セルバーグゼータ函数

テンプレート:要改訳 セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグテンプレート:Harvs により導入された。有名なリーマンゼータ函数

$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

の類似で、ここに $\mathbb{P}$ は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。$\mathrm{\Gamma }$ を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。

${\zeta }_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _p(1-N(p{)}^{-s}{)}^{-1},$

あるいは、

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _p\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-N(p{)}^{-s-n}),$

ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。

有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。

セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。

ゼロ点は次のような点である。

1. 固有値 $s_0(1-s_0)$ を持つ全てのカスプ形式に対し、点 $s_0$ にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。）
2. ゼータ函数は散乱行列 $\varphi (s)$ の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。

ゼータ函数は、$1/2-\mathbb{N}$ で極をもち、点 $-\mathbb{N}$ で、極、もしくはゼロ点を持つ。

伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。

モジュラ群のセルバーグゼータ函数

$\mathrm{\Gamma }$ をモジュラ群として、曲面が $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$ である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。

この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。

$\phi (s)={\pi }^{1/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(s-1/2)\zeta (2s-1)}{\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (2s)}.$

特に、リーマンゼータ函数が $s_0$ でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は $s_0/2$ で極をもつので、セルバーグゼータ函数は $s_0/2$ でゼロ点を持つ。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
• テンプレート:Citation
• Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
• Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvature and Topology of Riemannian Manifolds", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.