ジョンソン円

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テンプレート:参照方法

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ジョンソン円（ジョンソンえん、テンプレート:Lang-en-short）は、幾何学において共通の点テンプレート:Mvarで交わり、同じ半径テンプレート:Mvarを持つ3つの円である。この図ではテンプレート:Mvarの他、3円のうち2円のテンプレート:Mvarでない方の交点が計3つ存在する（ただし、いずれかの2円が接する場合、その2円の交点はテンプレート:Mvarとする。いずれかの2円が完全に一致する場合は、その交点をテンプレート:Mvarの対蹠点とする）。この3点は基準三角形[1]（テンプレート:Lang）と呼ばれる三角形を定義する。ジョンソン円はロジャー・アーサー・ジョンソンに因んで命名された[2][3][4]。

性質

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  1. ジョンソン円の中心は、中心テンプレート:Mvar、半径テンプレート:Mvarの円上にある。また、ジョンソン円の中心はジョンソン三角形（Johnson triangle）をなす。
  2. 中心テンプレート:Mvar,半径テンプレート:Mathの円、逆補円はジョンソン円に接する。3つの接点はテンプレート:Mvarをジョンソン三角形の頂点で鏡映した点となる。
  3. ジョンソン円と逆補円の接点は、基準三角形の逆補三角形を成す。これはテンプレート:Mvarを中心にジョンソン三角形を2倍拡大した図形である。
  4. ジョンソンの定理:3つのジョンソン円のうち2つの（テンプレート:Mvarでない）交点（基準三角形の頂点）は半径テンプレート:Mvarの円周上にある。この定理はルーマニアで、テンプレート:仮リンクのThe 5 lei coin problemで知られている。
  5. 基準三角形はジョンソン三角形と合同である。
  6. 点テンプレート:Mvarは基準三角形の垂心、ジョンソン三角形の外心になる。
  7. ジョンソン三角形と基準三角形の相似の中心は、ジョンソン三角形と基準三角形の共通のテンプレート:仮リンク（九点円の中心）であり、九点中心に-1倍拡大の関係にある。

証明

性質1はジョンソン円の定義から自明。性質2は中心テンプレート:Mvar,半径テンプレート:Mathの円上に点テンプレート:Mvarを中心とする半径テンプレート:Mathの円は元の円に接することから分かる。性質3は性質2と相似性より証明できる。

性質4,5は、2つのジョンソン円が割線（接する場合は共通内接線）で鏡映の関係にあること、この鏡映で逆補三角形の2頂点も入れ替わることより示される。2つのジョンソン円の交点は逆補三角形の辺の中点であり、テンプレート:Mvarはその垂直二等分線上にある。つまり、基準三角形は逆補三角形の中点三角形であるからその相似と相似比½が分かる（相似中心は重心）。ところで、逆補円の半径はテンプレート:Mathなので、基準三角形の外接円の半径はテンプレート:Mathとなる。

性質6は性質4,5の垂直二等分線の所の事実により、垂心の定義と一致する（逆補三角形の辺の垂直二等分線が基準三角形の頂垂線となる）ことから分かる。

性質7は性質6より即座に示される。基準三角形とジョンソン三角形の相似比が-1なので、相似中心は基準三角形の外心テンプレート:Mvarとジョンソン三角形の垂心テンプレート:Mvarの中点である。九点円の中心は外心と垂心の中点であるという有名事実よりその中点は双方の九点中心と一致する。

ジョンソンの定理の証明は代数的な処理も存在する。長さテンプレート:Mathの3つのベクトルu→,v→,w→,を用意し、ジョンソン円の中心は H+u→,H+v→,H+w→.と表せる。このとき2つのジョンソン円の交点はそれぞれH+u→+v→,H+u→+w→,H+v→+w→である。点H+u→+v→+w→は点H+u→+v→,H+u→+w→,H+v→+w→とテンプレート:Math 離れていることより示される。

更なる性質

ジョンソン外接円錐曲線
ジョンソン三角形の頂点を通る外接三次曲線

ジョンソン円は基準三角形の外接円を3辺で鏡映したものとしてみることができる。更に、鏡映においてテンプレート:Mvarは基準三角形の外接円上に移る。テンプレート:Mvarの3辺による鏡映点が成す三角形は circum-orthic triangleと呼ばれる。基準三角形の外心テンプレート:Mvarの3辺による鏡映点はジョンソン三角形の頂点になる。オイラー線の鏡映はX(110)、キーペルト放物線の焦点で交わる。 ジョンソン三角形と基準三角形は共通の九点円を持つ。またこの2三角形の頂点は同一円錐曲線上、ジョンソン外接円錐曲線（テンプレート:Lang）上にある。中心は九点中心でX(216) などを曲線上に持つ。外接円との第四交点はX(110)である。

また、ジョンソン三角形と基準三角形の頂点、そして外心、垂心、九点中心を通る外接三次曲線が2つ存在する。一つ目は first Musselman cubic, K026である。この三次曲線はジョンソン三角形の中点三角形の頂点も通る。二つ目は、Euler central cubic, K044である。この三次曲線はジョンソン三次曲線の垂心三角形の頂点も通る。

脚注

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出典

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外部リンク

  1. ↑ テンプレート:Cite book
  2. ↑ Roger Arthur Johnson, Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, Houghton, Mifflin Company, 1929
  3. ↑ Roger Arthur Johnson, "A Circle Theorem", American Mathematical Monthly 23, 161–162, 1916.
  4. ↑ Roger Arthur Johnson (1890–1954) テンプレート:Webarchive
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