ジョルダン標準形のソースを表示

'''ジョルダン標準形'''（ジョルダンひょうじゅんけい、{{lang-en-short|Jordan normal form}}）とは、[[代数的閉体]]（例えば[[複素数]][[可換体|体]]）上の[[正方行列]]に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と[[行列の相似|相似]]である。名前は[[カミーユ・ジョルダン]]に因む。

== 定義 ==
=== 行列 ===
次の形の {{mvar|n}}次[[正方行列]]を'''ジョルダン細胞'''という{{Sfn|斎藤|1966|p=187}}。
:<math>J_n(\lambda) = \begin{bmatrix}
\lambda &1       &\cdots &\cdots &0        \\
\vdots  &\lambda &1      &        &\vdots  \\
\vdots  &        &\ddots &\ddots  &\vdots  \\
\vdots  &        &       &\lambda &1       \\
0       &\cdots  &\cdots &\cdots  &\lambda
\end{bmatrix}</math>

[[代数的閉体]] {{mvar|K}} 成分の正方行列 {{mvar|A}} に対して、ある[[正則行列]] {{mvar|P}} を取ると
:<math>P^{-1}AP=J= \begin{bmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1) &\cdots &0 \\
\vdots             &\ddots &\vdots \\
0                  &\cdots &J_{n_k}(\lambda_k)
\end{bmatrix}</math>
となる{{Sfn|斎藤|1966|loc=第6章 定理[2.2]}}。このとき {{mvar|λ{{sub|i}}}} は {{mvar|A}} の[[固有値]]である。この行列 {{math2|1=''J'' =''P''{{sup|&minus;1}}''AP''}} のことを、行列 {{mvar|A}} の'''ジョルダン標準形'''という{{Sfn|斎藤|1966|p=191}}。

=== 線形変換 ===
[[代数的閉体]] {{mvar|K}} 上の[[ベクトル空間の次元|有限次元]][[線形空間]]を {{mvar|V}} とし、[[線形変換]] {{math2|''&fnof;'' : ''V'' → ''V''}} をとる。
{{mvar|&fnof;}} が'''半単純''' (semisimple) であるとは、線形空間 {{mvar|V}} が <math>V = \bigoplus V_\lambda</math> と {{mvar|&fnof;}} の[[固有値]] {{math2|''λ'' ∈ ''K''}} の[[固有空間]] {{math2|''V{{sub|λ}}'' {{=}} { ''v'' ∈ ''V'' {{!}} ''&fnof;''(''v'') {{=}} ''λ'' } }}の[[ベクトル空間の直和|直和]]として表せることである。
また {{mvar|&fnof;}} が '''冪零''' (nilpotent) であるとは、ある[[自然数]] {{mvar|r}} が存在して {{math2|''f{{sup|r}}'' {{=}} 0}} となることである。

線形変換 {{math2|''&fnof;'' : ''V'' → ''V''}} に対して、半単純線形変換 {{math|''&fnof;''{{sub|s}}}} と冪零線形変換 {{math|''&fnof;''{{sub|n}}}} で
:<math> f = f_{\rm s} + f_{\rm n}, \quad f_\mathrm{s} f_\mathrm{n} - f_\mathrm{n} f_\mathrm{s} = 0 </math>
を満たすものが一意的に存在する。このとき {{math|''&fnof;'' {{=}} ''&fnof;''{{sub|s}} + ''&fnof;''{{sub|n}}}} のことを（加法的）'''ジョルダン分解'''といい、{{math|''&fnof;''{{sub|s}}}} を {{mvar|&fnof;}} の'''半単純成分'''、{{math|''&fnof;''{{sub|n}}}} を {{mvar|&fnof;}} の'''冪零成分'''という。

線形空間 {{mvar|V}} の[[基底 (線型代数学)|基底]] <math>\{\, e_{i,j} \mid i=1, \dotsc ,k;~j=1, \dotsc ,n_i \,\}</math> が線形変換 {{mvar|&fnof;}} の'''ジョルダン基底''' であるとは、{{math2|''e''{{sub|''i'',0}} {{=}} 0}} とおいたとき
:<math>f( e_{i,j} )= \lambda_i e_{i,j} + e_{i,j-1}</math>
が基底の任意の元 {{math|''e''{{sub|''i'',''j''}}}} について成り立つことである。ジョルダン基底に関する {{mvar|&fnof;}} の表現行列がジョルダン標準形である。

== 特性多項式、最小多項式との関係 ==
正方行列 {{mvar|A}} のジョルダン標準形 {{math2|1=''J'' = ''P''{{sup|&minus;1}}''AP''}} と、[[特性多項式]] <math>f_A(x)=\det(xI-A)</math>、[[最小多項式]] <math>\varphi_A(x)</math> には次のような関係がある。

なお、最小多項式とは {{math|1=''f''(''A'') = ''O''}} となる多項式 {{math|''f''(''x'')}} のうち、次数が最小で、最高次係数が 1 のもの（[[モニック多項式|モニック]]）を言う。{{math|1=''f''(''A'') = ''O''}} となる多項式 {{math|''f''(''x'')}} は、多項式として <math>\varphi_A(x)</math> で割り切れる（多項式としての除算の余りがゼロとなる）という性質がある。[[ケイリー・ハミルトンの定理]]により {{math2|1=''f{{sub|A}}''(''A'') = ''O''}} であり、{{math|''f{{sub|A}}''(''x'')}} は多項式として <math>\varphi_A(x)</math> で割り切れる。

(1) <math>f_A(x)=\det(xI-A)=\det P^{-1} \det(xI-A)\det P =\det(xI-P^{-1}AP) =\det(xI-J)=f_J(x)</math> より、
:<math>f_A(x)=f_J(x)</math>
(2) 多項式<math>f(x)=\textstyle\sum\limits_{k=0}^nc_kx^k</math> について、<math>f(P^{-1}XP)=\textstyle\sum\limits_{k=0}^n c_k(P^{-1}XP)^k=P^{-1} \sum\limits_{k=0}^nc_kX^kP=P^{-1}f(X)P</math> が言えるため、次が言える。
:<math>\varphi_A(J)=\varphi_A(P^{-1}AP)=P^{-1}\varphi_A(A)P=O</math> よって <math>\varphi_A(x)</math> は、多項式として <math>\varphi_J(x)</math> で割り切れる
:<math>\varphi_J(A)=\varphi_J(PJP^{-1})=P\varphi_J(J)P^{-1}=O</math> よって <math>\varphi_J(x)</math> は、多項式として <math>\varphi_A(x)</math> で割り切れる
:最小多項式は[[モニック多項式|モニック]]であるため <math>\varphi_A(x)=\varphi_J(x)</math>
(3) 特性多項式が <math>f_A(x)=\textstyle\prod\limits_{k=1}^m (x-\lambda_k)^{n_k}</math> と因数分解（{{mvar|λ{{sub|k}}}} は相異なる）される場合、<math>\dim(A)=\textstyle\sum\limits_{k=1}^m n_k</math> であり、{{mvar|J}} の対角線上には {{mvar|λ{{sub|k}}}} が {{mvar|n{{sub|k}}}}個並ぶ。

(4) 最小多項式が <math>\varphi_A(x)=\textstyle\prod\limits_{k=1}^m(x-\lambda_k)^{r_k}</math> と因数分解（{{mvar|λ{{sub|k}}}} は相異なる）される場合、{{mvar|J}} の固有値 {{mvar|λ{{sub|k}}}} のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は {{mvar|r{{sub|k}}}} である。

:例1 特性多項式が <math>(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)</math>、最小多項式が <math>(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)</math>の場合、<math>J=\begin{bmatrix}
\lambda_1 &0         \\
0         &\lambda_2
\end{bmatrix}</math>
:例2 特性多項式が <math>(x-\lambda)^2</math>、最小多項式が <math>(x-\lambda)^2</math>の場合、<math>J=\begin{bmatrix}
\lambda &1       \\
0       &\lambda
\end{bmatrix}</math>
:例3 特性多項式が <math>(x-\lambda)^2</math>、最小多項式が <math>x-\lambda</math> の場合、<math>J=\begin{bmatrix}
\lambda &0       \\
0       &\lambda \\
\end{bmatrix}</math>
:例4 特性多項式が <math>(x-\lambda)^4</math>、最小多項式が <math>(x-\lambda)^2</math> の場合、<math>J=\begin{bmatrix}
\lambda &1       &0       &0       \\
0       &\lambda &0       &0       \\
0       &0       &\lambda &1       \\
0       &0       &0       &\lambda \\
\end{bmatrix}</math> または <math>J=\begin{bmatrix}
\lambda &1       &0       &0       \\
0       &\lambda &0       &0       \\
0       &0       &\lambda &0       \\
0       &0       &0       &\lambda
\end{bmatrix}</math>

== 例 ==
対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。

次の[[複素数|複素]]成分正方行列 {{mvar|A}} のジョルダン標準形は次のようになる。
:<math>A = \begin{bmatrix}
1  &2 \\
-2 &5
\end{bmatrix},~P = \begin{bmatrix}
1 &-\frac{1}{2} \\
1 &0
\end{bmatrix},~ P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
3 &1 \\
0 &3
\end{bmatrix} </math>
また次で定めるベクトル {{math2|''u'', ''v''}} は {{math2|''Au'' {{=}} 3''u''}} と {{math2|''Av'' {{=}} 3''v'' + ''u''}} とを満たすので行列 {{mvar|A}} のジョルダン基底である。
:<math>u = \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix},~ v = \begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} \\
0
\end{bmatrix}</math>

この行列 {{mvar|A}} の半単純成分 {{mvar|S}} と冪零成分 {{mvar|N}} への分解は次のようになる。
:<math>S = P\begin{bmatrix}
3 &0 \\
0 &3
\end{bmatrix}P^{-1}=\begin{bmatrix}
3 &0 \\
0 &3
\end{bmatrix},~ N = P\begin{bmatrix}
0 &1 \\
0 &0
\end{bmatrix}P^{-1}=\begin{bmatrix}
-2 &2 \\
-2 &2
\end{bmatrix}, ~A = P\left(\begin{bmatrix}
3 &0 \\
0 &3
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0 &1 \\
0 &0
\end{bmatrix}\right)P^{-1}=S+N</math>
この分解は {{math2|''N''{{sup|2}} {{=}} 0}} や {{math2|''SN'' {{=}} ''NS''}} が成り立つので、
[[行列の指数関数]]や[[冪乗]]の計算に役立つ。
:<math>e^{At} = e^{St+Nt} = e^{St}e^{Nt} = e^{St}(I+Nt) = e^{3t}\begin{bmatrix}
1-2t &2t \\
-2t  &1+2t
\end{bmatrix}</math>
:<math>A^n = (S+N)^n = S^n + nS^{n-1}N = 3^{n-1}
\begin{bmatrix}
3-2n &2n \\
-2n  &3+2n
\end{bmatrix}</math>

== アルゴリズム ==
{{mvar|n}}次[[正方行列]] {{mvar|A}} のジョルダン標準形は次のように計算できる{{sfn|Hogben|2007|loc={{google books quote|id=kATOBQAAQBAJ|page=SA6-PA5|6-5}}}}。以下では {{mvar|n}}次[[単位行列]]を {{mvar|I}} で表す。

;入力
:{{mvar|n}}次正方行列 {{mvar|A}}
;出力
:{{math|''P''{{sup|&minus;1}}''AP''}} がジョルダン標準形となる {{mvar|n}}次[[正則行列]] {{mvar|P}}
;アルゴリズム
# 行列 {{mvar|A}} の相異なる[[固有値]] {{math2|''λ''{{sub|1}}, …, ''λ{{sub|s}}''}} を求める
# {{math2|''A{{sub|i}}'' {{=}} ''A'' &minus; ''λ{{sub|i}} I''}} とおく
# {{math2|[[行列の階数|rank]] ''A{{sub|i}} {{sup|k{{sub|i}}}}'' {{=}} rank ''A{{sub|i}}'' {{sup|''k{{sub|i}}''+1}}}} となる最小の自然数 {{mvar|k{{sub|i}}}} を求める
# {{math|''W''{{sub|''i'',''j''}} {{=}} [[線型写像#核・像と全射性・単射性|im]] ''A{{sub|i}} {{sup|j}}'' ∩ [[線型写像#核・像と全射性・単射性|ker]] ''A{{sub|i}}''}} とおく
# 部分空間の増大列 {{math2|''W''{{sub|''i'',''k{{sub|i}}''&minus;1}} ⊂ … ⊂ ''W''{{sub|''i'',1}} ⊂ ''W''{{sub|''i'',0}} {{=}} ker ''A{{sub|i}}''}} に沿って {{math|ker ''A{{sub|i}}''}} の[[ハメル基底|基底]] {{math2|''b''{{sub|''i'',1}}, …, ''b''{{sub|''i'',''t{{sub|i}}''}}}} を求める<ref group="注釈">つまり {{math|1 ≤ ''d''{{sub|1}} ≤ ''d''{{sub|2}} ≤ … ≤ ''t{{sub|i}}''}} があって、{{math2|''W''{{sub|''i'',''k{{sub|i}}''&minus;1}} {{=}} &lang; ''b''{{sub|''i'',1}}, …, ''b''{{sub|''i'',''d''{{sub|1}}}} &rang;, ''W''{{sub|''i'',''k{{sub|i}}''&minus;2}} {{=}} &lang; ''b''{{sub|''i'',1}}, …, ''b''{{sub|''i'',''d''{{sub|2}}}} &rang;}}, …, {{math2|''W''{{sub|''i'',0}} {{=}} &lang; ''b''{{sub|''i'',1}}, …, ''b''{{sub|''i'',''t{{sub|i}}''}} &rang;}} となるように基底をとる</ref>
# {{math|''b''{{sub|''i'',''j''}} ∈ ''W''{{sub|''i'',''d''{{sub|''i'',''j''}}}} [[差集合|&minus;]] ''W''{{sub|''i'',''d''{{sub|''i'',''j''}}+1}}}} となる自然数 {{math|''d''{{sub|''i'',''j''}}}} を求める
# [[連立一次方程式]] {{math|''A{{sub|i}}'' {{sup|''d''{{sub|''i'',''j''}}}} ''x''{{sub|''i'',''j''}} {{=}} ''b''{{sub|''i'',''j''}}}} の解 {{math|''x''{{sub|''i'',''j''}}}} を求める
# {{math2|''e''{{sub|''i'',''j''}} {{=}} ''A{{sub|i}}'' {{sup|''j''}} ''x''{{sub|''i'',''j''}}}} とおく
# {{math2|''P''{{sub|''i'',''j''}} {{=}} [''e''{{sub|''i'',''d''{{sub|''i'',''j''}}}}, …, ''e''{{sub|''i'',1}}, ''e''{{sub|''i'',0}}]}} とおく
# {{math2|''P'' {{=}} [''P''{{sub|1,1}}, …, ''P''{{sub|1,''t''{{sub|1}}}}, …, ''P''{{sub|''s'',1}}, …, ''P''{{sub|''s'',''t{{sub|s}}''}}]}} を出力

== 標準形の存在証明 ==
;定理
:任意の線形変換 {{mvar|f}} に対しジョルダン基底は存在する。

証明は線形空間の次元 <math>n=\dim V</math> についての帰納法で、{{math2|1=''n'' = 1}} なら全ての基底がジョルダン基底だからOK、{{math2|''n'' &minus; 1}} までOKとして、<math>n=\dim V</math> とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。

;補題
:<math>\{ e_{i,j} \}</math> が {{mvar|f}} のジョルダン基底なら、<math>f-\lambda 1_V</math> のジョルダン基底でもある。ここで {{mvar|λ}} はスカラー。

この補題により <math>\operatorname{rank} f=r<n</math> の場合に示せばよい。このとき <math>V'=\operatorname{im} f,\ f'=f|_{V'}</math> とすると、帰納法の仮定で、{{mvar|f'}} のジョルダン基底 <math>\{e_{ij} \}</math> が取れる。番号を <math>\lambda_1=\lambda_2=\dotsb =\lambda_s=0 </math>、{{math2|''i'' > ''s''}} なら {{math2|''λ{{sub|i}}'' ≠ 0}} となるようにとる。<math>e_{1,1},e_{2,1},\dotsc,e_{s,1}</math> は <math>\ker f</math> の元で線形独立だから、これらに <math>b_1,b_2,\dotsc,b_{n-r-s}</math> を加えて <math>\ker f</math> の基底を作る。また {{mvar|V}} の元 <math>c_1,c_2,\dotsc,c_s</math> を <math>f(c_i)=e_{i,n_i}</math> となるようにとる。このとき {{mvar|n}} 個のベクトル <math>\{ e_{i,j} \} \cup \{ b_i \} \cup \{ c_i \}</math> が線形独立であることは容易に分かり、これらは {{mvar|V}} の基底である。<math>c_i =e_{i,n_i+1},\ b_i =e_{k+i,1}</math> と番号づけると、これが {{mvar|f}} のジョルダン基底となる。[証明終わり]

<math>V=K^n</math> で {{mvar|f}} が行列 <math>A=(a_1,a_2,\dotsc,a_n)</math> で表されるとき、 <math>\operatorname{rank}A=r</math> なら、<math>a_1,a_2,\dotsc,a_r</math> が線形独立としてよい。このとき <math>A=\begin{bmatrix}
A_{1,1} &A_{1,2} \\
A_{2,1} &A_{2,2}
\end{bmatrix}</math> は行変形で <math>\begin{bmatrix}
E_r &R \\
0   &0
\end{bmatrix}</math> と簡約化される。

;命題
: 上のとき、<math>a_1,a_2,\dotsc,a_r</math> は {{mvar|V'}} の基底であるが、この基底に関する {{mvar|f'}} の表現行列は <math>A_{1,1}+R A_{2,1}</math> である。

命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=[[斎藤正彦]] |year=1966 |title=[https://www.utp.or.jp/book/b302039.html 線型代数入門] |edition=初版 |publisher=[[東京大学出版会]] |isbn=978-4-13-062001-7 |ref=harv}}
* {{Cite book |editor=Hogben, Leslie |year=2007 |title=Handbook of Linear Algebra |url={{google books|n2g-x1OIbvYC|Handbook of Linear Algebra|plainurl=yes}} |series=Discrete mathematics and its applications |publisher=Chapman & Hall/CRC |isbn=978-1-58488-510-8 |ref={{sfnref|Hogben|2007}}}}

== 関連項目 ==
* [[対角化]]
* [[スペクトル定理]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1307|ジョルダン標準形の意味と求め方}}

{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:しよるたんひようしゆんけい}}
[[Category:行列]]
[[Category:行列の分解]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]