スレーターの条件のソースを表示

[[数学]]において、'''スレーターの条件'''（スレーターのじょうけん、{{Lang-en-short|Slater's condition}}）とは、[[凸最適化]]に対して[[強双対性]]が成立するための[[十分条件]]である。モートン・L・スレーターの名にちなむ<ref>{{cite report |author=Slater, Morton |title=Lagrange Multipliers Revisited |date=1950 |publisher=Cowles Commission Discussion Paper No. 403 |url=http://cowles.econ.yale.edu/P/cd/d00b/d0080.pdf}}</ref>。スレーターの条件では、実行可能領域は必ず内点を持つ（下記の技術的な詳細を参照）ということが述べられている。

スレーターの条件は、制約想定の特別な例の一つである。特に、[[双対問題|主問題]]に対してスレーターの条件が成立するなら、{{仮リンク|双対性のギャップ|en|duality gap}}は 0 であり、双対値が有限であるなら、それは達成される<ref>{{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan |last2=Lewis |first2=Adrian |title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples| edition=2 |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-29570-1}}</ref>。

== 詳細 ==
[[凸函数]] <math>f_0,\ldots,f_m</math> に対する問題
:<math> \text{Minimize }\; f_0(x) </math>
:<math> \text{subject to: }\ </math>
::<math> f_i(x) \le 0 , i = 1,\ldots,m</math>
::<math> Ax = b</math>
を考える（したがって、凸最適化問題である）。このときスレーターの条件は、ある <math>x \in \operatorname{relint}(D)</math> に対して
:<math>f_i(x) < 0, i = 1,\ldots,m</math> and
:<math>Ax = b.\,</math><ref name="boyd">{{cite book |last1=Boyd |first1=Stephen |last2=Vandenberghe |first2=Lieven |title=Convex Optimization |publisher=Cambridge University Press |year=2004 |isbn=978-0-521-83378-3 |url=http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf |format=pdf |accessdate=October 3, 2011}}</ref>
が成立するなら、強双対性が成立することを意味する（ここで、relint は[[相対的内部]]であり、<math>D = \cap_{i = 0}^m \operatorname{dom}(f_i)</math> である）。初めの  <math>k</math> 個の制限 <math>f_1,\ldots,f_k</math> が[[線型性|線型函数]]であるとき、次を満たす <math>x \in \operatorname{relint}(D)</math> が存在するなら、強双対性は成立する。
:<math>f_i(x) \le 0, i = 1,\ldots,k,</math>
:<math>f_i(x) < 0, i = k+1,\ldots,m,</math> and
:<math>Ax = b.\,</math><ref name="boyd" />

=== 一般化不等式 ===
<math>f_0</math> は凸で、各 <math>i</math> に対して <math>f_i</math> が <math>K_i</math>-凸であるような問題
:<math> \text{Minimize }\; f_0(x) </math>
:<math> \text{subject to: }\ </math>
::<math> f_i(x) \le_{K_i} 0 , i = 1,\ldots,m</math>
::<math> Ax = b</math>
を考える。このときスレーターの条件は、次を満たす <math>x \in \operatorname{relint}(D)</math> が存在するなら、強双対性が成立することを意味する<ref name="boyd" />：
:<math>f_i(x) <_{K_i} 0, i = 1,\ldots,m</math> and
:<math>Ax = b</math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:すれえたあのしようけん}}
[[Category:最適化]]
[[Category:数学に関する記事]]