スマッシュ積

数学において，2つの基点付き空間（すなわち区別された基点を持つ位相空間）テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のスマッシュ積（テンプレート:Lang-en-short）とは，積空間 テンプレート:Math において，すべての テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して テンプレート:Math と テンプレート:Math を同一視した商空間である．スマッシュ積は通常 テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と書かれる．スマッシュ積は（テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに等質でない限り）基点の取り方に依存する．

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar をそれぞれ テンプレート:Math の部分空間 テンプレート:Math と テンプレート:Math と考えることができる．これらの部分空間は一点 テンプレート:Math, テンプレート:Math の基点で交わる．したがってこれらの部分空間の合併はウェッジ和 テンプレート:Math と同一視できる．するとスマッシュ積は商

$X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)$

である．

スマッシュ積は代数的位相幾何学の一分野ホモトピー論において現れる．ホモトピー論では，すべての位相空間の圏とは異なる空間の圏でしばしば考える．これらの圏のうちスマッシュ積の定義をわずかに修正しなければならないものがある．例えば，2つのCW複体のスマッシュ積は，定義において積位相ではなくCW複体の積を用いることで，CW複体である．同様の修正は他の圏においても必要である．

例

• 任意の基点付き空間 テンプレート:Mvar の0次元球面とのスマッシュ積は テンプレート:Mvar に同相である．
• 2つの円のスマッシュ積は2次元球面に同相なトーラスの商である．
• より一般に，2つの球面 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のスマッシュ積は球面 テンプレート:Math に同相である．
• 空間 テンプレート:Mvar の円とのスマッシュ積は テンプレート:Mvar の約懸垂に同相である：

  $\mathrm{\Sigma }X\cong X\wedge S^1.$

• テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 重約懸垂は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 次元球面のスマッシュ積に同相である：

  ${\mathrm{\Sigma }}^{k}X\cong X\wedge S^k.$

• 領域理論において，2つの領域の積を取ること (so that the product is strict on its arguments).

対称モノイド積として

適切な「便利な」圏（例えばテンプレート:仮リンクの圏）において，任意の基点付き空間 テンプレート:Math に対して，自然な（基点を保つ）同相

$\begin{array}{cc}X\wedge Y& \cong Y\wedge X,\\ (X\wedge Y)\wedge Z& \cong X\wedge (Y\wedge Z)\end{array}$

が存在する．しかしながら，基点付き空間の圏を素朴に考えると，これは誤りである．MathOverflow での議論を参照．

これらの同型は適切な基点付き空間の圏を，スマッシュ積をモノイド積として持ち基点付き0次元球面（離散二点空間）を単位対象として持つ，対称モノイド圏に変える．したがってスマッシュ積を基点付き空間の適切な圏におけるテンソル積のようなものと考えることができる．

随伴関係

随伴関手はテンソル積とスマッシュ積との類似をより正確にする．可換環 テンプレート:Mvar 上の加群の圏において，テンソル関手 テンプレート:Math は内部Hom関手 テンプレート:Math の左随伴である，つまり

$\mathrm{Hom}(X\otimes A,Y)\cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y)).$

基点付き空間の圏において，スマッシュ積はテンソル積の役割を果たす．特に，テンプレート:Mvar が局所コンパクトハウスドルフならば，随伴

$\mathrm{Hom}(X\wedge A,Y)\cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y))$

がある，ただし テンプレート:Math は基点を保つ連続写像の空間にコンパクト開位相を入れたものである．

特に，テンプレート:Mvar として単位円 テンプレート:Math を取ると，懸垂関手 テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク関手 テンプレート:Math の左随伴であることが分かる：

$\mathrm{Hom}(\mathrm{\Sigma }X,Y)\cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{\Omega }Y).$

参考文献

• テンプレート:Hatcher AT