スターク予想のソースを表示

[[数論]]において、'''スターク予想'''（{{lang-en-short|Stark conjectures}}）とは、[[代数体]]の[[ガロア拡大]] {{math|''K''/''k''}} に付随する[[アルティンのL-函数|アルティン {{mvar|L}} 函数]]の[[テイラー展開]]の主要項の係数についての予想である。スターク予想は{{仮リンク|ハロルド・スターク (数学者)|label=ハロルド・スターク|en|Harold Stark}}が{{harvs|txt|authorlink=Harold Stark|last=Stark|year1=1971|year2=1975|year3=1976|year4=1980}}で提示し、後日{{harvs|txt|authorlink=John Tate|last=Tate|year=1984}}が拡張した。スターク予想は、数体の[[デデキントゼータ函数|デデキントのゼータ函数]]のテイラー展開の主要項を表す[[類数公式|解析的類数公式]]を一般化して、体の {{仮リンク|S単数|label={{mvar|S}} 単数|en|S-units}}（S-units）に関連する[[単数基準]]と[[有理数]]との積として表すものである。スタークは {{math|''K''/''k''}} が[[アーベル拡大]]で、{{mvar|L}} 函数の {{math|1=''s'' = 0}} における[[零点|位数]] が 1 の場合について予想を精密化し、{{仮リンク|スターク単数|en|Stark units}}と呼ばれる {{mvar|S}} 単数の存在を予想した。{{harvs|txt|last=Rubin|authorlink=カール・ルービン|year=1996}} と {{仮リンク|クリスティアン・ディミトルゥ・ポペスク|en|Cristian Dumitru Popescu}}は、この精密化された予想をさらに高次の位数へ拡張した。

==定式化==

スターク予想の最も一般的な形式は、「アルティン {{mvar|L}} 函数 {{math|''L''(''s'', ''χ'')}} の {{math|1=''s'' = 0}} での[[テイラー展開]]の先頭係数 {{math|''C''{{sub|''S''}}(''χ'')}} は、[[ディリクレの単数定理#スターク単数基準|スターク単数基準]] {{math|''R''{{sub|''S''}}(''χ'', ''f'')}} の[[代数的数]] {{math|''A''{{sub|''S''}}(''χ'', ''f'')}} 倍であり、この代数的数へのガロア群の作用もこういった数字を用いて書き下すことができる」という予想である。体の拡大がアーベル的で、{{mvar|L}} 函数の {{math|1=''s'' = 0}} における位数が 1 のとき、精密化されたスターク予想は、根が基礎体 {{mvar|k}} のアーベル拡大となる {{mvar|K}} の[[クンマー拡大]]を生成するスターク単数の存在を予想する（{{mvar|K}} がアーベル拡大でない場合は、クンマー理論で拡大する）。このスターク予想の精密化には、[[ヒルベルトの第12問題]]を解くという理論的な意味がある。また、特別な場合にはスターク単数の計算が可能であるため、精密化されたスターク予想の信憑性の評価が可能であるほか、代数体のアーベル拡大を生成する重要な計算機的方法が得られる。実際、代数体のアーベル拡大を計算する標準的なアルゴリズムには、拡大を生成するスターク単数の生成操作を含むものがある（後述）。

=== 記号と用語 ===

スターク予想を正確に述べるための記号を準備する。{{mvar|k}} を（有限次）代数体、{{mvar|K}} を {{mvar|k}} の有限次[[ガロア拡大]]、{{mvar|G}} をその[[ガロア群]]とする。
{{math|''S''{{sub|∞}}}}
を {{mvar|k}} の[[無限素点]]すべての集合、{{mvar|S}} を
{{math|''S''{{sub|∞}}}}
を含む[[素点]]の集合とする。

複素数体
{{math|'''C'''}}
の部分環
{{math|'''A'''}}
と
{{math|'''Z'''}}
加群
{{mvar|M}}
に対して[[テンソル積]]
{{math|'''A'''⊗{{sub|'''Z'''}}''M''}}
を
{{math|'''A'''''M''}}
と略記する{{Sfnm|Dasgupta|1999|1p=8|加塩|2013a|2p=3}}。

=== アルティン {{mvar|L}} 函数の先頭係数 {{math|''C''{{sub|''S''}}(''χ'')}} ===

ガロア群
{{mvar|G}}
の[[複素数]]体上の有限次[[群の表現|表現]]を一つ取り、{{mvar|V}} をその表現空間、{{mvar|χ}} をその[[指標 (数学)|指標]]とする。（{{mvar|S}} 部分を除外した）アルティン {{mvar|L}} 函数を

: <math>
L_S(s, \chi) = \prod_{\mathfrak{p} \notin S} \mathrm{det} \left(
1 - \mathrm{Frob}_\mathfrak{p} N\mathfrak{p}^{-s} \mid_{V^{I\mathfrak{p}}}
\right)^{-1}
</math>

と定義する{{Sfn|加塩|2013a|p=4}}。ここで、[[有限素点]]
{{math|𝔭}}
に対し
{{math|''I''{{sub|𝔭}} ⊂ ''G''}}
は
{{math|𝔭}}
の[[惰性群]]、{{math|''V''{{sup| ''I''{{sub|𝔭}}}}}}
はこれによる[[不変部分空間]]、{{math|Frob{{sub|𝔭}} ∈ ''G''}}
は
{{math|𝔭}}
の[[フロベニウス元]]（の一つ）、{{math|N𝔭}}
は
{{math|𝔭}}
の{{仮リンク|イデアルのノルム|label=絶対ノルム|en|Ideal norm}}である。この函数は有理型に[[解析接続]]され、{{math|1=''s'' = 0}} で正則になる。

この {{mvar|L}} 函数の
{{math|1=''s'' = 0}}
でのテイラー展開の先頭係数を
{{math|''C''{{sub|''S''}}(''χ'')}}
と書く。つまり、{{math|1=''s'' = 0}} でのこの函数の[[零点|位数]]を
{{math|''r''{{sub|''S''}}(''χ'')}}
とするとき、{{math|1=''s'' = 0}}
の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]で

: <math>
L_S(s, \chi) = C_S(\chi)s^{r_S(\chi)} + O(s^{r_S(\chi)+1})
</math>

が成り立つような複素数として
{{math|''C''{{sub|''S''}}(''χ'')}}
を定義する（{{mvar|O}} は[[ランダウの記号]]）。

=== スターク単数基準 {{math|''R''{{sub|''S''}}(''χ'', ''f'')}} ===

{{math|''S''{{sub|''K''}}}}
を
{{mvar|K}}
の素点で下にある素点が
{{mvar|S}}
に含まれるものすべての集合とする。
{{math|1=''U'' = ''U''{{sub|''K'', ''S''}}}}
を
{{mvar|K}}
の
{{math|''S''{{sub|''K''}}}}
単数群、つまり
{{math|''K''{{sup|×}}}}
の元で
{{math|''S''{{sub|''K''}}}}
に含まれない
{{mvar|K}}
のすべての素点での[[絶対値]]が1であるもの全体

: <math>
U := U_{K, S} := \left\{ x \in K^\times \mid |x|_w = 1, \forall w \notin S_K \right\}
</math>

とする{{Sfn|加塩|2013a|p=6}}。

{{mvar|Y}}
を
{{math|''S''{{sub|''K''}}}}
の元で生成される[[自由アーベル群]]、{{mvar|X}} をその[[部分群]]で各
{{math|''w'' ∈ ''S''{{sub|''K''}}}}
に対する係数を合計すると0になるもの全体

: <math>
\textstyle{
X := \left\{ \sum_{w \in S_K} n_w \cdot w \in Y \mid \sum_{w \in S_K} n_w = 0 \right\}
}
</math>

とする{{Sfn|加塩|2013a|p=5}}。{{mvar|X}} には自然に {{mvar|G}} が作用する。

{{math|''S''{{sub|''K''}}}} 単数群
{{mvar|U}}
から
{{math|'''R'''''X''}}
への写像
{{mvar|λ}}
を

: <math>
\textstyle{
\lambda(u) := \sum_{w \in S_K} \log |u|_w \otimes w
}
</math>

で定義する。この写像を'''対数的埋め込み'''という{{Sfn|加塩|2013a|p=6}}。

単数定理により
{{math|1=id{{sub|'''C'''}} ⊗ ''λ'' : '''C'''''U'' → '''C'''''X''}}
は同型であり、{{math|'''Q'''''U''}}
と
{{math|'''Q'''''X''}}
は
{{math|'''Q'''[G]}}
加群として（非標準的に）同型であることがわかる。このような同型

: <math>
f: \mathbb{Q}X \to \mathbb{Q}U
</math>

を一つ取る。{{math|''V''{{sup|*}}}}
を
{{mvar|V}}
の[[反傾表現]]とし、{{math|''V''{{sup|*}}}}
から
{{math|'''C'''''X''}}
への
{{math|'''C'''[''G'']}}
加群としての準同型全体
{{math|Hom{{sub|'''C'''[''G'']}}(''V''{{sup|*}}, '''C'''[''G''])}}
を考える。この[[ベクトル空間]]の次元は {{math|''r''{{sub|''S''}}(''χ'')}} と等しい。

このベクトル空間の自己同型
{{math|(''λ''∘''f''){{sub|''V''}}}}
を

: <math>
\begin{array}{ccc}
\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(V^*, \mathbb{C}X)
&
\xrightarrow{
(\lambda \circ f)_V
}
&
\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}[G]}(V^*, \mathbb{C}X)
\\
\phi & \longmapsto & \lambda \circ f \circ \phi
\end{array}
</math>

で定義する。この自己同型の[[行列式]]

: <math>
R_S(\chi, f) := \det(\lambda \circ f)_V
</math>

を'''スターク単数基準'''（Stark regulator）という。

=== スターク予想 ===

スターク予想とは、複素数
{{math|''A''{{sub|''S''}}(''χ'', ''f'')}}
を

: <math>
A_S(\chi, f) := \frac{R_S(\chi, f)}{c_S(\chi)}
</math>

と定義するとき、{{math|''A''{{sub|''S''}}(''χ'', ''f'')}}
は
{{math|'''Q'''(''χ'')}}
に入る代数的数で、任意の
{{math|''σ'' ∈ Gal('''Q'''(''χ'')/'''Q''')}}
に対して

: <math>
A_S(\chi, f)^\sigma = A_S(\chi^\sigma, f)
</math>

が成り立つであろう、という予想である{{Sfnm|Dasgupta|1999|1p=18|加塩|2013a|2p=3}}。

==計算==

第一位数がゼロであるという予想は、[[総実体]]の[[ヒルベルト類体]]を計算するために計算機代数システム[[PARI/GP]]の最新版で用いられており、ヒルベルトの第12問題の解の一つが得られる。ヒルベルトの第12問題とは、任意の代数体上に[[虚数乗法]]によってどのように[[類体論|類体]]を構成できるか、という問題である。

==進展==

スタークの主予想は、様々な特別な場合について証明されている。その特別な場合とは、L-函数を定義する指標が有理数のみとなる場合である。基礎体が有理数体もしくは[[二次体|虚二次体]]の場合を除き、アーベル的なスターク予想は証明されてはいない。[[代数多様体の函数体]]では多くの進展が見られる。

{{harvs|txt|authorlink=ユーリ・マニン|last=Manin|year=2004}}は、スターク予想を[[アラン・コンヌ]]の[[非可換幾何]]へ関連付ける<ref>{{cite book | first1=Yu. I. | last1=Manin | authorlink1=ユーリ・マニン | first2=A. A. | last2=Panchishkin | title=Introduction to Modern Number Theory | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | volume=49 | edition=Second | year=2007 | isbn=978-3-540-20364-3 | issn=0938-0396 | zbl=1079.11002 | page=171 }}</ref>。マーニンの手法はスターク予想を研究する概念的なフレームワークを提供するが、現時点{{いつ|date=2022年3月}}でこの手法が実際にスターク予想の証明を与えるかどうかは不明である。

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==

=== 研究書・研究論文 ===
*{{Citation | editor3-last=Solomon | editor3-first=David | editor2-last=Sands | editor2-first=Jonathan | editor1-last=Burns | editor1-first=David | title=Stark's conjectures: recent work and new directions | url=http://www.mathematics.jhu.edu/stark/ | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics | isbn=978-0-8218-3480-0 |mr=2090725 | year=2004 | volume=358}}
*{{Citation | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | author1-link=Yuri Ivanovich Manin | editor1-last=Piene | editor1-first=Ragni | editor2-last=Laudal | editor2-first=Olav Arnfinn | title=The legacy of Niels Henrik Abel | url=https://arxiv.org/abs/math/0202109 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-43826-7 |mr=2077591 | year=2004 | chapter=Real multiplication and noncommutative geometry (ein Alterstraum) | pages=685–727}}
*{{Citation | last1=Popescu | first1=Cristian D. | title=On a refined Stark conjecture for function fields | url=https://doi.org/10.1023/A:1000833610462 | doi=10.1023/A:1000833610462 |mr=1691163 | year=1999 | journal=Compositio Mathematica | issn=0010-437X | volume=116 | issue=3 | pages=321–367}}
*{{Citation | last1=Rubin | first1=Karl | authorlink = カール・ルービン| title=A Stark conjecture over Z for abelian L-functions with multiple zeros | url=http://www.numdam.org/item?id=AIF_1996__46_1_33_0 |mr=1385509 | year=1996 | journal=[[Annales de l'Institut Fourier|Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier]] | issn=0373-0956 | volume=46 | issue=1 | pages=33–62}}

=== 原論文 ===

*{{Citation | last1=Stark | first1=Harold M. | title=Values of L-functions at ''s''&nbsp;=&nbsp;1. I. L-functions for quadratic forms. | doi=10.1016/S0001-8708(71)80009-9 |mr=0289429 | year=1971 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=7 | pages=301–343 }}
*{{Citation | last1=Stark | first1=Harold M. | title=L-functions at ''s''&nbsp;=&nbsp;1. II. Artin L-functions with rational characters | doi=10.1016/0001-8708(75)90087-0 |mr=0382194 | year=1975 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=17 | issue=1 | pages=60–92}}
*{{Citation | last1=Stark | first1=H. M. | editor1-last=Serre | editor1-first=Jean-Pierre | editor1-link=Jean-Pierre Serre | editor2-last=Zagier | editor2-first=D. B. | title=Modular Functions of One Variable V: Proceedings International Conference, University of Bonn, Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik, July 1976 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-08348-1 | doi=10.1007/BFb0063951 |mr=0450243 | year=1977 | volume=601 | chapter=Class fields and modular forms of weight one | pages=277–287}}
*{{Citation | last1=Stark | first1=Harold M. | title=L-functions at ''s''&nbsp;=&nbsp;1. III. Totally real fields and Hilbert's twelfth problem | doi=10.1016/0001-8708(76)90138-9 |mr=0437501 | year=1976 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=22 | issue=1 | pages=64–84}}
*{{Citation | last1=Stark | first1=Harold M. | title=L-functions at ''s''&nbsp;=&nbsp;1. IV. First derivatives at ''s''&nbsp;=&nbsp;0 | url=https://doi.org/10.1016/0001-8708(80)90049-3 | doi=10.1016/0001-8708(80)90049-3 |mr=563924 | year=1980 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=35 | issue=3 | pages=197–235}}

=== 解説書・解説記事 ===
*{{Citation | last1=Tate | first1=John | author1-link=John Tate | title=Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s=0 | url=http://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-3188-8 | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-3188-8 |mr=782485 | year=1984 | volume=47}}

* {{Citation|和書
| author = 加塩朋和
| contribution = Stark-Tateの定式化
| title= [https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2012/ Stark予想]
| url = https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2012/Data/kashio1.pdf
| ncid = BB13159646
| format=PDF
| year=2013
| series=整数論サマースクール報告集
| volume=20
| ref = {{SfnRef|加塩|2013a}}
}}

* {{Cite web
 | first = S.
 | last =  Dasgupta
 | title =  Stark’s Conjectures (thesis)
 | url = https://services.math.duke.edu/~dasgupta/papers/Dasguptaseniorthesis.pdf
 | year = 1999
 | ref = harv
 | accessdate =  2022-11-27}}

== 関連文献 ==
* {{Cite journal|和書| doi = 10.11429/sugaku1947.16.129| volume = 16| issue = 3| pages = 129–138| author = {{仮リンク|本田平|en|Taira Honda}} | title = 代数体の類数公式について| journal = [[数学 (雑誌)|数学]]| date = 1965 | ref = {{SfnRef|本田|1965}}}}

* {{Cite journal|和書| doi = 10.11429/sugaku1947.29.204| volume = 29| issue = 3| pages = 204–216| author = 新谷卓郎| authorlink = 新谷卓郎| title = 代数体の ''L''-函数の特殊値について| journal = 数学| date = 1977 | ref = {{SfnRef|新谷|1977}} }}

==外部リンク==
*{{citation|title=Lectures on Stark's Conjectures|url=http://www.math.umass.edu/~dhayes/lecs.html|first=David R.|last=Hayes|year=1999|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131215000000/http://www.math.umass.edu/~dhayes/lecs.html|archivedate=2013年12月15日}}

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