ジョンソン円のソースを表示


{{参照方法|date=2024年8月}}
[[ファイル:Johnson's_Theorem.svg|右|
{{Legend-line|solid #3c72c9|ジョンソン円 {{math|''J{{sub|A}}'' ≅ ''J{{sub|B}}'' ≅ ''J{{sub|C}}''}}（半径{{mvar|R}}、交点は{{mvar|H}}と{{mvar|A, B, C}}）}}{{Legend-line|solid #ba0d0d|{{mvar|A, B, C}}を通る円（半径{{mvar|R}}）}}{{Legend-line|solid #1b8f2b|{{math|△''ABC''}}ジョンソンのジョンソン三角形{{math|△''J<sub>A</sub>J<sub>B</sub>J<sub>C</sub>''}}}}{{Legend-line|solid #de8633|{{math|△''J<sub>A</sub>J<sub>B</sub>J<sub>C</sub>''}} の[[外接円]]（半径{{mvar|R}})}}|サムネイル|250x250ピクセル]]
'''ジョンソン円'''（ジョンソンえん、{{Lang-en-short|Johnson circles}}）は、[[幾何学]]において共通の点{{Mvar|H}}で交わり、同じ[[半径]]{{Mvar|R}}を持つ3つの[[円 (数学)|円]]である。この図では{{Mvar|H}}の他、3円のうち2円の{{Mvar|H}}でない方の交点が計3つ存在する（ただし、いずれかの2円が[[接する]]場合、その2円の交点は{{Mvar|H}}とする。いずれかの2円が完全に一致する場合は、その交点を{{Mvar|H}}の[[対蹠点]]とする）。この3点は'''基準三角形'''<ref>{{Cite book |title=数学オリンピック幾何への挑戦: ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |url=https://books.google.co.jp/books/about/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%8C%91.html?id=yMWGzwEACAAJ&redir_esc=y |publisher=日本評論社 |date=2023-02 |isbn=978-4-535-78978-4 |language=ja |last=エヴァン・チェン}}</ref>（{{Lang|en|reference triangle}}）と呼ばれる[[三角形]]を定義する。ジョンソン円は[[ロジャー・アーサー・ジョンソン]]に因んで命名された<ref>Roger Arthur Johnson, ''Modern Geometry'': ''An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle'', Houghton, Mifflin Company, 1929</ref><ref>Roger Arthur Johnson, "A Circle Theorem", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 23, 161–162, 1916.</ref><ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/johnson.html Roger Arthur Johnson (1890–1954)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140913083359/http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/johnson.html|date=2014-09-13}}</ref>。 

== 性質 ==
[[ファイル:Johnson's_theorem_2.svg|
{{Legend-line|solid #3c72c9|ジョンソン円 {{math|''J{{sub|A}}'' ≅ ''J{{sub|B}}'' ≅ ''J{{sub|C}}''}}（半径{{mvar|R}}、交点は{{mvar|H}}と{{mvar|A, B, C}}）}}
{{Legend-line|solid #ba0d0d|{{math|△''ABC''}}の[[中点三角形|逆補三角形]]の外接円（半径は{{math|2''R''}}、ジョンソン円に{{mvar|P{{sub|A}}, P{{sub|B}}, P{{sub|C}}}}で接する。}}
{{Legend-line|solid #de8633|共点{{mvar|H}}と{{mvar|P{{sub|A}}, P{{sub|B}}, P{{sub|C}}}}を結ぶ直線}} 
{{Legend-line|solid #1b8f2b|{{math|△''ABC''}}の逆補三角形 {{math|△''P{{sub|A}}P{{sub|B}}P{{sub|C}}''}}}}|サムネイル|256x256ピクセル]]

# ジョンソン円の中心は、中心{{Mvar|H}}、半径{{Mvar|R}}の円上にある。また、ジョンソン円の中心はジョンソン三角形（Johnson triangle）をなす。
# 中心{{Mvar|H}},半径{{Math|2''R''}}の円、[[中点三角形|逆補円]]はジョンソン円に接する。3つの接点は{{Mvar|H}}をジョンソン三角形の頂点で[[鏡映]]した点となる。
# ジョンソン円と逆補円の接点は、基準三角形の逆補三角形を成す。これは{{Mvar|H}}を中心にジョンソン三角形を2倍拡大した図形である。
# '''ジョンソンの定理''':3つのジョンソン円のうち2つの（{{Mvar|H}}でない）交点（基準三角形の頂点）は半径{{Mvar|R}}の円周上にある。この定理は[[ルーマニア]]で、{{仮リンク|ゲオルゲ・ティツェイカ|en|Gheorghe Țițeica}}の'''The 5 lei coin problem'''で知られている。
# 基準三角形はジョンソン三角形と[[合同 (幾何学)|合同]]である。
# 点{{Mvar|H}}は基準三角形の[[垂心]]、ジョンソン三角形の[[外心]]になる。
# ジョンソン三角形と基準三角形の相似の中心は、ジョンソン三角形と基準三角形の共通の{{仮リンク|九点中心|en|Nine-point center}}（[[九点円]]の中心）であり、九点中心に-1倍拡大の関係にある。

== 証明 ==
性質1はジョンソン円の定義から[[自明]]。性質2は中心{{Mvar|P}},半径{{Math|''R''}}の円上に点''{{mvar|P}}''を中心とする半径{{Math|2''R''}}の円は元の円に接することから分かる。性質3は性質2と[[図形の相似|相似]]性より証明できる。

性質4,5は、2つのジョンソン円が[[割線]]（接する場合は共通内[[接線]]）で鏡映の関係にあること、この鏡映で逆補三角形の2頂点も入れ替わることより示される。2つのジョンソン円の交点は逆補三角形の辺の中点であり、{{Mvar|H}}はその[[垂直二等分線]]上にある。つまり、基準三角形は逆補三角形の[[中点三角形]]であるからその相似と相似比½が分かる（相似中心は[[幾何中心|重心]]）。ところで、逆補円の半径は{{Math|2''R''}}なので、基準三角形の[[外接円]]の半径は{{Math|''R''}}となる。

性質6は性質4,5の垂直二等分線の所の事実により、垂心の定義と一致する（逆補三角形の辺の垂直二等分線が基準三角形の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる）ことから分かる。

性質7は性質6より即座に示される。基準三角形とジョンソン三角形の相似比が-1なので、相似中心は基準三角形の外心{{Mvar|O}}とジョンソン三角形の垂心{{Mvar|H}}の中点である。九点円の中心は外心と垂心の中点であるという有名事実よりその中点は双方の九点中心と一致する。

ジョンソンの定理の証明は[[代数的]]な処理も存在する。長さ{{Math|''R''}}の3つのベクトル<math>\vec{u}, \vec{v}, \vec{w},</math>を用意し、ジョンソン円の中心は <math>H+\vec{u}, H+\vec{v}, H+\vec{w}.</math>と表せる。このとき2つのジョンソン円の交点はそれぞれ<math>H+\vec{u}+\vec{v}, H+\vec{u}+\vec{w}, H+\vec{v}+\vec{w}</math>である。点<math>H+\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}</math>は点<math>H+\vec{u}+\vec{v}, H+\vec{u}+\vec{w}, H+\vec{v}+\vec{w}</math>と{{Math|''R''}} 離れていることより示される。

== 更なる性質 ==
[[ファイル:Johnson_circumconic.svg|サムネイル|ジョンソン外接円錐曲線]]
[[ファイル:K026_and_K044.png|サムネイル|ジョンソン三角形の頂点を通る外接三次曲線]]
ジョンソン円は基準三角形の外接円を3辺で鏡映したものとしてみることができる。更に、鏡映において{{Mvar|H}}は基準三角形の外接円上に移る。{{Mvar|H}}の3辺による鏡映点が成す三角形は '''[[擬調和三角形|circum-orthic triangle]]'''と呼ばれる。基準三角形の外心{{Mvar|O}}の3辺による鏡映点はジョンソン三角形の頂点になる。[[オイラー線]]の鏡映はX(110)、[[キーペルト円錐曲線|キーペルト放物線]]の焦点で交わる。
ジョンソン三角形と基準三角形は共通の[[九点円]]を持つ。またこの2三角形の頂点は同一[[円錐曲線]]上、'''ジョンソン外接円錐曲線'''（{{Lang|en|Johnson circumconic}}）上にある。中心は九点中心で''X''(216) などを曲線上に持つ。外接円との第四交点は''X''(110)である。

また、ジョンソン三角形と基準三角形の頂点、そして外心、垂心、九点中心を通る外接[[三次曲線]]が2つ存在する。一つ目は first Musselman cubic, ''K''026である。この三次曲線はジョンソン三角形の中点三角形の頂点も通る。二つ目は、Euler central cubic, ''K''044である。この三次曲線はジョンソン三次曲線の[[垂足三角形|垂心三角形]]の頂点も通る。
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===出典===
{{Reflist}}
== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=JohnsonsTheorem|title=Johnson Theorem}}
* F. M. Jackson and {{MathWorld|urlname=JohnsonCircles|title=Johnson Circles}}
* F. M. Jackson and {{MathWorld|urlname=JohnsonTriangle|title=Johnson Triangle}}
* {{MathWorld|urlname=JohnsonCircumconic|title=Johnson Circumconic}}
* {{MathWorld|urlname=AnticomplementaryTriangle|title=Anticomplementary Triangle}}
* {{MathWorld|urlname=Circum-OrthicTriangle|title=Circum-Orthic Triangle}}
* Bernard Gibert [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k026.html Circumcubic K026]
* Bernard Gibert [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k044.html Circumcubic K044]
* Clark Kimberling, "[https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of triangle centers]". ''(Lists some 3000 interesting points associated with any triangle.)''

{{デフォルトソート:しよんそんえん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]