ジグザグ補題のソースを表示

[[数学]]、特に[[ホモロジー代数学]]における'''ジグザグ補題'''（ジグザグほだい、{{Lang-en-short|zig-zag lemma}}）は、[[鎖複体]]の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー群]]から成るある種の[[完全系列|長完全列]]の存在を述べるものである。この結果は任意の[[アーベル圏]]で通用する。

== 補題の主張 ==
任意のアーベル圏（[[アーベル群]]の圏や与えられた[[可換体|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など）において、<math>(\mathcal{A},\partial_{\bullet}), (\mathcal{B},\partial_{\bullet}'), (\mathcal{C},\partial_{\bullet}'')</math> が以下の[[完全系列|短完全列]]を満たす鎖複体だとする：

: <math>0 \longrightarrow \mathcal{A} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \mathcal{B} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} \mathcal{C}\longrightarrow 0</math> 

この系列は以下の[[可換図式]]の略記であるとする：

[[image:complex_ses_diagram.png|commutative diagram representation of a short exact sequence of chain complexes]]

ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。

ジグザグ補題は、境界写像（族）

: <math> \delta_n : H_n(\mathcal{C}) \longrightarrow H_{n-1}(\mathcal{A}), </math>

が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する：

[[image:complex_les.png|long exact sequence in homology, given by the Zig-Zag Lemma]]

<math>\alpha_*^{ }</math> と <math>\beta_*^{ }</math> は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像 <math>\delta_n^{ }</math> は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『[[蛇の補題]]』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。

== 境界写像の構成 ==
写像 <math>\delta_n^{ }</math> は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。<math>c \in C_n</math> を、 <math>H_n(\mathcal{C})</math> に属すある同値類の代表元とする。よって <math>\partial_n''(c) = 0</math> 。行方向の完全性より <math>\beta_n^{ }</math> は全射なので、<math>\beta_n^{ }(b) = c</math> となる <math>b \in B_n</math> が存在しなければならない。図式の可換性より、 

:<math> \beta_{n-1} \partial_n' (b) = \partial_n'' \beta_n(b) = \partial_n''(c) = 0 </math>

再び行方向の完全性より、 

:<math>\partial_n'(b) \in \ker \beta_{n-1} = \mathrm{im} \alpha_{n-1}</math>

<math>\alpha_{n-1}^{}</math> は単射だから、<math>\alpha_{n-1}(a) = \partial_n'(b)</math> を満たす <math>a \in A_{n-1}</math> が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら <math>\alpha_{n-2}^{ }</math> は単射で、かつ <math>\partial^2 = 0</math> より

:<math>\alpha_{n-2} \partial_{n-1}(a) = \partial_{n-1}' \alpha_{n-1}(a) = \partial_{n-1}' \partial_n'(b) = 0</math>

が従うからである（つまり <math>\partial_{n-1}(a) \in \ker \alpha_{n-2} = \{0\}</math> ）。<math>a</math> は輪体なので、<math>H_{n-1}(\mathcal{A})</math> に属すある同値類の代表元になる。ここで、

:<math> \delta_{ }^{ }[c] = [a]</math>

と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が ''c'' と ''b'' の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。

== 関連項目 ==
* [[マイヤー・ヴィートリス完全系列]]

==参考文献==

*{{cite book | first = Allen | last = Hatcher | authorlink = Allen Hatcher | year = 2002 | title = Algebraic Topology | publisher  = Cambridge University Press | isbn = 0-521-79540-0 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}
*{{Lang Algebra}}
*{{cite book | first = James R. | last = Munkres | authorlink = James Munkres | year = 1993 | title = Elements of Algebraic Topology | publisher = Westview Press | location = New York | isbn = 0-201-62728-0}}

{{DEFAULTSORT:しくさくほたい}}
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[[Category:補題]]
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