セルバーグゼータ函数のソースを表示

{{要改訳}}
'''セルバーグゼータ函数'''(Selberg zeta-function)は、[[アトル・セルバーグ]]{{harvs|txt|authorlink=Atle Selberg|first=Atle |last=Selberg|year=1956}} により導入された。有名な[[リーマンゼータ函数]]
:<math> \zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}} </math>
の類似で、ここに <math> \mathbb{P} </math> は[[素数]]の[[集合]]を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な[[閉測地線]]の長さを使う。<math>\Gamma</math> を SL(2,'''R''') の[[部分群]]とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。
:<math>\zeta_\Gamma(s)=\prod_p(1-N(p)^{-s})^{-1},</math>
あるいは、
:<math>Z_\Gamma(s)=\prod_p\prod^\infty_{n=0}(1-N(p)^{-s-n}),</math>
ここに p は素な[[合同類環|合同類]]全体を渡り、 N(p) は合同類 p の[[ノルム]]で、p のより大きい固有値の二乗である。
<!---The '''Selberg zeta-function''' was introduced by {{harvs|txt|authorlink=Atle Selberg|first=Atle |last=Selberg|year=1956}}. It is analogous to the famous [[Riemann zeta function]] 
:<math> \zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}} </math> 
where <math> \mathbb{P} </math> is the set of prime numbers. The Selberg zeta-function uses the lengths of simple [[closed geodesic]]s instead of the primes numbers.　If <math>\Gamma</math> is a subgroup of SL(2,'''R''') Selberg zeta function is defined as follows,
:<math>\zeta_\Gamma(s)=\prod_p(1-N(p)^{-s})^{-1},</math>
or
:<math>Z_\Gamma(s)=\prod_p\prod^\infty_{n=0}(1-N(p)^{-s-n}),</math>
where p run all over the prime congruent class and N(p) is the norm of congruent class p, which is square of the bigger eigenvalue of p.-->

有限領域を持つ[[双曲多様体|双曲曲面]]に対して、'''セルバーグゼータ函数'''が付帯している。この函数は[[複素平面]]上の[[有理型函数]]である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた[[測地線]]の言葉で定義される。

セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。

ゼロ点は次のような点である。
# 固有値 <math>s_0(1-s_0)</math> を持つ全ての[[カスプ形式]]に対し、点 <math>s_0</math> にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロの[[フーリエ級数|フーリエ展開]]を持つ[[ラプラス作用素|ラプラス・ベルトラミ作用素]]の固有函数である。）
# ゼータ函数は散乱行列 <math> \phi(s) </math> の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。

ゼータ函数は、<math> 1/2 - \mathbb{N} </math> で極をもち、点 <math> - \mathbb{N} </math> で、極、もしくはゼロ点を持つ。

[[伊原のゼータ函数]]は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。
<!---For any [[hyperbolic manifold | hyperbolic surface]] of finite area there is an associated '''Selberg zeta-function'''; this function is a [[meromorphic function]] defined in the [[complex plane]]. The zeta function is defined in terms of the closed [[geodesic]]s of the surface.

The zeros and poles of the Selberg zeta-function, ''Z''(''s''), can be described in terms of spectral data of the surface.

The zeros are at the following points:
# For every cusp form with eigenvalue <math>s_0(1-s_0)</math> there exists a zero at the point <math>s_0</math>. The order of the zero equals the dimension of the corresponding eigenspace. (A cusp form is an eigenfunction to the [[Laplace-Beltrami operator]] which has [[Fourier expansion]] with zero constant term.)
# The zeta-function also has a zero at every pole of the determinant of the scattering matrix, <math> \phi(s) </math>. The order of the zero equals the order of the corresponding pole of the scattering matrix.

The zeta-function also has poles at <math> 1/2 - \mathbb{N} </math>, and can have zeros or poles at the points <math> - \mathbb{N} </math>.

The [[Ihara zeta function]] is considered a p-adic (and a graph-theoretic) analogue of the Selberg zeta function.-->

== モジュラ群のセルバーグゼータ函数 ==
<math> \Gamma </math> を[[モジュラ群]]として、曲面が <math> \Gamma \backslash \mathbb{H}^2 </math> である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接に[[リーマンゼータ函数]]と結びついているからである。

この場合は、[[S行列|散乱行列]]の行列式が次で与えられる。
:<math> \varphi(s) =  \pi^{1/2} \frac{ \Gamma(s-1/2) \zeta(2s-1) }{ \Gamma(s) \zeta(2s) }. </math>

特に、リーマンゼータ函数が <math>s_0</math> でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は <math>s_0/2</math> で極をもつので、セルバーグゼータ函数は <math>s_0/2</math> でゼロ点を持つ。
<!---== Selberg zeta-function for the modular group ==
For the case where the surface is <math> \Gamma \backslash \mathbb{H}^2 </math>, where <math> \Gamma </math> is the [[modular group]], the Selberg zeta-function is of special interest. For this special case the Selberg zeta-function is intimately connected to the [[Riemann zeta function|Riemann zeta-function]].

In this case the determinant of the [[scattering matrix]] is given by:
:<math> \varphi(s) =  \pi^{1/2} \frac{ \Gamma(s-1/2) \zeta(2s-1) }{ \Gamma(s) \zeta(2s) }. </math>

In particular, we see that if the Riemann zeta-function has a zero at <math>s_0</math>, then the determinant of the scattering matrix has a pole at <math>s_0/2</math>, and hence the Selberg zeta-function has a zero at <math>s_0/2</math>.-->

==参考文献==
*{{Citation | last1=Fischer | first1=Jürgen | title=An approach to the Selberg trace formula via the Selberg zeta-function | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-15208-8 | doi=10.1007/BFb0077696 |mr=892317 | year=1987 | volume=1253}}
*{{Citation | last1=Hejhal | first1=Dennis A. | title=The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548 | doi=10.1007/BFb0079608 |mr=0439755 | year=1976 | volume=548}}
*{{Citation | last1=Hejhal | first1=Dennis A. | title=The Selberg trace formula for  PSL(2,R). Vol. 2 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-12323-1 | doi=10.1007/BFb0061302 |mr=711197 | year=1983 | volume=1001}}
* [[Henryk Iwaniec|Iwaniec, H.]] Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
*{{Citation | last1=Selberg | first1=Atle | title=Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series |mr=0088511 | year=1956 | journal=J. Indian Math. Soc. (N.S.) | volume=20 | pages=47–87}}
* Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
* [[Toshikazu Sunada|Sunada, T.]], L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvature and Topology of Riemannian Manifolds", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284. 

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