル|ジェラベク双曲線(緑)、オイラー線(赤)の等角共役点の軌跡]]
[[幾何学]]において、'''ジェラベク双曲線'''{{Efn|チェコ語の発音に則って、イェラベックとも書かれる。}}（ジェラベクそうきょくせん、{{Lang-en-short|Jerabek hyperbola}}）は、[[チェコ]]の数学者{{仮リンク|ヴァーツラフ・ジェラベク|en|Václav Jeřábek|cs|Václav_Jeřábek_(matematik)}}にちなんで名付けられた、三角形の[[頂点]]、[[外接円|外心]]、[[垂心]]などを通る[[双曲線]]である<ref>{{Cite web |url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2019/04/3-32-37.pdf |title=SECOND NOTE ON JERABEK’S HYPERBOLA |access-date=2024/5/8 |publisher=INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRY |author=PARIS PAMFILOS}}</ref>。[[オイラー線]]の[[等角共役]]点の軌跡としても定義される。

== 双曲線上の点 ==
ジェラベク双曲線は、三角形の頂点、外心、垂心の他、以下の点などを通る<ref name=":0">{{MathWorld|title=Jerabek Hyperbola|urlname=JerabekHyperbola}}</ref>。番号は[[三角形の中心]]、 ''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]'' を参照。

* [[類似重心]]{{Math|''X''{{sub|6}}}}、[[幾何中心|重心]]{{Math|''X''{{sub|2}}}}の等角共役
* [[コスニタの定理|コスニタ点]]{{Math|''X''{{sub|54}}}}、[[九点円]]の中心{{Math|''X''{{sub|5}}}}の等角共役
* [[ド・ロンシャン点]]{{Math|''X''{{sub|20}}}}の等角共役{{Math|''X''{{sub|64}}}}
* [[ジェルゴンヌ点|接触三角形]]の垂心{{Math|''X''{{sub|65}}}}、[[シフラー点]]{{Math|''X''{{sub|21}}}}の等角共役
* [[プラソロフ点]]{{Math|''X''{{sub|68}}}}、[[頂垂線 (三角形)#垂足三角形|垂心三角形]]の垂心三角形と元の三角形の[[配景]]の中心{{Math|''X''{{sub|24}}}}の等角共役
* [[中点三角形#逆補三角形|逆補三角形]]の類似重心{{Math|''X''{{sub|69}}}}、[[接線三角形]]と垂心三角形の相似の中心{{Math|''X''{{sub|25}}}}の等角共役

== 双曲線の中心 ==
''Encyclopedia of Triangle Centers'' では、ジェラベク双曲線の中心（Jerabek center<ref>{{MathWorld|title=Jerabek Center|urlname=JerabekCenter}}</ref>）は{{Math|''X''{{sub|125}}}}として登録されており、[[三線座標]]によって以下の式で与えられる<ref name=":1">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(125) = CENTER OF JERABEK HYPERBOLA |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X125 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-04}}</ref>。

:<math>\cos A \sin^2(B - C) : \cos B \sin^2(C - A) : \cos C \sin^2(A - B)</math>

=== 性質 ===

* 九点円上にある。一般に、三角形の頂点と垂心を通る[[双曲線|直角双曲線]]の中心は九点円上にある（[[ポンスレ束]]）<ref>{{Cite web |url=https://nnn.ed.jp/about/club/kenkyubu/pdf/2022/kiyou_07.pdf |title=等角共役とシムソン線の幾何学 |access-date=2024/5/5 |publisher=角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部 |author=齋藤 輝}}</ref>。
* [[キーペルト円錐曲線#キーペルト放物線|キーペルト放物線]]の焦点{{Math|''X''{{sub|110}}}}を重心を中心に-1/2倍拡大した点（[[補点 (三角形)|補点]]）である<ref name=":1" />。
* 重心、[[タリー点|タリ―点]]、{{Math|''X''{{sub|110}}}}と[[共線]]である。

== 式 ==
ジェラベク双曲線は、[[三線座標]]{{Math|(''x'' : ''y'' : ''z'')}}を用いて、以下の式で表される<ref name=":0" />。

:<math>\frac{a(\sin2B-\sin2C)}{x}+\frac{b(\sin2C-\sin2A)}{y}+\frac{c(\sin2A-\sin2B)}{z}=0</math>

== 第四交点 ==
ジェラベク双曲線と[[外接円]]の第四交点は ''Encyclopedia of Triangle Centers'' で{{Math|''X''{{sub|74}}}}として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(74) = ISOGONAL CONJUGATE OF EULER INFINITY POINT |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X74 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-04}}</ref>。

:<math>\frac{1}{\cos A - 2 \cos B \cos C}:\frac{1}{\cos B - 2 \cos C \cos A}:\frac{1}{\cos C - 2 \cos A \cos B}</math>

=== 性質 ===
* [[オイラー線#線上の特殊な点|オイラー無限遠点]]の等角共役点である。
* {{Math|''X''{{sub|74}}}}と垂心の[[中点]]は{{Math|''X''{{sub|125}}}}である。
* {{Math|''X''{{sub|74}}}}は[[ノイベルグ三次曲線]]上にある<ref>{{MathWorld|title=Neuberg Cubic|urlname=NeubergCubic}}</ref>。
* 外接円に関する、{{Math|''X''{{sub|110}}}}の対蹠点である。
* ド・ロンシャン点とプラソロフ点と共線である。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
== 関連項目 ==
* [[キーペルト双曲線]]
* [[フォイエルバッハ双曲線]]
* [[三角形の円錐曲線]]
* [[接円錐曲線|外接円錐曲線]]

{{デフォルトソート:しえらへくそうきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:数学のエポニム]]