セグレの多重複素数のソースを表示

{{for||多重複素数}}
[[数学]]における'''多重複素数'''（たじゅうふくそすう、{{lang-en-short|''Multi&shy;complex number''}}）{{math|{{mathbf|ℂ}}{{sub|''n''}}}} は、{{harvtxt|Segre|1892}} が導入した、各[[自然数]]（{{math|0}} を含む） {{math|''n'' ∈ {{mathbf|ℕ}}}} に対して定義される[[超複素数系]]の系列で、それぞれは {{mathbf|ℝ}} 上 {{math|2{{exp|''n''}}}}-次元の[[可換多元環|可換]][[結合多元環|結合]][[体上の多元環|多元環]]を成す。

== 定義 ==
=== 再帰的 ===
多重複素数環 {{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は、初期値 {{math|'''ℂ'''{{Ind|0}} {{coloneqq}} '''ℝ'''}} から[[再帰的]]に構成することができる。

{{math|''n'' &ge; 1}} のとき、{{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}}} がすでに得られているものとして、新たな[[虚数単位]]{{math|''i{{Ind|n}}'' ∉ '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}}} を {{math|1=''i''{{supsub|2|''n''}} = −1}} および他の虚数単位 {{math|''i''{{Ind|1}}, …, ''i''{{Ind|''n''−1}}}} と可換なるものとして導入し、<math display="block">\mathbb{C}_n := \{x + yi_n \mid (x, y) \in \mathbb{C}_{n-1}^2\}</math> と置く。

=== 直截的 ===
{{math|''n'' ≥ 1}} に対し、 {{math|1}} および {{mvar|i{{Ind|n}}}} は {{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}}} の任意の数と可換、また {{math|[[線型包|span]](1, ''i{{Ind|n}}'') ∉ '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}}}（特に {{math|''i{{Ind|n}}'' ∉ '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}}}）とする。

関係式 {{math|1='''ℂ'''{{Ind|''n''}} = {{mset|''x'' + ''yi{{Ind|n}}'' | (''x'', ''y'') ∈ '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}{{Exp|2}}}}}} は[[代数のテンソル積]]を用いて {{math|1='''ℂ'''{{Ind|''n''}} = '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}} ⊗{{Ind|'''ℝ'''}} span(1, ''i{{Ind|n}}'')}} と書き直せる。さらに言えば、条件 {{math|1=''i''{{supsub|2|''n''}} = −1}} から {{math|span(1, ''i{{Ind|n}}'') ≅ ℂ}} であり、{{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}} {{coloneqq}} '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}} ⊗{{Ind|'''ℝ'''}} '''ℂ'''}} と書いてもよい。{{mathbf|ℝ}} はテンソル積 {{math|⊗{{Ind|'''ℝ'''}}}} の[[単位元]]であって、[[空積]]を対応付けることができる。まとめると <math display="block">\mathbb{C}_n = \underbrace{ \mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \cdots \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} }_{n \text{ factors}} = {\bigotimes^n}_\mathbb{R} \mathbb{C}\qquad(\forall n \in \mathbb{N}).</math>

== 代数的性質 ==
* 各階 {{mvar|n}} において成分数は倍化し、{{math|'''ℂ'''{{Ind|0}} {{coloneqq}} '''ℝ'''}} が {{mathbf|ℝ}} 上一次元であるから、{{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は {{mathbf|ℝ}} 上の次元が {{math|2{{Exp|''n''}}}} である。
* 各 {{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は[[バナッハ代数]]を成す。
* {{math|''n'' ≥ 2}} に対し、可換環 {{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は[[零因子]]を持つ: なんとなれば
** 二つの自然数が {{math|''a'' ≠ ''b''}} のとき、{{math|''i{{Ind|a}}'' − ''i{{Ind|b}}'' ≠ 0}} かつ {{math|''i{{Ind|a}}'' + ''i{{Ind|b}}'' ≠ 0}} だが {{math|1=(''i{{Ind|a}}'' − ''i{{Ind|b}}'')(''i{{Ind|a}}'' + ''i{{Ind|b}}'') = ''i''{{supsub|2|''a''}} − ''i''{{supsub|2|''b''}} = 0}} を満たす;
** 二つの自然数が {{math|''a'' ≠ ''b''}} のとき、{{math|''i{{Ind|a}}&sdot;i{{Ind|b}}'' − 1 ≠ 0}} かつ {{math|''i{{Ind|a}}&sdot;i{{Ind|b}}'' + 1 ≠ 0}} だが {{math|1=(''i{{Ind|a}}&sdot;i{{Ind|b}}'' − 1)(''i{{Ind|a}}&sdot;i{{Ind|b}}'' + 1) = ''i''{{supsub|2|''a''}}&sdot;''i''{{supsub|2|''b''}} − 1 = 0}} を満たす。

=== 部分環 ===
* {{math|''n'' ≥ 1}} に対し、{{math|'''ℂ'''{{Ind|0}}, …, '''ℂ'''{{Ind|''n''−1}}}} は何れも {{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} の部分環である。
* {{math|''k'' ≤ ''n''}} に対し、{{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は {{math|'''ℂ'''{{Ind|''k''}}}} 上 {{math|2{{Exp|''n''−''k''}}}}-次元である。
* {{math|''n'' ≥ 1}} に対し、各虚数単位 {{mvar|i{{Ind|k}}}} は {{math|1=''i''{{supsub|2|''k''}} = −1}} を満足するから、{{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は[[複素数平面]]の {{mvar|n}} 個のコピーを含む。
* {{math|''n'' ≥ 2}} および {{math|''a'' ≠ ''b''}} に対し、数 {{math|1=''j{{Ind|a,b}}'' {{coloneqq}} ''i{{Ind|a}}&sdot;i{{Ind|b}}'' = ''i{{Ind|b}}&sdot;i{{Ind|a}}''}} は {{math|1=''j{{Ind|a,b}}''{{Exp|2}} = 1}} を満たすから、{{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は {{math|{{Sfrac|''n''(''n''−1)|2}}}} 個の[[分解型複素数]]平面を含む。

== 系列の最初のほうの代数 ==
小さい {{mvar|n}} に対してはよく知られた代数も含まれる:
* {{math|'''ℂ'''{{Ind|0}} {{coloneqq}} '''ℝ'''}} は[[実数]]体;
* {{math|'''ℂ'''{{Ind|1}} {{coloneqq}} '''ℂ'''}} は[[複素数]]体;
* {{math|'''ℂ'''{{Ind|2}} {{coloneqq}} '''ℂ''' &otimes;{{sub|'''ℝ'''}} '''ℂ'''}} は[[双複素数]]環;
* {{math|'''ℂ'''{{Ind|3}}}} を三重複素数環 (tri&shy;complex numbers) と呼ぶ。以降も同様。

== 関連項目 ==
=== 参考文献 ===
* {{it icon}} {{citation|first= Corrado | last= Segre | author-link= Corrado Segre | title= The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities | journal= [[Mathematische Annalen]] | year= 1892 | volume= 40 | pases= 413&ndash;467|ref=harv}}
* {{en icon}} {{citation|first=G. Baley | last= Price | author-lnk= Griffith Baley Price | title= An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions | publisher= [[Marcel Dekker]] | location= New York | year= 1991}}

{{Number systems}}<!--{{Palette|Notion de nombre|Nombres hypercomplexes}}-->
{{Portal|数学}}

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[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]