セグレの多重複素数

テンプレート:For 数学における多重複素数（たじゅうふくそすう、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math は、テンプレート:Harvtxt が導入した、各自然数（テンプレート:Math を含む） テンプレート:Math に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれは テンプレート:Mathbf 上 テンプレート:Math-次元の可換結合多元環を成す。

定義

再帰的

多重複素数環 テンプレート:Math は、初期値 テンプレート:Math から再帰的に構成することができる。

テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math がすでに得られているものとして、新たな虚数単位テンプレート:Math を テンプレート:Math および他の虚数単位 テンプレート:Math と可換なるものとして導入し、$${ℂ}_n:=\{x+y{i}_n\mid (x,y)\in {ℂ}_{n-1}^2\}$$ と置く。

直截的

テンプレート:Math に対し、 テンプレート:Math および テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の任意の数と可換、また テンプレート:Math（特に テンプレート:Math）とする。

関係式 テンプレート:Math は代数のテンソル積を用いて テンプレート:Math と書き直せる。さらに言えば、条件 テンプレート:Math から テンプレート:Math であり、テンプレート:Math と書いてもよい。テンプレート:Mathbf はテンソル積 テンプレート:Math の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると $${ℂ}_n=\underset{n\text{ factors}}{\underbrace{ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ{\otimes }_{ℝ}\cdots {\otimes }_{ℝ}ℂ}}={{⨂}^n}_{ℝ}ℂ(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}).$$

代数的性質

• 各階 テンプレート:Mvar において成分数は倍化し、テンプレート:Math が テンプレート:Mathbf 上一次元であるから、テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf 上の次元が テンプレート:Math である。
• 各 テンプレート:Math はバナッハ代数を成す。
• テンプレート:Math に対し、可換環 テンプレート:Math は零因子を持つ: なんとなれば
  • 二つの自然数が テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math だが テンプレート:Math を満たす;
  • 二つの自然数が テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math だが テンプレート:Math を満たす。

部分環

• テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math は何れも テンプレート:Math の部分環である。
• テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math は テンプレート:Math 上 テンプレート:Math-次元である。
• テンプレート:Math に対し、各虚数単位 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満足するから、テンプレート:Math は複素数平面の テンプレート:Mvar 個のコピーを含む。
• テンプレート:Math および テンプレート:Math に対し、数 テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たすから、テンプレート:Math は テンプレート:Math 個の分解型複素数平面を含む。

系列の最初のほうの代数

小さい テンプレート:Mvar に対してはよく知られた代数も含まれる:

• テンプレート:Math は実数体;
• テンプレート:Math は複素数体;
• テンプレート:Math は双複素数環;
• テンプレート:Math を三重複素数環 (tri­complex numbers) と呼ぶ。以降も同様。

関連項目

参考文献

• テンプレート:It icon テンプレート:Citation
• テンプレート:En icon テンプレート:Citation