スレーターの条件

数学において、スレーターの条件（スレーターのじょうけん、テンプレート:Lang-en-short）とは、凸最適化に対して強双対性が成立するための十分条件である。モートン・L・スレーターの名にちなむ。スレーターの条件では、実行可能領域は必ず内点を持つ（下記の技術的な詳細を参照）ということが述べられている。

スレーターの条件は、制約想定の特別な例の一つである。特に、主問題に対してスレーターの条件が成立するなら、テンプレート:仮リンクは 0 であり、双対値が有限であるなら、それは達成される。

詳細

凸函数 $f_0,\dots ,f_m$ に対する問題

$\text{Minimize }{f}_0(x)$

$\text{subject to: }$

$f_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m$

$Ax=b$

を考える（したがって、凸最適化問題である）。このときスレーターの条件は、ある $x\in \mathrm{relint}(D)$ に対して

$f_i(x)<0,i=1,\dots ,m$ and

$Ax=b.$

が成立するなら、強双対性が成立することを意味する（ここで、relint は相対的内部であり、$D=\underset{i=0}{\overset{m}{\cap }}\mathrm{dom}(f_i)$ である）。初めの $k$ 個の制限 $f_1,\dots ,f_k$ が線型函数であるとき、次を満たす $x\in \mathrm{relint}(D)$ が存在するなら、強双対性は成立する。

$f_i(x)\le 0,i=1,\dots ,k,$

$f_i(x)<0,i=k+1,\dots ,m,$ and

$Ax=b.$

一般化不等式

$f_0$ は凸で、各 $i$ に対して $f_i$ が $K_i$-凸であるような問題

$\text{Minimize }{f}_0(x)$

$\text{subject to: }$

$f_i(x){\le }_{K_i}0,i=1,\dots ,m$

$Ax=b$

を考える。このときスレーターの条件は、次を満たす $x\in \mathrm{relint}(D)$ が存在するなら、強双対性が成立することを意味する：

$f_i(x){<}_{K_i}0,i=1,\dots ,m$ and

$Ax=b$