スピン角運動量のソースを表示

{{内容過剰|date=2020年8月|Wikipedia:過剰な内容の整理/過剰な内容の整理}}
{{Pathnav|[[物理学]]|[[量子力学]]|[[オブザーバブル]]|frame=1}}'''スピン角運動量'''（スピンかくうんどうりょう、{{lang-en-short|''spin angular momentum''}}）は、電子をはじめとする[[量子力学]]上の[[素粒子]]や[[複合粒子|複合]][[粒子]]の固有の「[[角運動量]]」とされる波動特性である。単に'''スピン'''とも呼ばれる。

　スピンという呼称こそは古典的な物体のスピンすなわち自転に由来する。量子力学上のスピンには何かが回転しているといった意味は無いが、物体の回転と関わりがあることは否定されていない。単位は古典的スピンと同じ[N m s]や[J s]であり、多くの場合、[[換算プランク定数]] <math>\hbar</math> との比である量子数で表す<ref>{{Cite web|和書|url=https://astro-dic.jp/spin-angular-momentum/ |title=スピン角運動量 |date=2018-03-26 |accessdate=2022-08-04 |website=天文学辞典 |publisher=[[公益社団法人]] [[日本天文学会]]}}</ref>。

　なお、粒子の回転運動に由来する角運動量は'''[[軌道角運動量]]'''と呼ばれる。スピン角運動量と軌道角運動量の和を'''[[全角運動量]]'''と呼ぶ。

== 概要 ==
「スピン」という名称は、この概念が広まりはじめた当時、粒子の「[[自転]]」のようなものと説明されたという歴史的理由による。'''このように回転するという解釈は現在は支持されていない'''。現在の標準模型においては電子はじめとする粒子の質量「点状」とされているため、仮に回転していたとしても物体の回転と比較できるものではないし、[[古典力学|古典]]的な解釈を付け加える必要はなく無意味である{{Sfn|LL|p=196}}。ただし、[[磁気回転効果]]により、電子のスピンと物体の回転運動とが関連付けられることは肯定されている。

非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外の[[オブザーバブル]]とは振る舞いを異にする為にスピン角運動量を記述するためだけの理論の修正を迫られる。それに対し[[相対論的量子力学]]では、例えば[[ディラック方程式]]の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。

== スピン量子数 ==
粒子の運ぶスピン角運動量の大きさをスピン量子数という。

* 素粒子のスピン量子数は一定であり方向のみ変化する。
* 荷電粒子のスピン量子数は[[磁気双極子モーメント]]に関連付けられる。

=== スピン量子数による粒子分類 ===
スピン量子数 {{Mvar|s}} は 1/2を単位として扱われることが常であり、半整数 {{Math|1/2, 3/2, …}} になる粒子は'''[[フェルミ粒子|フェルミ粒子（フェルミオン）]]'''、整数 {{Math|0, 1, 2, …}} になる粒子は'''[[ボース粒子|ボース粒子（ボゾン）]]'''と区別され、両者の物理的性質は著しく異なる<ref>{{Cite web|和書|url=https://www.kek.jp/ja/newsroom/2012/07/19/1700/ |title=その粒子はボソンですか？フェルミオンですか？ |date=2012-07-19 |accessdate=2022-08-04 |publisher=[[大学共同利用機関法人]] [[高エネルギー加速器研究機構]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20201205040628/https://www.kek.jp/ja/newsroom/2012/07/19/1700/ |archive-date=2020-12-05 |url-status=dead |url-status-date=2024-09-26}}</ref>(詳細はそれぞれの項目を参照)。

2016年現在知られている範囲において、

* 素粒子についてはフェルミオンのスピン量子数は全て {{Math|1/2}} である。
* 同じくボゾンは[[ヒッグス粒子]]のみスピン量子数が {{Math|0}} であり、それ以外は {{Math|1}} である。
* 複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えば[[ヘリウム]]原子を構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数であるが、ヘリウム原子のスピン量子数は {{Math|0}} である。

{{Mvar|s}} の値と統計性の間のこのような関係は、[[相対性理論|相対論]]的な[[場の量子論]]によって説明できる。

== 歴史 ==
ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され（[[ゼーマン効果]]）、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年に[[ウーレンベック]]と[[ゴーズミット]]は、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた{{sfn|Uhlenbeck|Goudsmit|1925}}{{sfn|Uhlenbeck|Goudsmit|1926}}。この仮定では、その自転の[[角運動量]]の大きさが<math>\hbar/2</math>であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が2つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。

ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ[[光速]]を超える速度で自転していなければならないことになり、これは[[特殊相対論]]と矛盾してしまう。そのため、1925年に[[ラルフ・クローニッヒ]]によって提案されたものの、[[パウリ]]によって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 <math>\hbar \hat{\mathbf{J}}</math> の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした{{sfn|砂川重信|1991}}。

その後発展した[[標準模型]]においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか（スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか）はわかっていない。

== 数学的導出の方法 ==
本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。

=== 準備 ===
本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。

==== 数学の準備 ====
スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。{{Math|'''R'''}}を実数全体の集合、{{Math|'''C'''}}を複素数全体の集合とする。3次元空間{{Math|'''R'''{{sup|3}}}}における[[回転行列]]全体の集合を
: <math>\mathrm{SO}(3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf{R})~:~{}^tRR=I,~\det R =1\}</math>
と表記する。ここで <math>M_{n,n}(\mathbf{R})</math> は {{Mvar|n}} 行 {{Mvar|n}} 列の[[行列|実行列]]全体の集合であり、{{Mvar|I}} は[[単位行列]]であり、{{Math|<sup>t</sup>''R''}} は {{Mvar|R}} の[[転置行列]]である。{{Math|SO(3)}} は行列の積に関して[[群 (数学)|群]]をなすので、{{Math|SO(3)}} を3次元'''[[回転群]]'''という。

{{Math|SO(3)}} のように、「[[多様体|滑らかな]]」構造を持った群を'''[[リー群]]'''という（厳密な定義はリー群の項目を参照）。特に{{Math|SO(3)}} のように行列からなるリー群を[[行列群|'''行列リー群''']]あるいは単に'''行列群'''という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。 以下で{{Mvar|V}}は複素計量ベクトル空間であり、{{Math|''I''}}は単位行列であり、{{Math|''A''{{sup|*}}}}は{{Math|''A''}}の[[随伴行列|エルミート共役]]である：
: 3次元回転群<math>\mathrm{SO}(3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf{R})~:~{}^tRR=I,~\det R =1\}</math>    …({{EquationRef|G1}})
: [[ユニタリ群]]<math>\mathrm{U}(V) = \{U ~:~V </math>上の線形写像で、<math>UU^*=I\}</math>    …({{EquationRef|G2}})
: [[特殊ユニタリ群]]<math>\mathrm{SU}(V) = \{U ~:~V </math>上の線形写像で、<math>UU^*=I,~\mathrm{det}U=1\}</math>   …({{EquationRef|G3}})
ベクトル空間{{Mvar|V}}が{{Math|'''C'''{{sup|''n''}}}}である場合は、{{Math|U(''V'')、SU(''V'')}}の事をそれぞれ{{Math|U(''n'')、SU(''n'')}}と表記する。

{{Math|''G''}}を{{Math|SO(3)、U(''V'')、SU(''V'')}}のいずれかとするとき、集合
: <math>\mathsf{g} = \Bigg\{ {\operatorname{d} R(t) \over \operatorname{d} t} \Bigg|_{t=0} ~:~R(t)</math>は {{Math|''G''}} 上の可微分な曲線で、{{Math|1=''t''=0}} のとき単位行列となる<math>\Bigg\}</math>    …({{EquationRef|G4}})
を{{Math|''G''}}の'''[[リー環]]'''と呼び、<math>\mathsf{g}</math>の元を{{Math|''G''}}上の'''無限小変換'''と呼ぶ。リー「[[環 (数学)|環]]」という名称なのは、<math>\mathsf{g}</math>が行列の[[交換子|'''交換子積''']]
: <math>[A,B] =AB-BA</math>
に関して環をなすからである。{{Math|SO(3)、U(''V'')、SU(''V'')}}のリー環はそれぞれ、
: <math>\mathsf{so}(3)=\{F\in M_{n,n}(\mathbf{R}) ~:~ {}^tF = -F\}</math>     …({{EquationRef|G5}})
: <math>\mathsf{u}(V)=\{A~:~A</math>は{{Math|''V''}}上の線形写像で、<math>A^*=-A\}=\{A~:~A</math>は{{Math|''V''}}上の[[歪エルミート行列|歪エルミート演算子]]<math>\}</math>    …({{EquationRef|G6}})
: <math>\mathsf{su}(V)=\{A~:~</math>は{{Math|''V''}}上の線形写像で、<math>A^*=-A,~\mathrm{tr}A=0\}</math>    …({{EquationRef|G7}})
である。{{Math|so(3)}}が上述した形になるのは以下の理由による。{{Math|''R''(''t'')}}を{{Math|SO(3)}} 上の可微分な曲線で、{{Math|1=''t''=0}} のとき単位行列となるものとすると、{{Math|SO(3)}} の定義より、
:<math>{}^tR(t)R(t) = I</math>
なので、その {{Math|1=''t'' = 0}} での微分は
: <math>\left.{{}^t\operatorname{d} R(t)\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0}
+\left.{\operatorname{d} R(t)\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0}=0</math>
を満たす為である。{{Math|u(''V'')、su(''V'')}}が上述の形になる事も同様の方法で証明できる。なお、ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元の[[ヒルベルト空間]]の場合も同様の事が成立する。

<math>\mathsf{g}</math>を{{Math|so(3)、u(''V'')、su(''V'')}}のいずれかとし、行列<math>A\in\mathsf{g}</math>に対し{{Math|exp(''A'')}} を
: <math>\mathrm{exp}(A) = \sum_{n=0}^\infty {A^n \over n!}</math>  …({{EquationRef|G8}})
と定義すると次が成立する：
: {{Math|''A''∈so(3)、u(''V'')、su(''V'')}}であれば、{{Math|exp(''A'')}} はそれぞれ{{Math|SO(3)、U(''V'')、SU(''V'')}}の元である。    …({{EquationRef|G9}})
: <math>{\operatorname{d}  \over \operatorname{d} t} \Bigg|_{t=0} \exp(tA) = A</math>      …({{EquationRef|G10}})
{{Math|SO(3)}} に関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。3次元ベクトル {{Math|1='''''x''''' = (''x'', ''y'', ''z'') ∈ '''R'''<sup>3</sup>}}に対し、so(3)に属する行列{{Math|''F''{{sub|'''''x'''''}}}}を
: <math>F_\boldsymbol{x} = 
      \begin{pmatrix}
       0 &-z &y\\
       z& 0 &-x\\
      -y&x&0
      \end{pmatrix}
      \in \mathsf{so}(3)</math>    …({{EquationRef|G11}})
と定義すると{{sfn|H13|p=344}}{{sfn|A07|p=36}}次が成立する{{sfn|A07|p=36}}：
: {{Math|exp(''F''{{sub|'''''x'''''}})}} は {{Mvar|'''x'''}} を軸とする回転行列で、回転角は軸に対しては右回りに {{math|{{mabs|{{mabs|'''''x'''''}}}}}} [[ラジアン]]である。   …({{EquationRef|G12}})
: <math>[F_{\mathbf{x}},F_{\mathbf{y}}]=F_{\mathbf{x}\times\mathbf{y}}</math>   …({{EquationRef|G13}})
ここで「{{Math|×}}」は[[クロス積]]である。{{Math|''G''}}、{{Math|''H''}}を{{Math|SO(3)、U(''V'')、SU(''V'')}}のいずれかとし、<math>\mathsf{g}</math>、<math>\mathsf{h}</math>を{{Math|''G''}}、{{Math|''H''}}のリー環とする。（すなわち<math>\mathsf{g}</math>、<math>\mathsf{h}</math>は{{Math|so(3)、u(''V'')、su(''V'')}}のいずれかである）。
: <math>\pi~:~G\to H</math>
を{{Math|''G''}}から{{Math|''H''}}への可微分な[[準同型]]写像とする。このとき{{Math|''π''}}が'''誘導する写像'''{{Math|''π''{{sub|*}}}}を
: <math>\pi_*~:~ {\operatorname{d} R(t) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0} \in \mathsf{g}</math><math> \mapsto {\operatorname{d} \pi(R(t)) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0}\in\mathsf{h}</math>     …({{EquationRef|G14}})
により定義すると、この写像は[[well-defined]]になる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち
: <math>\pi_*([A,B]) = [\pi(A),\pi(B)]</math>       …({{EquationRef|G15}})
である。

{{Math|''π''}}が誘導する写像{{Math|''π''{{sub|*}}}}と行列の指数関数{{Math|exp}}は以下の関係を満たす：
: 任意の<math>A \in \mathsf{g}</math>に対し、<math>\pi(\exp(A)) = \exp(\pi_*(A))</math>          …({{EquationRef|G16}})

==== 空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子 ====
（非相対論的な）量子力学において、[[波動関数]]全体の集合は[[ヒルベルト空間]] <math>\mathcal{H}</math><!-- ★文字化け対策のためユニコードを使わない -->として記述可能であり、（スピンを考慮しない）一粒子からなる系の場合、<math>\mathcal{H}</math> は3次元[[ユークリッド空間]] {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} 上の[[自乗可積分函数|{{Math|''L''<sup>2</sup>}} 空間]]と等しい、すなわち
:<math>{\cal H} = L^2(\mathbf{R}^3)</math>
である。

軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される{{sfn|LL|p=73}}。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を {{Math|SO(3)}} と書くとき、回転行列 {{Math|''R'' ∈ SO(3)}} により座標系を回転したとき、波動関数 {{Math|''ϕ''('''''x''''')}} は {{Math|''ϕ''(''R''{{sup|−1}}'''''x''''')}} に移動する。すなわち、各回転行列 {{Math|''R'' ∈ SO(3)}} に対し、波動関数の空間 <math>L^2(\mathbf{R}^3)</math> 上にユニタリ演算子
: <math>\lambda(R) ~:~   L^2(\mathbf{R}^3)\to  L^2(\mathbf{R}^3),~~</math><math>\phi(\boldsymbol{x}) \mapsto \phi(R^{-1}\boldsymbol{x})</math>
が定義される{{sfn|A07|p=37}}{{sfn|H13|pp=396|loc=Def 17.1}}。

複素計量ベクトル空間{{Mvar|V}}上のユニタリ演算子全体のなす群を{{Math|U(''V'')}}とするとき、回転行列 {{Mvar|R}} に対し複素ベ クトル空間<math>L^2(\mathbf{R}^3)</math> 上のユニタリ演算子 {{Math|''λ''{{sub|''R''}}}} を対応させる（連続[[準同型]]）写像
: <math>\lambda~:~R \in \mathrm{SO}(3) \mapsto \lambda(R) \in \mathrm{U}( L^2(\mathbf{R}^3))</math>
を {{Math|SO(3)}} の<math>L^2(\mathbf{R}^3)</math>上の'''[[ユニタリ表現]]'''という。

一方、{{Math|SO(3)}} に対応する「無限小変換」全体の集合 {{Math|so(3)}} を({{EquationNote|G1}})のように定義し、({{EquationNote|G14}})に従って{{Math|λ}}が'''誘導する写像'''{{Math|λ{{sub|*}}}}を
: <math>\lambda_*~:~ {\operatorname{d} R(t) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0} \in \mathsf{so}(3)</math><math> \mapsto {\operatorname{d} \lambda(R(t)) \over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0}\in\{ L^2(\mathbf{R}^3)</math>上の[[歪エルミート行列|歪エルミート演算子]]<math>\}</math>
そこで単位ベクトル {{Math|1='''''n''''' = (''x'', ''y'', ''z'') ∈ '''R'''{{sup|3}}}}に対し、{{Math|''F''{{sub|'''''n'''''}}}}を({{EquationNote|G11}})のように定義し、[[虚数単位]] {{mvar|i}} と[[プランク定数|換算プランク定数]]{{Math|''&#x127;''}}を用いて、
: <math>\hat{L}_{\mathbf{n}}</math><math>=i\hbar\lambda_*(F_{\mathbf{n}})</math>　　…({{EquationRef|J1}})
と定義すると、<math>\hat{L}_{\mathbf{n}}</math>は{{Math|''L''{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}})}}上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転{{Math|''F''{{sub|'''''n'''''}}}}に対応する演算子」{{sfn|LL|p=73}}であり、この演算子を軸 {{Math|1='''''n''''' = (''x'', ''y'', ''z'') ∈ '''R'''{{sup|3}}}}の周りの'''軌道角運動量演算子'''と呼ぶ。

例えば {{Mvar|z}} 軸の周りの軌道角運動量<math>\hat{L}_z</math> が[[球面座標系]] {{Math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}} を用いて
:<math>\hat{L}_z=-i\hbar{\partial \over \partial \varphi}</math>
と表記できる事を以下のように確認できる。{{mvar|ψ}}を任意の波動関数とすると、({{EquationNote|G10}})、({{EquationNote|G12}})より
: <math>\hat{L}_z\psi(r,\theta,\varphi) </math><math>=i\hbar\lambda_*(F_{(1,0,0)})\psi(r,\theta,\varphi) 
</math><math>=
\lambda_*\left({\operatorname{d}\over \operatorname{d} t}\exp(tF_{(1,0,0)})\Bigg|_{t=0}\right)\psi(r,\theta,\varphi) 
</math><math>= i\hbar{\operatorname{d}\lambda(\exp(tF_{(1,0,0)}))\over \operatorname{d} t}\Bigg|_{t=0}\psi(r,\theta,\phi) </math><math>
=  i\hbar{\operatorname{d}\over \operatorname{d} t}\psi(r,\theta,\varphi-t)\Bigg|_{t=0}</math><math>
= -i\hbar{\partial \over \partial \varphi}\psi(r,\theta,\varphi)</math>
さらに {{Mvar|x}} 軸、{{Mvar|y}} 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ<math>\hat{L}_x</math>、<math>\hat{L}_y</math>とし、{{Math|1=''F''{{sub|x}}=''F''{{sub|(1,0,0)}}、''F''{{sub|y}}=''F''{{sub|(0,1,0)}}、''F''{{sub|z}}=''F''{{sub|(0,0,1)}}}}とすると、({{EquationNote|G15}})、({{EquationNote|G13}})より[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]
: <math>[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=(i\hbar)^2\lambda_*([F_x,F_y])=(i\hbar)^2\lambda_*(F_z)=\hat{L}_z</math>
: <math>[\hat{L}_y,\hat{L}_z]=(i\hbar)^2\lambda_*([F_y,F_z])=(i\hbar)^2\lambda_*(F_x)=\hat{L}_x</math>
: <math>[\hat{L}_z,\hat{L}_x]=(i\hbar)^2\lambda_*([F_z,F_x])=(i\hbar)^2\lambda_*(F_z)=\hat{L}_y</math>
が従う。

2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、{{Math|SO(3)}} のユニタリ表現 {{Math|''λ''}} によって結ばれる。すなわち、{{Mvar|R}} を回転行列で {{mvar|z}} 軸を {{mvar|w}} 軸に移すものとすると、{{mvar|w}} 軸の周りの軌道角運動量<math>\hat{L}_w</math> は合成写像
: <math>\hat{L}_w = \lambda(R)\hat{L}_z \lambda(R)^{-1} </math>
である。

=== スピンを考慮した場合の波動関数空間&#x210B;の数学的定式化 ===
前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表す{{Math|(''x'',''y'',''z'')}}による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、'''スピンは{{Math|(''x'',''y'',''z'')}}とは独立な粒子の第四の内部自由度'''である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、[[波動関数]]全体のなすヒルベルト空間 <math>\mathcal{H}</math> は一粒子系であっても  <math>\mathcal{H}</math>は{{Math|''L''{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}})}} とは等しくならない。

したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間{{Math|''V''{{sub|''s''}}}} を{{Math|''L''{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}})}}とは別個に用意し、
: <math>\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>
を考える必要がある{{sfn|H13|p=383}}{{efn|なおこのページには<math>\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>ではなく<math>\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\hat{\otimes} V</math>と書いてあるが、 <math>V=V_s</math>が有限次元であるため両者は同一である(同ページDef17.21の直前の記述)。}}。ここで添字{{Math|''s'' ≥ 0}}は整数もしくは半整数であり、{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}}は{{Math|2''s''+1}} 次元の複素計量ベクトル空間である。

一粒子系の波動関数の空間  <math>\mathcal{H}</math>が上述のように表記できるとき、{{Mvar|s}} をその粒子の'''スピン量子数'''という{{sfn|H13|p=384}}。{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} を'''スピノール空間'''{{sfn|A07|p=50}}、{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} の元を'''[[スピノール]]'''という。{{Mvar|s}} が整数ではない半整数になるときその粒子を'''[[フェルミオン]]'''といい、{{Mvar|s}} が整数になるときその粒子を'''[[ボゾン]]'''という。

==== スピンを考慮した波動関数の記述方法 ====
スピンを考慮した波動関数 <math>\psi\in\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math> の表記には次の2通りが多用される。

===== 成分表示 =====
テンソル積の定義より、波動関数<math>\psi\in\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>は
: <math>\psi=\sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma_j</math>　　　　　…({{EquationRef|B1}})
という形に成分表示できる。ここで<math>\phi_j(x,y,z)</math><!-- 数式環境の代わりにMathテンプレートを使うと、ブラウザによってはφが\varphiになってしまうため、数式環境を利用。 -->は{{Math|L{{sup|2}}('''''R'''''{{sup|3}})}}の元であり、{{Math|''σ''{{sub|''j''}}}} は {{Math|''V''{{sub|''s''}}}} の元すなわちスピノールである。そこで、
: <math>\varphi_j(x,y,z,\sigma) := \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma </math>
と定義すれば、
: <math>\psi=\sum_j \varphi_j(x,y,z,\sigma_j)</math>
である。この形はスピン（を表すスピノール {{Math|''σ''{{sub|''j''}}}} ） が {{Math|(''x'',''y'',''z'')}} とは独立である事がわかりやすい。

===== スピノール表示 =====
スピンを考慮した波動関数 {{Math|''ψ''}} ({{EquationNote|B1}}) に対し、{{Math|''ψ<nowiki>'</nowiki>''(''x'',''y'',''z'')}} を
:<math>\psi'(x,y,z):=\sum_j \phi_j(x,y,z) \cdot\sigma_j \in V_s</math>
と定義する。なお上式の「・」はベクトル {{Math|''σ''{{sub|''j''}}}} の各成分にスカラー <math>\phi_j</math><!-- 数式環境の代わりにMathテンプレートを使うと、ブラウザによってはφが\varphiになってしまうため、数式環境を利用。 -->を乗じるいわゆる内積。スピンなし波動関数が1次元複素計量ベクトル空間 {{Math|'''C'''}} に値を取るのに対し、{{Math|''ψ<nowiki>'</nowiki>''(''x'',''y'',''z'')}} は {{Math|2''s''+1}} 次元複素計量ベクトル空間 '''{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}''' '''に値を取る'''。このように {{Math|''V''{{sub|''s''}}}} に値を取る波動関数とみなす記述は'''スピノール表示'''と呼ばれる。

スピノールを成分表示することがある。{{Math|''e''<sub>−''s''</sub>, ''e''<sub>−(''s'' − 1)</sub>, …, ''e''<sub>''s'' − 1</sub>, ''e''<sub>''s''</sub>}} を{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}の基底とするとき、{{Math|''ψ'''(''x'',''y'',''z'')}}は必ず
:<math>\psi'(x,y,z):=\sum_j \phi'_j(x,y,z) \cdot e_j \in V_s</math>
の形で表記できるので、{{Math|''ψ'''(''x'',''y'',''z'')}}はベクトル
: <math>\begin{pmatrix}
   \phi'_{-s}(x,y,z)\\
   \vdots\\
   \phi'_s(x,y,z)\\
   \end{pmatrix}</math>
と成分表示できる。

なお基底 {{Math|''e''<sub>−''s''</sub>, ''e''<sub>−(''s'' − 1)</sub>, …, ''e''<sub>''s'' − 1</sub>, ''e''<sub>''s''</sub>}} は通常、（何らかの軸に関する）スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。

===== スピンを考慮した場合のオブザーバブル =====
量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル<math>\hat{A}</math>は、{{Math|''L''{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}})}} 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子<math>\hat{A}</math>を
: <math>\hat{A} \otimes \mathrm{id} ~:~ L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s \to L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s,</math> <math>\sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma_j \mapsto \sum_j \hat{A}(\phi_j(x,y,z))\otimes \sigma_j</math>
と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間<math>\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>上のオブザーバブルとみなす。(ここで{{Math|id}}は[[恒等写像]]である)。

後述するように、スピン角運動量演算子は、{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、<math>\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>上のオブザーバブルとみなす。すなわち<math>\hat{S}</math>を（何らかの軸に関する）スピン角運動量とするとき、<math>\hat{S}</math>は
: <math>\mathrm{id} \otimes \hat{S} ~:~  L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s \to  L^2(\mathbf{R}^3) \otimes V_s,~~</math><math>\sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \sigma_j \mapsto \sum_j \phi_j(x,y,z)\otimes \hat{S}(\sigma_j)</math>
と同一視する。

==== {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上のユニタリ表現に関する問題 ====
軌道角運動量演算子が<math>L^2(\mathbf{R}^3)</math>上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義における<math>L^2(\mathbf{R}^3)</math>を単純に {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。

軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 {{Math|SO(3)}} の<math>L^2(\mathbf{R}^3)</math>上のユニタリ表現
: <math>\lambda(R(t)) ~:~  L^2(\mathbf{R}^3) \to  L^2(\mathbf{R}^3),~~\phi(\boldsymbol{x}) \mapsto \phi(R(t)^{-1}\boldsymbol{x})</math>
を {{Mvar|t}} に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。

したがって軌道角運動量演算子の定義において単純に<math>L^2(\mathbf{R}^3)</math>を {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、{{Math|SO(3)}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られている{{sfn|H13|pp=375|loc=Thm 17.10}}：{{math theorem|次が成立する：
* {{mvar|s}}が整数の場合、{{Math|SO(3)}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
* {{Mvar|s}} が整数でない半整数の場合、{{Math|SO(3)}} の{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の既約なユニタリ表現は存在しない。|name={{EquationRef|定理1}}}}すなわち上述した方法論では、{{Mvar|''s''}} が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。

===== 射影ユニタリ表現を用いた解決 =====
一つ目の解決方法は {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} を直接考えるのではなく、{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} の元を[[位相]]の相違を無視する[[同値関係]]{{sfn|H13|p=368}}
:<math>\phi \sim \psi</math><math> \overset{def}{\iff} \exists \alpha \in [0,2\pi] ~:~\phi = \mathrm{e}^{i\alpha}\psi</math>
で[[商位相空間|割った空間]]
:<math>V_s/\sim</math>
を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係
:<math>U\sim U' </math><math>\overset{def}{\iff} \exists \alpha \in [0,2\pi] ~:~ U= \mathrm{e}^{i\alpha}U'</math>
により同一視した[[同値類]] {{Math|[''U'']}} を考えるというものである{{sfn|H13|p=369}}。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を
:<math>\mathrm{PU}(V_s)=\mathrm{U}(V_s)/\sim</math>
と表記する。{{Math|PU(''V''<sub>''s''</sub>)}} を {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の'''射影ユニタリ群'''、{{Math|PU(''V''<sub>''s''</sub>)}} に属する同値類を {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の'''射影ユニタリ演算子'''と呼ぶ。

射影ユニタリ演算子 {{Math|[''U'']}} は {{Math|''V''<sub>''s''</sub> / ∼}} 上の写像となる事が知られている：
:<math>[U] ~:~ V_s/\sim~\to~V_s/\sim</math>
そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、{{Math|SO(3)}} のユニタリ表現の代わりに {{Math|SO(3)}} の'''射影ユニタリ表現'''
:<math>R \in \mathrm{SO}_3 \mapsto \lambda'(R)\in \mathrm{PU}(V_s)</math>
を用いる。

通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られている{{sfn|H13|pp=383-384}}{{math theorem|{{Mvar|s}} が整数であっても半整数であっても、{{Math|SO(3)}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の既約な射影ユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。|name={{EquationRef|定理2}}}}よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。

本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。

射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。

===== スピン群を用いた解決方法 =====
今一つの解決は、{{Math|SO(3)}} の代わりに3次元'''[[スピン群]]''' {{Math|Spin(3)}} を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。{{Mvar|n}} 次元スピン群とは以下の性質を満たす[[連結空間|連結]]な[[行列群]]の事である。（このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている）：
:可微分準同型写像 {{Math|1=Φ{{sub|''n''}}: Spin(''n'') → SO(''n'')}} で、2:1 の全射となるものが存在する。　　　…{{EquationRef|C1}}
ここで{{Math|SO(''n'')}}は{{Mvar|n}}次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群{{Math|Spin(3)}}であり、{{Math|Spin(3)}}は2次元特殊ユニタリ変換群 {{Math|SU(2)}} と同型なことが知られている：
: <math>\mathrm{Spin}(3) \simeq \mathrm{SU}(2) = \{U\in\mathrm{M}_{2,2}(\mathbf{C}) ~:~ U^*U=I,~\mathrm{det}U=1\}</math>
したがって以下、特に断りがない限り {{Math|Spin(3)}} と {{Math|SU(2)}} を同一視する。

スピン群の定義より、回転行列 {{Mvar|R}} は何らかのスピン群の元 {{Mvar|U}} を用いて
:<math>R=\Phi_3(U)</math>
と書くことができる。これはすなわち、回転行列 {{Mvar|R}} を直接扱う代わりに、スピン群の元 {{Mvar|U}} により回転が記述可能な事を意味する。そこで {{Math|SO(3)}} のユニタリ表現の代わりに {{Math|Spin(3)}} のユニタリ表現を考える。{{Math|SO(3)}} のユニタリ表現と違い、{{Math|Spin(3)}} のユニタリ表現は以下を満たす{{sfn|H13|pp=383-384}}:{{math theorem|{{Mvar|s}}が整数であっても半整数であっても、{{Math|Spin(3)}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。|name={{EquationRef|定理3}}}}よって {{Math|SO(3)}} のユニタリ表現の代わりに {{Math|Spin(3)}} のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。

===== 2つの解決方法の同値性 =====
上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは {{Math|Spin(3)}} のユニタリ表現と {{Math|SO(3)}} の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、{{Math|''π''{{sub|s}}(''S'')}} をスピン群の元 {{Mvar|S}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上のユニタリ表現とし、{{Math|γ(''R'')}} を回転行列 {{mvar|R}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}} 上の射影ユニタリ表現とすると、（適切に同型なものと置き換えれば）以下の図式が可換になる。ここで {{Math|proj}} は同値類を取る写像。
: <math>\begin{array}{ccc}
  \mathrm{Spin}(3) & \overset{\Phi_3}{\longrightarrow} & \mathrm{SO}(3)\\
  \pi_s\Big\downarrow &\circlearrowleft& \gamma\Big\downarrow\\
  \mathrm{U}(V_s)&\overset{\text{proj}}{\longrightarrow} &\mathrm{PU}(V_s)
  \end{array}
</math>

=== スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 ===
以上の議論により、{{Math|1=Spin(3)=SU(2)}}を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる
* スピノール空間{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}
* {{EquationNote|定理3}}で述べた{{Math|1=Spin(3)=SU(2)}}の既約ユニタリ表現<math>\pi_s ~~:~~\mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{U}(2)</math>
* {{Math|1=Spin(3)=SU(2)}}から{{Math|SO(3)}}への写像<math>\Phi_3~~:~~\mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{SO}(3)</math>
などを具体的に書き表す。ただし本節では{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}と{{Math|''π''{{sub|''s''}}}}に関しては最も重要な{{Math|''s''{{=}}1/2}}の場合を述べるに留める。それ以外の{{Mvar|s}}に関しては後の章を参照されたい。

==== スピン{{Math|1/2}}の場合の{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}と{{Math|''π''{{sub|''s''}}}}の具体的表記 ====
{{Math|''M''{{sub|2, 2}}('''C''')}} を複素二次[[正方行列]]全体の集合とし、{{Mvar|I}} を単位行列とするとき、{{Math|1=Spin(3) = SU(2)}}は2次元ユニタリ変換全体の集合
: <math>U(2) = \{U\in M_{2,2}(\mathbf{C}) ~:~U^*U=I\}</math>
の部分集合である。したがって
: <math>V_{1/2}=\mathbf{C}^2</math>   …({{EquationRef|H1}})
と定義すると、包含写像
: <math>\mathrm{id} ~:~U\in \mathrm{SU}(2) \mapsto U\in \mathrm{U}(2)</math>
は {{Math|1=Spin(3) = SU(2)}} の元の {{Math|''V''<sub>1/2</sub>}} 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、{{EquationNote|定理3}}で述べた既約ユニタリ表現の {{Math|1=''s''=1/2}} の場合に相当している。すなわち、
: <math>\pi_{1/2}=\mathrm{id}</math> …({{EquationRef|H2}})

==== 無限小変換の集合{{Math|spin(3){{=}}su(2)}}の具体的表記 ====
軌道角運動量を定義する際{{Math|SO(3)}}の無限小変換の集合{{Math|so(3)}}が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義には{{Math|1=Spin(3) = SU(2)}} の「無限小変換」全体の集合{{Math|spin(3){{=}}su(2)}}を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。({{EquationNote|G4}})、({{EquationNote|G7}})より、
: <math>\mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2)=\Bigg\{ {\operatorname{d} U(t) \over \operatorname{d} t} \Bigg|_{t=0} ~:~U(t)</math>は {{Math|Spin(3){{=}}SU(2)}} 上の可微分な曲線で、{{Math|1=''t''=0}} のとき単位行列となる<math>\Bigg\}</math>.<math>=\{A\in M_{2,2}(\mathbf{C}) ~:~ A^*=-A, ~ \mathrm{tr}A=0\}</math>　　...({{EquationRef|L1}})
である。{{Math|su(2)}} 上に[[内積]]
:<math>\langle A,B \rangle := 2\mathrm{tr}(AB^*)</math>　　　…{{EquationRef|L2}}
を定義すると{{sfn|A07|pp=39–40}}{{efn|なお{{Harv|A07}}では内積を<math>\langle\sigma,\tau\rangle={1\over 2}\operatorname{tr}(\sigma\tau)</math>と定義しているが、これはパウリ行列で貼られた空間に対してのものなので、これを{{Math|su(2)}}に写すと内積が本節で定義した形になる。}}、{{Math|su(2)}} は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。

次に{{Math|su(2)}} の基底について述べる。'''[[パウリ行列]]''' {{Math|''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>}} を
: <math>
    \sigma_1 =
    \begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0 \\
    \end{pmatrix}\mbox{, } \quad
    \sigma_2 =
    \begin{pmatrix}
    0 & -i \\
    i & 0 \\
    \end{pmatrix} \mbox{, } \quad
    \sigma_3 =
    \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & -1 \\
    \end{pmatrix}
 </math>  …({{EquationRef|L3}})
により定義し、{{Math|su(2)}}の元{{Math|''X''{{sub|1}}、''X''{{sub|2}}、''X''{{sub|3}}}}を
: <math>X_1=-{i\over 2} \sigma_1=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
 0 & -i\\
 -i & 0
\end{pmatrix},~~
X_2=-{i\over 2} \sigma_1=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
 0 & -1\\
 1 & 0
\end{pmatrix},~~
X_3=-{i\over 2} \sigma_3=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
 -i & 0\\
 0 & i
\end{pmatrix}
</math>　　　....({{EquationRef|L4}})
により定義すると{{sfn|A07|pp=39-40}}{{sfn|W16|pp=31,73}}、({{EquationNote|L1}})、({{EquationNote|L2}})より次が成立することがわかる。

{{Math|''X''{{sub|1}}、''X''{{sub|2}}、''X''{{sub|3}}}}は{{Math|1=spin(3) = su(2)}} 上の正規直交基底である{{sfn|A07|pp=39-40}}{{sfn|W16|pp=31,73}}。　　　　...({{EquationRef|L5}})

そこで3次元ベクトル{{Math|1='''''x'''''=(''x'', ''y'', ''z'')∈'''R'''{{sup|3}}}}に対し、
: <math>X_{\mathbf{x}}=xX_1+yX_2+zX_3=
-{i\over 2}(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)
=
{1\over 2}
\begin{pmatrix}
-iz & -y-ix\\
y-ix& iz
\end{pmatrix}</math>　　　　…({{EquationRef|L6}})
と定義すると、写像
: <math>\mathbf{x}\in\mathbf{R}^3\overset{\sim}{\to}X_{\mathbf{x}}\in \mathsf{spin}(3)</math>
により<math>\mathbf{R}^3</math>  と {{Math|1=spin(3) = su(2)}} を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する{{sfn|W16|p=65}}：
: <math>X_{\mathbf{x} \times \mathbf{y}} =[X_{\mathbf{x}},X_{\mathbf{y}}]</math>
ここで「{{Math|×}}」は[[クロス積]]であり、{{Math|1=[''A'',''B''] = ''AB''-''BA''}}は交換子積である。

==== {{Math|Spin(3)}}の元の具体的表記 ====
{{Math|1=Spin(3) = SU(2)}} は、{{Math|''α'', ''β''}} の実数を用いて
: <math>\mathrm{SU}(2)
    =\left\{
    \begin{pmatrix}
    \alpha & \beta\\
    -\bar{\beta} &\bar{\alpha}
    \end{pmatrix}  
    \Bigg| \alpha,\beta\in \mathbf{C}, ~ |\alpha|^2+|\beta|^2=1
    \right\}</math>  …({{EquationRef|X1}})
と書き表すことができる事が簡単な計算から従う{{sfn|A07|p=38}}{{sfn|W16|p=65}}。

一方、{{Math|1='''''n'''''=(''x'', ''y'', ''z'')∈'''R'''{{sup|3}}}}を単位ベクトルとし、パウリ行列を使って
: <math>\sigma_{\mathbf{n}} = x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3 </math>　…({{EquationRef|X2}})
と定義すると簡単な計算により、
: <math>\sigma_{\mathbf{n}}^2 = I</math>
がわかる。よって行列{{Mvar|A}}に対する指数関数{{Math|exp(''A'')}}を({{EquationNote|A3}})式のように定義すると、{{Math|''τ'' ∈ [0,2''π'']}}に対し、
: <math>\exp(i\tau\sigma_{\mathbf{n}})= \sum_{j=0}^\infty {1\over j!} (i\tau \sigma_{\mathbf{n}})^j
</math><math>=\sum_{j~:~\text{even}}{(i\tau)^j\over j!}I + \sum_{j~:~\text{odd}}{(i\tau)^j\over j!}\sigma_{\mathbf{n}}
</math><math>=\cos(\tau) I + i\sin(\tau) \sigma_{\mathbf{n}}</math>     ...({{EquationRef|X3}})
が従う{{sfn|W16|pp=28-29}}。
: <math>\theta = 2\tau</math>
とすると、({{EquationNote|L4}})で述べた{{Math|spin(3){{=}}su(2)}}の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、({{EquationNote|X1}})、({{EquationNote|X2}})、({{EquationNote|X3}})からわかる：
: {{Math|Spin(3){{=}}SU(2)}}の任意の元{{Math|''U''}}は単位ベクトル{{Math|1='''''n'''''=(''x'', ''y'', ''z'')∈'''R'''{{sup|3}}}}と
: {{Math|''θ''∈[0,4''π'']}}
: を用いて
: <math>U=\exp(\theta X_{\mathbf{n}})</math>
: の形で表記可能である。しかも{{Math|''S''≠''I'', −''I''}}であればこのように表記できる{{Math|'''''n'''''}}、{{Math|''θ''}}は一意である。 ...({{EquationRef|X4}})

==== {{Math|Spin(3)}} から {{Math|SO(3)}} への準同型写像 {{Math|''Φ''{{sub|3}}}} ====
前の節で述べたように、{{Math|su(2)}} は3次元の計量ベクトル空間なので、{{Math|'''R'''{{sup|3}}}}と同一視できる。{{Math|''U'' ∈ Spin(3) {{=}} SU(2)}}と<math>Y\in \mathsf{su}(2) \simeq \mathbf{R}^3</math><!-- \simeqの文字化けを防ぐため、実体参照を使わなかった。 -->に対し、{{Math|''UYU''{{sup|−1}}}}も<math>\mathsf{su}(2) \simeq \mathbf{R}^3</math>の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像{{Math|''Φ''{{sub|3}}(U)}}を
: <math>\Phi_3(U) ~:~Y \in \mathsf{su}(2)\simeq \mathbf{R}^3 \mapsto  UYU^{-1} \in \mathsf{su}(2) \simeq \mathbf{R}^3</math>
と定義すると{{Math|''Φ''{{sub|3}}(U)}}が({{EquationNote|L2}})で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわち{{Math|''Φ''{{sub|3}}(U)}}は回転変換であるので、{{Math|''Φ''{{sub|3}}(U)∈SO(3)}}である。

以上により、{{Math|Spin(3)}} から {{Math|SO(3)}} への準同型写像
: <math>\Phi_3 ~:~U\in \mathrm{Spin}(3)=\mathrm{SU}(2) \mapsto \Phi_3(U) \in \mathrm{SO}(3)</math>
が定義できた。この {{Math|''Φ''{{sub|3}}}}の具体的表記は後の節で述べる。

==== {{Math|''Φ''{{sub|3}}}}が誘導する写像{{Math|(''Φ''{{sub|3}}){{sub|*}}}}の定義とその具体的表記 ====
({{EquationNote|G14}})に従い、{{Math|''Φ''{{sub|3}}}}が'''誘導する写像'''{{Math|(''Φ''{{sub|3}}){{sub|*}}}} を、
: <math>(\Phi_{3})_* ~:~\left.{\mathrm{d}U(t)\over \mathrm{d} t}\right|_{t=0}\in \mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2) \mapsto \left. {\mathrm{d}\Phi_3(U(t))\over \mathrm{d} t}\right|_{t=0} \in \mathsf{so}(3)</math>…({{EquationRef|D1}})
により定義する。このとき{{Math|(''Φ''{{sub|3}}){{sub|*}}}} は
: <math>(\Phi_3)_*(X_{\mathbf{x}})=F_{\mathbf{x}}</math>     …({{EquationRef|D2}})
を満たす{{sfn|A07|p=43}}{{sfn|W16|p=73}}。成分で書けば
: <math>{1\over 2}
(\Phi_3)_*
\begin{pmatrix}
-iz & -y-ix\\
y-ix& iz
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 0 &-z &y\\
 z& 0 &-x\\
-y&x&0
\end{pmatrix}
</math>
である。特に
: <math>(\Phi_3)_*~:~\mathsf{spin}(3)\overset{\sim}{\to} \mathsf{su}(2)</math> …({{EquationRef|D3}})
は同型写像である。{{math proof|({{EquationNote|X4}})より、{{Math|Spin(3)}}上の曲線{{Math|''U''(''t'')}}は3次元空間曲線{{Math|1='''''x'''''(''t'')∈'''R'''{{sup|3}}}}を用いて
:<math>U(t)=\exp(X_{\mathbf{x}(t)})</math>
という形で表記できる。{{Math|1='''''x'''''=(''x''{{sub|1}},''x''{{sub|2}},''x''{{sub|3}})='''''x'''''(0)}}とすると、任意の{{Math|1=''Y''=''v''{{sub|1}}''X''{{sub|1}}+''v''{{sub|2}}''X''{{sub|2}}+''v''{{sub|3}}''X''{{sub|3}}∈spin(3)=su(2)}}に対し、
:<math>(\Phi_3)_*(X_{\mathbf{x}})Y=\left.{\operatorname{d} \over \operatorname{d}t}\Phi_3(\exp(X_{\mathbf{x}(t)}))Y\right|_{t=0}</math><math>=\left.{\operatorname{d} \over \operatorname{d}t}\exp(X_{\mathbf{x}(t)})Y\exp(-X_{\mathbf{x}(t)})\right|_{t=0}
=X_{\mathbf{x}}E-EX_{\mathbf{x}}</math><math>=[X_{\mathbf{x}},Y]=\sum_{j,k}x_jv_k[X_j,X_k]</math><math>=
(X_1,X_2,X_3) 
\begin{pmatrix}
0 &-x_3 &x_2\\
 x_3& 0 &-x_1\\
-x_2&x_1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{pmatrix}
 </math>
である。ここで{{Math|1=[A,B]=AB-BA}}は[[交換子|交換子積]]である。

よって{{Math|''Y''}}の任意性と({{EquationNote|G11}})から以下の結論が得られる：
:<math>(\Phi_3)_*(X_{\mathbf{x}})=F_{\mathbf{x}}</math>|drop=yes|title=({{EquationNote|D2}})の証明}}

==== {{Math|''Φ''{{sub|3}}}}の具体的表記 ====
({{EquationNote|G16}})、({{EquationNote|D2}})より、
: <math>\Phi_3(\exp(\theta X_{\mathbf{x}}))=\exp((\Phi_3)_*(\theta X_{\mathbf{x}}))=\exp(\theta F_{\mathsf{x}})</math>    …({{EquationRef|E1}})
である。({{EquationNote|X4}})より、{{Math|Spin(3)}}の元は何らかの{{Math|''θ''∈[0'',4π'']}}を用いて、{{Math|exp(''θX''{{sub|'''''x'''''}})}}の形に書けるので、上式により{{Math|''Φ''{{sub|3}}}}の振る舞いを完全に記述可能である。

しかも
: <math>\Phi_3(\exp((\theta+2\pi) X_{\mathbf{n}})) = \exp((\theta+2\pi) F_{\mathbf{n}})</math><math>=\exp(\theta F_{\mathbf{n}})=\Phi_3(\exp(\theta X_{\mathbf{n}})) </math>
であるので、スピン群の定義({{EquationNote|C1}})で述べた、{{Math|''Φ''{{sub|3}}}}が2:1の写像であるという事実が確認できる。

{{Math|Spin(3){{=}}SU(2)}}の元の成分表示({{EquationNote|X1}})を用いると、{{Math|''Φ''{{sub|3}}}}は下記のように表示できることも知られている{{sfn|W16|p=74}}：
:<math>\Phi_3
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
-\bar{\beta} & -\alpha
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\mathrm{Re}(\alpha^2-\beta^2) &\mathrm{Im}(\alpha^2+\beta^2)& -2\mathrm{Re}(\alpha\beta)\\
-\mathrm{Im}(\alpha^2-\beta^2) &\mathrm{Re}(\alpha^2+\beta^2) & 2\mathrm{Im}(\alpha\beta)\\
2\mathrm{Re}(\alpha\bar{\beta}) &2\mathrm{Im}(\alpha\bar{\beta})&|\alpha|^2-|\beta|^2\\
\end{pmatrix}

</math>

=== スピン角運動量演算子の定義と性質 ===

==== スピン角運動量演算子の定義 ====
以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。
:<math>\pi~:~\mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{U}(V_s)</math>
を {{Math|1=Spin(3)=SU(2)}} の {{Math|''V''<sub>''s''</sub>}}上の既約ユニタリ表現とする（そのようなユニタリ表現の存在性と（同型を除いた）一意性は{{EquationNote|定理3}}で保証される）。なお {{Math|1=''s''=1/2}} に対する{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}}、{{Math|π{{sub|s}}}} は({{EquationNote|H1}})、({{EquationNote|H2}})にすでに記載した。それ以外のsに対する{{Math|''V''<sub>''s''</sub>}}、{{Math|π{{sub|s}}}} は次節以降に後述する。

さらに
:<math>\Phi_3 ~:~ \mathrm{Spin}(3) \to \mathrm{SO}(3)</math>
を({{EquationNote|C1}})式で述べた、{{Math|Spin(3)}} から {{Math|SO(3)}}への 2:1 写像とする（この写像の具体的な形は({{EquationNote|E1}})式を参照）。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「<math>G{}^{\curvearrowright}V</math>」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する（すなわちGはVに[[作用 (数学)|作用]]する）。{{Indent|<math>
\begin{array}{rl}
\mathrm{Spin}(3) &\xrightarrow
{~~~~~\pi~~~~~}{}\mathrm{U}(V_s){}^{\curvearrowright} V_s\\
 \Phi_3\downarrow &\\
 SO(3) & {}^{\curvearrowright} \mathbf{R}^3
\end{array}
</math>}}{{Math|π{{sub|s}}}} が誘導する写像 {{Math|(π{{sub|s}}){{sub|*}}}}を以下のように定義する：
: <math>\pi_* ~:~\left.{\operatorname{d} U(t) \over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} \in \mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2)
 \mapsto \left.{\operatorname{d} \pi_s(U(t)) \over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} \in \{V_s</math>上のエルミート演算子<math>\}</math>     …({{EquationRef|F1}})
同様に {{Math|''Φ''{{sub|3}}}} が誘導する{{Math|(''Φ''{{sub|3}}){{sub|*}}}} を({{EquationNote|D1}})式のように定義すると、{{Math|(''Φ''{{sub|3}}){{sub|*}}}} は({{EquationNote|D2}})式のように書け、({{EquationNote|D3}})より
: <math> (\Phi_{3})_* ~:~ \mathsf{spin}(3) \overset{\sim}{\to} \mathsf{so}(3)</math>
である。

単位ベクトル {{Math|1='''''n''''' = (''x'', ''y'', ''z'') ∈ '''R'''{{sup|3}}}}に対し無限小回転 {{Math|''X''<sub>'''''n'''''</sub> ∈ su(2)}} を({{EquationNote|L6}})式のように定義し、合成写像
: <math>X_{\boldsymbol{n}}\in \mathsf{spin}(3) \overset{(\pi_s)_*}{\to}\{V_s</math>上の歪エルミート演算子<math>\}\overset{\times i\hbar}{\to}\{V_s</math>上のエルミート演算子<math>\}</math>
によって定まるエルミート演算子
: <math>\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })</math>      …({{EquationRef|F2}})
を考えると、({{EquationNote|D2}})より、
: <math>\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })=i\hbar\cdot (\pi_s)_*((\Phi_3)_*{}^{-1}(F_{\mathbf {n} }))</math>
と書けるので、<math>\hat{S}_{\mathbf{n}}</math>は3次元空間上の無限小回転{{Math|''F''{{sub|'''''n'''''}}}}に対応する演算子とみなせる。

この<math>\hat{S}_{\mathbf{n}}</math>を、{{Mvar|'''n'''}}'''を回転軸にもつスピン角運動量演算子'''と呼ぶ{{sfn|A07|pp=50-51,60}}{{sfn|H13|pp=383–384}}{{efn|{{Harv|H13}}は射影表現を使って定義しているので、これをスピンのユニタリ表現に読み替える必要がある。}}。

==== スピン角運動量演算子の性質 ====

===== 交換関係 =====
{{Mvar|x}}軸(1,0,0)、{{Mvar|y}}軸(0,1,0)、{{Mvar|z}}軸(0,0,1)∈<math>\mathbf{R}^3</math>を回転軸に持つスピン角運動量演算子を<math>\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z</math>とすると、
: <math>\begin{array}{rcl}
\hat{S}_x &=& i\hbar(\pi_s)_*(X_1)\\
\hat{S}_y &=& i\hbar(\pi_s)_*(X_2)\\
\hat{S}_z &=& i\hbar(\pi_s)_*(X_3)
\end{array}
</math>
となる。よって({{EquationNote|G15}})より、[[軌道角運動量]]と同様、以下の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]が成り立つ：
: <math>\begin{align}
\left[ \hat{S}_x , \hat{S}_y \right] = (i\hbar)^2(\pi_s)_*([X_1,X_2])
=i\hbar\cdot i\hbar(\pi_s)_*(X_3)=i\hbar\hat{S}_z\\
\left[ \hat{S}_y , \hat{S}_z \right] = (i\hbar)^2(\pi_s)_*([X_2,X_3])
=i\hbar\cdot i\hbar(\pi_s)_*(X_1)=i\hbar\hat{S}_x\\
\left[ \hat{S}_z , \hat{S}_x \right] = (i\hbar)^2(\pi_s)_*([X_3,X_1])
=i\hbar\cdot i\hbar(\pi_s)_*(X_2)=i\hbar\hat{S}_y
\end{align}
</math>

===== 回転軸の変更 =====
次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。{{Mvar|'''n'''、'''m'''∈'''R'''{{sup|3}}}}を2つの単位ベクトルとし、{{Math|'''n'''}}と{{Math|'''m'''}}が回転行列{{Math|''R''}}により、
: <math>\mathbf{n}=R\mathbf{m}</math>
で移り合っていたとする。写像{{Math|1=Φ{{sub|3}}  :  Spin(3)=SU(2) → SO(3)}}は２：１の全射であるので、
: <math>R=\Phi_3(U)=\Phi_3(-U)</math>
を満たす{{Math|''U''}}が存在する。

スピン角運動量演算子<math>\hat{S}_{\mathbf{n}}</math>、<math>\hat{S}_{\mathbf{l}}</math>はその定義より、{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}上のユニタリ演算子であり、両者は
: <math>\hat{S}_{\mathbf{n}}=\pi_s(U)\hat{S}_{\mathbf{m}}\pi_s(U)^{-1}</math>
という関係で結ばれる。ここで右辺は<math>\hat{S}_{\mathbf{l}}</math>と{{Math|''π''{{sub|''s''}}(''U'')}}の行列としての積である。{{Math proof|
:<math>(\Phi_3)_*(X_{\mathsf{n}})=F_{\mathsf{n}}=RF_{\mathsf{m}}R^{-1}=(\Phi_3)_*(UX_{\mathsf{m}}U^{-1})
</math>
なので、{{Math|(''Φ''{{sub|3}}){{sub|*}}}}が同型写像である事から、
:<math>X_{\mathsf{n}}=UX_{\mathsf{m}}U^{-1}
</math>
よって任意の{{Math|''t''∈'''R'''}}に対し、
:<math>\exp(tX_{\mathsf{n}})=\exp(tUX_{\mathsf{m}}U^{-1})
</math><math>=\sum_n{1\over n!}(tUX_{\mathsf{m}}U^{-1})^n=\sum_n{1\over n!}U(tX_{\mathsf{m}})^nU^{-1}
</math><math>=U(\sum_n{1\over n!}(tX_{\mathsf{m}})^n)U^{-1}
=U\exp(tX_{\mathsf{m}})U^{-1}
</math>
したがって
:<math>\hat{S}_{\mathbf{n}}=i\hbar(\pi_s)_*(X_{\mathbf{n}})=i\hbar\left.{\operatorname{d}\over \operatorname{d}t}\pi_s(\exp(tX_{\mathbf{n}}))\right|_{t=0}
</math><math>=i\hbar\pi_s(U)\left.{\operatorname{d}\over \operatorname{d}t}\pi_s(\exp(tX_{\mathbf{m}}))\right|_{t=0}\pi_s(U)^{-1}=i\hbar\pi_s(U)(\pi_s)_*(X_{\mathbf{m}})\pi_s(U)^{-1}</math><math>=i\hbar\pi_s(U)\hat{S}_{\mathbf{m}}\pi_s(U)^{-1}</math>
|drop=yes}}

==== スピン{{Math|1/2}}の場合の具体的表記 ====
スピン量子数{{Math|''s''}}が{{Math|1/2}}である場合、スピノール空間は({{EquationNote|H1}})より
: <math>V_{1/2}=\mathbf{C}^2</math>
であり、単位ベクトル {{Math|1='''''n''''' = (''x'', ''y'', ''z'') ∈ '''R'''{{sup|3}}}}を回転軸に持つスピン角運動量演算子は、({{EquationNote|H2}})、({{EquationNote|L6}})、({{EquationNote|F1}})、({{EquationNote|F2}})より、
: <math>\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })=i\hbar\cdot \mathrm{id} (-{i\over 2}(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)) = {\hbar\over 2}(x\sigma_1+y\sigma_2+z\sigma_3)</math>
である。よって特に、{{Indent|
<math> \hat{S}_x = {\hbar \over 2} \sigma_x = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && 1 \\
1 && 0
\end{pmatrix}
</math>

<math> \hat{S}_y = {\hbar \over 2} \sigma_y = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
0 && -i \\
i && 0
\end{pmatrix}
</math>

<math> \hat{S}_z = {\hbar \over 2} \sigma_z = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix}
1 && 0 \\
0 && -1
\end{pmatrix}
</math>
}}<math>\hat{S}_{\mathbf{n}}</math>は{{Math|'''''n'''''}}によらず常に固有値
: <math>{\hbar\over 2}, -{\hbar\over 2} </math>
を持つ。

それぞれの[[規格化]]された固有ベクトルは、次のとおりとなる。
: <math>\begin{align}
  &|s_{x,+}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, & &|s_{x,-}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
  &|s_{y,+}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, & &|s_{y,-}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \\
  &|s_{z,+}\rangle =                  &\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, & &|s_{z,-}\rangle =                  &\begin{pmatrix} 0 \\  1 \end{pmatrix}
\end{align}</math>

=== {{Math|Spin(3)}}のユニタリ表現と角運動量 ===
本節では3次元スピン群{{Math|Spin(3){{=}}SU(2)}}のユニタリ表現について詳細に述べ、これを土台として軌道角運動量、スピン角運動量、およびそれらの和である全角運動量の性質を調べる。

==== 軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記 ====
{{Math|'''''n'''''}}を3次元空間の単位ベクトルするとき、{{Math|'''''n'''''}}を回転軸に持つ一粒子の軌道角運動量は{{Math|SO(3)}}のユニタリ表現{{Math|''λ''}}が誘導する写像{{Math|''λ''{{sub|*}}}}と同型写像<math>(\Phi_3)_*~:~\mathsf{spin}(3) \overset{\sim}{\to}\mathsf{so}(3)</math>を用いて
: <math>\hat{L}_{\mathbf{n}}=i\hbar\lambda_*(F_{\mathsf{n}})=i\hbar\lambda_*\circ(\Phi_3)_*(X_{\mathsf{n}})\in\{L^2(\mathbf{R}^3) </math>上のユニタリ演算子<math>\} </math>
と表記できる事が({{EquationNote|J1}})と({{EquationNote|D2}})から従う。ここで「<math>\circ</math>」は関数の合成である。一粒子のスピン角運動量も({{EquationNote|F2}})から
: <math>\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })\in \{V_s</math>上の歪エルミート演算子<math>\} </math>
と定義されていた。

{{Math|'''''n'''''}}を回転軸に持つ一粒子の'''全角運動量演算子'''<math>\hat{J}_{\mathbf{n}}</math>を
: <math>\hat{J}_{\mathbf {n}}=\hat{L}_{\mathbf {n}}\otimes \mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes\hat{S}_{\mathbf {n}}\in\{L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>上の歪エルミート演算子<math>\} </math>
と定義すると、
: <math>\hat{J}_{\mathbf{n}}=i\hbar(\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*)(X_{\mathsf{n}}) </math>
と表記できる。<math>(\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*) </math>は
: <math>\rho~:~\exp(A)\in\mathsf{Spin}(3)\to \exp((\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*)(A))\in\{L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s </math>上のユニタリ演算子<math>\} </math>
が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも
: <math>i\hbar\times </math>({{Math|Spin(3)}}のユニタリ表現が誘導する写像)({{Math|''X''{{sub|'''''n'''''}}}}) 　　…({{EquationRef|K1}})
という形で書けている事がわかる。

複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり({{EquationNote|K1}})の形で表記できる事がわかる。

よって{{Math|Spin(3)}}のユニタリ表現の具体的な形を特定する事ができれば、（一粒子もしくは複数粒子に対する）軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量を具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、{{Math|Spin(3)}}のユニタリ表現を具体的な形で書き下し、{{Math|Spin(3)}}のユニタリ表現を使って({{EquationNote|K1}})の形で表記できる演算子の性質を調べる。

==== {{Math|Spin(3)}}のユニタリ表現 ====
{{Math|''u''≧0}}を整数もしくは半整数とし、{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}を{{Math|2''u''+1}}次元の複素計量ベクトル空間とする。具体的には
* 一粒子のスピン角運動量を考える場合は、{{Math|''u''{{=}}''s''}}で、{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}はスピノール空間{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}
* 一粒子の軌道角運動量を考える場合は、{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}は{{Math|L{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}})}}の{{Math|2''u''+1}}次元部分空間
* 一粒子の全角運動量を考える場合は、{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}は<math>L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s</math>の{{Math|2''u''+1}}次元部分空間
を想定している。複数粒子の場合も同様である。{{EquationNote|定理1}}より、{{Math|Spin(3)}}の{{Math|''W''{{sub|''s''}}}}上での既約ユニタリ表現が同型を除いて一意に存在するので、この既約ユニタリ表現を
: <math>D^{u}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_u) </math>
と表記する。({{EquationNote|H1}})、({{EquationNote|H2}})ですでに述べたように、
: <math>W_{1/2}=\mathbf{C}^2 </math>
: <math>D^{1/2}=\mathrm{id}</math>
である。

一般の{{Math|''u''}}に対する{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}と{{Math|''D''{{sup|''u''}}}}は{{Math|''W''{{sub|1/2}}}}と{{Math|''D''{{sup|1/2}}}}から構成できる{{sfn|S12|pp=25-27}}。

===== {{Math|''W''{{sub|''u''}}}}の構成 =====

====== 対称テンソル積 ======
{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}を構成する準備として、対称テンソル積を定義する。{{Math|''W''{{sub|1/2}}}}の{{Math|2''u''}}個のコピーのテンソル積
: <math>W_{1/2}{}^{\otimes 2u}=\underbrace{W_{1/2}\otimes~\cdots~\otimes W_{1/2}}_{2u} </math>
を考え、<math>W_{1/2}{}^{\otimes 2u}</math>の元<math>\psi=\sum_{j}\phi_{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi_{j,2u}</math>に対し、{{Math|''ψ''}}の[[対称テンソル|'''対称化''']]を
: <math>\mathcal{S}(\psi):=\sum_j\phi_{j,1}\odot~\cdots~\odot\phi_{j,2u}
 </math>　<math>:={1\over (2u)!}\sum_j\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{2u}}\phi_{j,\sigma_1}\otimes\cdots\otimes\phi_{j,\sigma_{2u}} </math>…({{EquationRef|M1}})
により定義する。ここで<math>\mathfrak{S}_{2u}</math>は[[対称群|置換群]]である。すなわち<math>\mathcal{S}(\psi) </math>は各{{Mvar|j}}に対し、<math>\phi_1\otimes \cdots \otimes \phi_{2''u''}</math>の添字を入れ替えたもの全ての和を{{Math|(2''u'')!}}で割ったものである。（このように定義してもwell-definedである）。対称化したテンソルを'''対称テンソル'''と呼び、対称テンソル全体なす部分ベクトル空間を
: <math>W_{1/2}{}^{\odot 2u} </math>
と表記する。{{Math|'''''e'''''{{sub|0}}、'''''e'''''{{sub|1}}}}を{{Math|''W''{{sub|1/2}}{{=}}'''C'''{{sup|2}}}}の基底とし、
: <math>E_j=\underbrace{\mathbf{e}_0\odot~\cdots~\odot\mathbf{e}_0}_{j}\odot\underbrace{\mathbf{e}_1\odot~\cdots~\odot\mathbf{e}_1}_{2u-j} </math>
と定義すると、{{Math|''E''{{sub|0}}、…、''E''{{sub|2''s''}}}}は明らかに<math>W_{1/2}{}^{\odot 2u} </math>の基底となる。したがって<math>W_{1/2}{}^{\odot 2u} </math>は{{Math|2''u''+1}}次元である。

====== 定義 ======
{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}を
: <math>W_u=W_{1/2}{}^{\odot 2u} </math>　　　…({{EquationRef|M2}})
と定義する{{Sfn|S12|pp=25-27}}。

===== {{Math|''D''{{sup|u}}}}の構成 =====
{{Math|''U''∈Spin(3)}}に対し、
: <math>(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)~:~W_{1/2}{}^{\otimes 2u}\to W_{1/2}{}^{\otimes 2u} </math>
を
: <math>\sum_{j}\phi_{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi_{j,2u}</math><math>\mapsto \sum_{j}D^{1/2}(U)(\phi_{j,1})\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U)(\phi_{j,2u})</math>
により定義すると、<math>(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U) </math>は<math>W_{1/2}{}^{\otimes 2u}</math>上の内積を保つ線形写像である。明らかに<math>(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U) </math>は対称テンソルを対称テンソルに移すので、<math>(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U) </math>の<math>W_u=W_{1/2}{}^{\odot 2u} </math>への制限写像を、
: <math>D^{u}(U)=(D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)(U)|_{W_u} </math>         …({{EquationRef|N1}})
と定義する。

<math>D^{u}(U) </math>は内積を保つので、これは
: <math>D^{u}(U)\in\mathsf{U}(W_u) </math>
を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現である{{Sfn|S12|pp=25-27}}。

==== オブザーバブルとその性質 ====
本節では、前節で定義した{{Math|Spin(3)}}の既約ユニタリ表現{{Math|D{{sup|''u''}}}}を用いて、オブザーバブルを定義し、そのオブザーバブルの性質を調べる。

===== オブザーバブル =====
: <math>D^{u}~:~\mathsf{Spin}(3)=\mathsf{SU}(2)\to W_s </math>
が誘導する写像
: <math>(D^{u})_*~:~\mathsf{spin}(3)=\mathsf{su}(2)\to W_u, </math>  <math>\left.{\operatorname{d} U(t)\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} \mapsto \left.{\operatorname{d} D^u(U(t))\over \operatorname{d} t} \right|_{t=0} </math>
と3次元空間の単位ベクトル<math>\mathbf{n}\in \mathsf{spin}(3)\simeq \mathbf{R}^3</math>を用いてオブザーバブル
: <math>\hat{T}_{\mathbf{n}}=i\hbar(D^{u})_*(X_{\mathbf{n}}) </math>
を定義できる。ここで{{Mvar|''i''}}は虚数単位であり、{{Math|''X''{{sub|'''''n'''''}}}}は({{EquationNote|L6}})に定義されたものである。具体的には
* {{Math|''W''{{sub|''u''}}}}がスピノール空間{{Math|''V''{{sub|''s''}}}}のときは{{Math|1=''u''=''s''}}で、<math>\hat{T}_{\mathbf{n}}</math>は一粒子のスピン角運動量演算子<math>\hat{S}_{\mathbf{n}}</math>
* {{Math|''W''{{sub|''u''}}}}が{{Math|L{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}})}}の{{Math|2''u''+1}}次元部分空間のときは、<math>\hat{T}_{\mathbf{n}}</math>は一粒子の軌道角運動量演算子<math>\hat{L}_{\mathbf{n}}</math>
* {{Math|''W''{{sub|''u''}}}}は<math>L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_t</math>の{{Math|2''u''+1}}次元部分空間のときは、<math>\hat{T}_{\mathbf{n}}</math>は一粒子の全角運動量演算子<math>\hat{J}_{\mathbf{n}}</math>
である。

{{Math|(D{{sup|''u''}}){{sub|*}}}}を具体的に書き表す。{{Math|''U''(''t'')}}を
: <math>X_{\mathbf{n}}=\left.{\operatorname{d} U(t)\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} </math>
を満たすように取ると、[[積の微分法則|ライプニッツルール]]と({{EquationNote|N1}})より
: <math>(D^{u})_*(X_{\mathbf{n}})= </math><math>\left.{\operatorname{d} D^u(U(t))\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0} = \left.{\operatorname{d} \over \operatorname{d} t}D^{1/2}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))\right|_{t=0}  </math><math>= \sum_{j=1}^{2u} D^{1/2}(U(t))|_{t=0}\otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}}{\left.{\operatorname{d} D^{1/2}(U(t))\over \operatorname{d} t}\right|_{t=0}}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))|_{t=0}</math><math>= \sum_{j=1}^{2u} I \otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}}{(D^{1/2})_*(X_{\mathbf{n}})} \otimes \cdots \otimes I </math>
である。ここで{{Math|''I''}}は常に単位行列{{Math|''I''}}を返す写像である。

===== 固有状態 =====
スピン{{Math|1/2}}のときと同様の議論により、オブザーバブル{{Math|D{{sup|1/2}}}}は２つの固有値
: <math>{\hbar\over 2}, -{\hbar\over 2} </math>
を持つので、これらに対応する固有状態をそれぞれ<math>e_{\mathbf{n}}^+ </math>、<math>e_{\mathbf{n}}^- </math>とし、{{Math|''k'' {{=}} −''u'', −(''u'' − 1), …, (''u'' − 1), ''u''}}に対し、
: <math>E_{\mathbf{n},k}=c(k)\underbrace{e_{\mathbf{n}}^+\cdot~ \cdots ~\cdot e_{\mathbf{n}}^+}_{u+k}\cdot \underbrace{e_{\mathbf{n}}^-\cdot~ \cdots ~\cdot e_{\mathbf{n}}^-}_{u-k}
=c(k)\mathcal{S}(\underbrace{e_{\mathbf{n}}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^+}_{u+k}\otimes \underbrace{e_{\mathbf{n}}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^-}_{u-k}) </math><math>\in W_{1/2}{}^{\odot 2u}=W_u </math>      …({{EquationRef|P1}})
とする{{sfn|S12|pp=25-27}}。

ここで{{Math|''c''(''k'')}}は正規化定数{{sfn|S12|pp=25-27}}
: <math>c(k)=\sqrt{(2u)!\over(u+k)!(u-k)!} </math>       …({{EquationRef|P2}})
すると、
: <math>\hat{T}_{\mathbf{n}}(E_{\mathbf{n},k})=i\hbar(D^{u})_*(X_{\mathbf{n}})(E_{\mathbf{n},k})
= c(k)\cdot\mathcal{S}(\sum_{j=1}^{2u} (I \otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}}{(D^{1/2})_*(X_{\mathbf{n}})} \otimes \cdots \otimes I)(e_{\mathbf{n}}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^+\otimes e_{\mathbf{n}}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^-)) </math><math>=\hbar c(k)\cdot\mathcal{S}(k\cdot e_{\mathbf{n}}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^+\otimes e_{\mathbf{n}}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^-)=k\hbar \cdot E_{\mathbf{n},k} </math>
なので、{{Math|''E''{{sub|'''''n''''',''k''}}}}は固有値<math>k\hbar</math>に対応する固有状態である。

===== 昇降演算子 =====
{{Main|昇降演算子}}{{Math|'''''n'''''}}が{{Mvar|x}}軸、{{Mvar|y}}軸、{{Mvar|z}}軸であるときの<math>\hat{T}_{\mathbf{n}}</math>を<math>\hat{T}_x</math>、<math>\hat{T}_y</math>、<math>\hat{T}_z</math>とし、
: <math>\hat{T}_+:=\hat{T}_x+i\hat{T}_y
 </math>
: <math>\hat{T}_-:=\hat{T}_x-i\hat{T}_y </math>
とすると{{sfn|A07|p=50}}、
: <math>\hat{T}_{\pm}(E_{z,k})
 </math><math>= \hbar \sqrt{u(u+1)-k(k+1)}\cdot E_{z,k\pm 1} </math>
である{{sfn|A07|p=50}}。{{Math proof|
:<math>\hat{D}^u_+:=(\hat{D}^u)_*(X_1)+i(\hat{D}^u)_*(X_2)
 </math>
:<math>\hat{D}^u_-:=(\hat{D}^u)_*(X_1)-i(\hat{D}^u)_*(X_2)
 </math>
とする。

z軸回りのオブザーバブルに対する固有状態は
:<math>e_+=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix} </math>、<math>e^-=
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix} </math>
である。{{Math|''u''{{=}}1/2}}のときは、
:<math>\hat{D}^{1/2}_+e_+
= 
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}
e_+
=
0
 </math>、
:<math>\hat{D}^{1/2}_+e_-
= 
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}
e_-
=
{\hbar\over 2}
e_+ </math>、
:<math>\hat{D}^{1/2}_-e_+
= 
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&0\\
1&0
\end{pmatrix}
e_+
=
{\hbar\over 2}
e_-
 </math>、
:<math>\hat{D}^{1/2}_-e_-
= 
{\hbar\over 2}
\begin{pmatrix}
0&0\\
1&0
\end{pmatrix}
e_-
=
0 </math>
なので、({{EquationNote|N1}})、({{EquationNote|M1}})、({{EquationNote|P1}})、({{EquationNote|P2}})より、
:<math>\hat{T}_+(E_{z,k})
= c(k)\cdot\mathcal{S}(\sum_{j=1}^{2u} (I \otimes \cdots \otimes \overset{\overset{j}{\vee}}{D^{1/2}_+(X_{\mathbf{n}})} \otimes \cdots \otimes I)(\underbrace{e_{\mathbf{n}}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^+}_{u+k}\otimes \underbrace{e_{\mathbf{n}}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^-}_{u-k}) </math><math>=c(k)\cdot\mathcal{S}((u-k)\hbar\cdot \underbrace{e_{\mathbf{n}}^+\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^+}_{u+k+1}\otimes \underbrace{e_{\mathbf{n}}^-\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf{n}}^-}_{u-k-1}) </math><math>= {(u-k)\hbar c(k)\over c(k+1)}\cdot E_{z,k+1} </math><math>= \hbar \sqrt{(u-k)(u+k+1)}\cdot E_{z,k+1} </math><math>= \hbar \sqrt{u(u+1)-k(k+1)}\cdot E_{z,k+1} </math>
<math>\hat{T}_-(E_{z,k}) </math>のケースも同様に証明できる。
|drop=yes}}

===== クレブシュ–ゴルダン係数 =====
{{Main|クレブシュ–ゴルダン係数}}{{Math|''W''{{sub|''u''}}}}、{{Math|''W''{{sub|''v''}}}}をそれぞれ{{Math|2''u''+1}}次元、{{Math|2''ｖ''+1}}次元の複素計量ベクトル空間とし、
: <math>D^{u}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_u) </math>
: <math>D^{v}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_v) </math>
を既約ユニタリ表現としても
: <math>D^{u}\otimes D^{v}~:~\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{U}(W_u)\otimes \mathrm{U}(W_v) \subset \mathrm{U}(W_u\otimes W_v) </math>
は既約ユニタリ表現になるとは限らない。しかし適切に基底を取り替えれば、以下の事実が成り立つ事が知られている：
: <math>W_{u}\otimes W_{v} \simeq \bigoplus_{w=|u-v|}^{u+v} W_w </math>
: <math>D^{u}\otimes D^{v} \simeq \bigoplus_{w=|u-v|}^{u+v} D^w </math>
上式を'''クレブシュ–ゴルダン分解'''という{{sfn|A07|p=59}}{{sfn|W16|p=116}}。

上式左辺の基底は、
: <math>|u,j_1\rangle\otimes |v,j_2\rangle </math>
の形式で記述できる。ここで<math>|u,j_1\rangle </math>は固有値{{Math|''j''{{sub|1}}}}に対応する{{Math|D{{sup|u}}}}の固有状態である。一方右辺の基底は
: <math>|u,v,w,j\rangle </math>
の形式で記述できる。ここで<math>|u,v,w,j\rangle </math>は<math>W_u\otimes W_v </math>における、固有値{{Math|''j''}}に対応する{{Math|D{{sup|w}}}}の固有状態である。両者は基底変換で結ばれるので、何らかの係数{{Math|''c''(''u'',''v'',''w'',''j''{{sub|1}},''j''{{sub|2}},''j'')}}を用いて
: <math>|u,v,w,j\rangle = \sum_{w=|u-v|}^{u+v}c(u,v,w,j_1,j_2,j)|u,j_1\rangle\otimes |v,j_2\rangle </math>
と書ける。{{Math|''c''(''u'',''v'',''w'',''j''{{sub|1}},''j''{{sub|2}},''j'')}}を'''クレブシュ–ゴルダン係数'''という{{sfn|A07|pp=60-61}}。

==脚注==
===出典===
{{reflist|colwidth=20em}}

===注釈===
{{notelist}}

== 関連項目 ==
* [[角運動量]]
* [[軌道角運動量]]
* [[スピン軌道相互作用]]
* [[スピントロニクス]]
* [[シュテルン＝ゲルラッハの実験]]

==参考文献==
===書籍===
* [LL] {{Cite book|ref={{sfnref|LL}}|author=[[レフ・ランダウ|L.D. ランダウ]]、[[エフゲニー・リフシッツ|E.M.リフシッツ]]著、好村滋洋、井上健男訳|title=ランダウ＝リフシッツ物理学小教程　量子力学|date=2008年6月10日|year=|publisher=[[ちくま学芸文庫]]}}
* [H13] {{Cite book|ref={{sfnref|H13}}|author=Brian C.Hall|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics 267|date=2013/7/1|year=|publisher=[[Springer]]}}
* [S93] {{Cite book|ref={{sfnref|S93}}|author=[[桜井純|J. J. Sakurai]]|title=Modern Quantum Mechanics, Revised Edition|date=1993/9/10|year=|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0201539295}}
* {{Cite book|和書|author=砂川重信|title=量子力学|year=1991|publisher=[[岩波書店]]|id=ISBN 4000061399|ref=harv}}
===PDF===
* [A07] {{Cite web|url=http://www.physik.uni-leipzig.de/~rudolph/qm/qmgr.pdf|title=Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics|accessdate=2016/12/01|author=Joṥe Alvarado|date=2007/12/4|format=pdf|ref={{sfnref|A07}}}}
* [S12] {{Cite web|url=http://pages.uoregon.edu/soper/QuantumMechanics/spin.pdf|title=The rotation group and quantum mechanics|accessdate=2016/12/27|author=D. E. Soper|date=2012/1/30|format=pdf|publisher=|ref={{sfnref|S12}}}}
* [W16] {{Cite web|url=https://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf|title=Quantum Theory, Groups and Representations:An Introduction|accessdate=2016/12/16|author=Peter Woit|date=2016/12/6|format=pdf|publisher=|ref={{sfnref|W16}}}}
===雑誌論文===
* {{Cite journal|first1=G.E.|last1=Uhlenbeck|first2= S.|last2=Goudsmit|year=1925|title=Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons|journal=Naturwissenschaften|volume=13|issue=47|pages=953–954|doi=10.1007/BF01558878|ref=harv}}
* {{Cite journal|first1=G.E.|last1=Uhlenbeck|first2= S.|last2=Goudsmit|year=1926|title=Spinning Electrons and the Structure of Spectra|journal=Nature|volume=117|pages=264–265|doi=10.1038/117264a0|ref=harv}}

==外部リンク==
* {{PDFlink|[http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/quantum/spin-coupling060614b.pdf スピン、一般化角運動量、角運動量合成]}} {{ja icon}}
* {{PDFlink|[http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMII11/QMII11_chap19.pdf 第19章 スピン] [http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMII11/QMII11_chap14.pdf 第14章 軌道角運動量] [http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMII11/QMII11_chap20.pdf 第20章 角運動量の合成]}} {{ja icon}}
* {{PDFlink|[http://ocw.osaka-u.ac.jp/engineering-science-jp/quantum-mechanics-b-jp/lecturenoteno-9.pdf 第9回講義資料]}} {{ja icon}} [[ヴォルフガング・パウリ|パウリ]]の'''スピン'''行列の導出
* {{PDFlink|[http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMB2005/chap2-1.pdf 第2章 スピン (その1)] [http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMB2005/chap2-2.pdf 第2章 スピン (その2)]}} {{ja icon}} [[スピノル|スピノル表記]]・[[ヴォルフガング・パウリ|パウリ]]の'''スピン'''行列の導出
* {{PDFlink|[http://www.sci.u-hyogo.ac.jp/material/theory2/takahash/lectures/qm3/part6.pdf 3.3 回転対称性]}} {{ja icon}} '''スピン'''と[[対称操作]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:すひんかくうんとうりよう}}

[[Category:量子力学]]
[[Category:量子数]]
[[Category:回転]]
[[Category:回転対称性]]