スマッシュ積のソースを表示

{{for|ホップ代数の理論におけるスマッシュ積|{{仮リンク|ホップスマッシュ積|en|Hopf smash product}}}}

[[数学]]において，2つの[[基点付き空間]]（すなわち区別された基点を持つ[[位相空間]]）{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の'''スマッシュ積'''（{{lang-en-short|smash product}}）とは，[[積空間]] {{math|''X'' &times; ''Y''}} において，すべての {{math|''x'' ∈ ''X''}} と {{math|''y'' ∈ ''Y''}} に対して {{math|(''x'', ''y''<sub>0</sub>)}} と {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y'')}} を同一視した[[商位相空間|商空間]]である．スマッシュ積は通常 {{math|''X'' ∧ ''Y''}} あるいは {{math|''X'' ⨳ ''Y''}} と書かれる．スマッシュ積は（{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} がともに[[等質空間|等質]]でない限り）基点の取り方に依存する．

{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} をそれぞれ {{math|''X'' &times; ''Y''}} の[[部分位相空間|部分空間]] {{math|''X'' &times; {{mset|''y''<sub>0</sub>}}}} と {{math|{''x''<sub>0</sub>} &times; ''Y''}} と考えることができる．これらの部分空間は一点 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}, {{math|''X'' &times; ''Y''}} の基点で交わる．したがってこれらの部分空間の合併は[[ウェッジ和]] {{math|''X'' ∨ ''Y''}} と同一視できる．するとスマッシュ積は商
:<math>X \wedge Y = (X \times Y) / (X \vee Y) \, </math>
である．

スマッシュ積は[[代数的位相幾何学]]の一分野[[ホモトピー論]]において現れる．ホモトピー論では，すべての[[位相空間の圏]]とは異なる空間の[[圏 (数学)|圏]]でしばしば考える．これらの圏のうちスマッシュ積の定義をわずかに修正しなければならないものがある．例えば，2つの[[CW複体]]のスマッシュ積は，定義において積位相ではなくCW複体の積を用いることで，CW複体である．同様の修正は他の圏においても必要である．

==例==
*任意の基点付き空間 {{mvar|X}} の[[0次元球面]]とのスマッシュ積は {{mvar|X}} に同相である．
*2つの円のスマッシュ積は2次元球面に同相な[[トーラス]]の商である．
*より一般に，2つの球面 {{mvar|S{{sup|m}}}} と {{mvar|S{{sup|n}}}} のスマッシュ積は球面 {{math|''S''{{sup|''m''+''n''}}}} に同相である．
*空間 {{mvar|X}} の円とのスマッシュ積は {{mvar|X}} の[[約懸垂]]に同相である：
*:<math> \Sigma X \cong X \wedge S^1. \, </math>
*{{mvar|X}} の {{mvar|k}} 重約懸垂は {{mvar|X}} と {{mvar|k}} 次元球面のスマッシュ積に同相である：
*:<math> \Sigma^k X \cong X \wedge S^k. \, </math>
*[[領域理論]]において，2つの領域の積を取ること (so that the product is strict on its arguments).

==対称モノイド積として==
適切な「便利な」圏（例えば{{仮リンク|コンパクト生成空間|en|compactly generated space}}の圏）において，任意の基点付き空間 {{math|''X'', ''Y'', ''Z''}} に対して，自然な（基点を保つ）[[同相]]
:<math>\begin{align}
X \wedge Y &\cong Y\wedge X, \\
(X\wedge Y)\wedge Z &\cong X \wedge (Y\wedge Z)
\end{align}</math>
が存在する．しかしながら，基点付き空間の圏を素朴に考えると，これは誤りである．[[MathOverflow]] での議論を参照<ref>Omar Antolín-Camarena (mathoverflow.net/users/644), In which situations can one see that topological spaces are ill-behaved from the homotopical viewpoint?, http://mathoverflow.net/questions/76594 (version: 2011-09-28)</ref>．

これらの同型は適切な[[基点付き空間の圏]]を，スマッシュ積をモノイド積として持ち基点付き[[0次元球面]]（離散二点空間）を単位対象として持つ，[[対称モノイド圏]]に変える．したがってスマッシュ積を基点付き空間の適切な圏における[[テンソル積]]のようなものと考えることができる．

==随伴関係==
[[随伴関手]]はテンソル積とスマッシュ積との類似をより正確にする．[[可換環]] {{mvar|R}} 上の[[環上の加群|加群]]の圏において，テンソル関手 {{math|(&ndash; ⊗<sub>''R''</sub> ''A'')}} は内部[[Hom関手]] {{math|Hom(''A'',&ndash;)}} の左随伴である，つまり
:<math>\operatorname{Hom}(X\otimes A,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Hom}(A,Y)).</math>
[[基点付き空間の圏]]において，スマッシュ積はテンソル積の役割を果たす．特に，{{mvar|A}} が[[局所コンパクトハウスドルフ]]ならば，随伴
:<math>\operatorname{Hom}(X\wedge A,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Hom}(A,Y))</math>
がある，ただし {{math|Hom(''A'', ''Y'')}} は基点を保つ連続写像の空間に[[コンパクト開位相]]を入れたものである．

特に，{{mvar|A}} として[[単位円]] {{math|''S''<sup>1</sup>}} を取ると，懸垂関手 {{math|Σ}} は{{仮リンク|ループ空間|en|loop space}}関手 {{math|Ω}} の左随伴であることが分かる：
:<math>\operatorname{Hom}(\Sigma X,Y) \cong \operatorname{Hom}(X,\Omega Y).</math>

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{Hatcher AT}}

{{DEFAULTSORT:すまつしゆせき}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:ホモトピー論]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:数学に関する記事]]