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'''セントログラフィー'''（{{lang-en|centrography|links=no}}）とは、点データの分布の中心やばらつきを捉えるための分析方法である{{Sfn|伊藤|1997|p=319}}。平均中心や標準距離、標準偏差楕円などの測度があり{{Sfn|杉浦|2003|p=2}}、これらは、[[統計学]]における[[平均]]や[[分散 (統計学)|分散]]などの測度を2次元空間に拡張したものである{{Sfn|伊藤|1997|p=319}}。

[[地理学]]では、{{仮リンク|点パターン分析|en|Point pattern analysis}}や[[認知地図]]の研究などで利用される{{Sfn|浮田ほか|2004|p=162}}。

== 平均中心 ==
'''平均中心'''は、[[記述統計学]]における[[平均]]に対応した測度である{{Sfn|杉浦|2003|p=2}}。

点<math>i</math>（<math>i=1, 2, \cdots, n</math>）の<math>x</math>座標および<math>y</math>座標を<math>x_i</math>, <math>y_i</math>とするとき、平均中心は式({{EquationNote|1}})で表される{{Sfn|杉浦|2003|p=2}}。
{{NumBlk|:|<math>\bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i</math><br><math>\bar{Y}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i</math>|1}}

次に、点に重みがある場合を考える。点<math>i</math>の重みを<math>w_i</math>とするとき、加重平均中心（[[重心]]）は式({{EquationNote|2}})で表される{{Sfn|杉浦|2003|p=2}}。
{{NumBlk|:|<math>\bar{X'}= \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} </math><br><math>\bar{Y'}= \frac{\sum_{i=1}^n w_i y_i}{\sum_{i=1}^n w_i}</math>|2}}

平均中心の具体例として、[[人口重心]]が挙げられる{{Sfn|鈴木|1984|p=550}}。

== 標準距離 ==
'''標準距離'''は、平均中心からの距離の[[標準偏差]]のことである{{Sfn|駒木|2013|p=133}}。[[記述統計学]]における標準偏差に対応した測度で、式({{EquationNote|3}})で表される{{Sfn|杉浦|2003|p=2}}。標準半径と同一である{{Sfn|鈴木|1984|p=566}}。
{{NumBlk|:|<math>SD=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n {(x_i - \bar{X})}^2}{n} +\frac{\sum_{i=1}^n {(y_i - \bar{Y})}^2}{n}}</math>|3}}

点に重みがある場合は、式({{EquationNote|4}})で表される{{Sfn|杉浦|2003|p=2}}。
{{NumBlk|:|<math>SD'=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n w_i {(x_i - \bar{X'})}^2}{\sum_{i=1}^n w_i}+\frac{\sum_{i=1}^n w_i {(y_i - \bar{Y'})}^2}{\sum_{i=1}^n w_i}}</math>|4}}

また、加重平均中心と点<math>i</math>の[[ユークリッド距離]]を<math>d_i</math>とするとき、式({{EquationNote|5}})で表現できる{{Sfn|鈴木|1984|p=551}}。
{{NumBlk|:|<math>SD'=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n {d_i}^2 w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}}</math>|5}}

== 標準偏差楕円 ==
[[File:Standard deviational ellipse.svg|thumb|標準偏差楕円と平均中心（×印）]]
'''標準偏差楕円'''（{{en|standard deviational ellipse}}）は、点分布のばらつきを表現した[[楕円]]のことである{{Sfn|駒木|2013|p=133}}。[[記述統計学]]における[[標準偏差]]に対応した測度であるが、点分布パターンで方向性のばらつきが存在する場合に用いられる{{Sfn|杉浦|2003|pp=2-3}}。点データの平均的な位置、ばらつき、方向と形状を数値化するとともに、楕円として図化もできる{{Sfn|鈴木|1984|pp=565-566}}。

; 点に重みがない場合
点<math>i</math>の位置を、[[座標変換]]により<math>x'</math><math>y'</math>座標系で式({{EquationNote|6}})のように表現する{{Sfn|杉浦|2003|p=3}}。
{{NumBlk|:|<math>{x_i}'=x_i - \bar{X}</math><br><math>{y_i}'=y_i - \bar{Y}</math>|6}}
これにより、平均中心が<math>x'</math><math>y'</math>座標の[[原点 (数学)|原点]]に表示されることになる{{Sfn|杉浦|2003|p=3}}。

次に、標準偏差楕円の[[長軸]]・[[短軸]]がy軸・x軸と重なるように座標回転させ、<math>X</math><math>Y</math>座標系で式({{EquationNote|7}})のように表現する{{Sfn|杉浦|2003|p=3}}。
{{NumBlk|:|<math>X_i={x_i}' \cos \theta + {y_i}' \sin \theta</math><br><math>Y_i={y_i}' \cos \theta - {x_i}' \sin \theta</math>|7}}
<!-- 立項者註: 鈴木(1984)に合わせて弧度法で表現しているためθの正負が異なっています-->
このとき、<math>\theta</math>は回転させた角度である{{Efn|このとき、以下の式が成立する。<br><math>\tan \theta = \frac{\sum_{i=1}^n {({x_i}')^2}-\sum_{i=1}^n {({y_i}')^2}}{2 \sum_{i=1}^n {x_i}' {y_i}'} \pm \frac{\sqrt {\big \{ {\sum_{i=1}^n {({x_i}')^2}-\sum_{i=1}^n {({y_i}')^2} \big \}^2 + 4 {(\sum_{i=1}^n {x_i}' {y_i}')}^2}}}{2 \sum_{i=1}^n {x_i}' {y_i}'}</math>}}{{Sfn|杉浦|2003|pp=3-4}}。

<math>X</math><math>Y</math>座標系におけるx軸・y軸の標準偏差<math>\sigma_x</math>, <math>\sigma_y</math>は式({{EquationNote|8}})で表現できる（<math>\bar{\mu}_x</math>および<math>\bar{\mu}_y</math>は<math>X</math><math>Y</math>座標の平均中心）{{Sfn|杉浦|2003|p=4}}。
{{NumBlk|:|<math>\sigma_x = \sqrt {\frac{\sum_{i=1}^n {(X_i - \bar{\mu}_x)}^2}{n}}</math><br><math>\sigma_y = \sqrt {\frac{\sum_{i=1}^n {(Y_i - \bar{\mu}_y)}^2}{n}}</math>|8}}
ここで、<math>\bar{\mu}_x=0</math>および<math>\bar{\mu}_y=0</math>が成立するため、式({{EquationNote|7}})を代入して、式({{EquationNote|9}})が成立する{{Sfn|杉浦|2003|p=4}}。
{{NumBlk|:|<math>\sigma_x = \sqrt {\frac{\sum_{i=1}^n ({{x_i}' \cos \theta + {y_i}' \sin \theta})^2}{n}}</math><br><math>\sigma_y = \sqrt {\frac{\sum_{i=1}^n ({{y_i}' \cos \theta - {x_i}' \sin \theta})^2}{n}}</math>|9}}

;点に重みがある場合
[[座標変換]]により点<math>i</math>の位置は式({{EquationNote|10}})で表現できる{{Sfn|鈴木|1984|p=551}}。
{{NumBlk|:|<math>{x_i}'=x_i - \bar{X'}</math><br><math>{y_i}'=y_i - \bar{Y'}</math>|10}}

次に、標準偏差楕円の[[長軸]]・[[短軸]]がy軸・x軸と重なるように<math>\theta</math>だけ座標回転させる{{Efn|このとき、以下の式が成立する。<br><math>\tan \theta = \frac{\sum_{i=1}^n {({x_i}')^2 w_i}-\sum_{i=1}^n {({y_i}')^2 w_i}}{2 \sum_{i=1}^n {x_i}' {y_i}' w_i} \pm \frac{\sqrt {\big \{ {\sum_{i=1}^n {({x_i}')^2 w_i}-\sum_{i=1}^n {({y_i}')^2 w_i} \big \}^2 + 4 {(\sum_{i=1}^n {x_i}' {y_i}' w_i)}^2}}}{2 \sum_{i=1}^n {x_i}' {y_i}' w_i}</math>}}{{Sfn|鈴木|1984|p=551}}。

ここでx軸・y軸の標準偏差<math>\sigma_x</math>, <math>\sigma_y</math>について、式({{EquationNote|11}})が成立する{{Sfn|杉浦|2003|p=4}}。
{{NumBlk|:|<math>\sigma_x = \sqrt {\frac{\sum_{i=1}^n ({{x_i}' \cos \theta + {y_i}' \sin \theta})^2 w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}}</math><br><math>\sigma_y = \sqrt {\frac{\sum_{i=1}^n ({{y_i}' \cos \theta - {x_i}' \sin \theta})^2 w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}}</math>|11}}

; 分布形状の表現
分布形状を表現する測度として、'''円形係数'''（{{en|coefficient of circularity}}）があり、式({{EquationNote|12}})で求められる（ただし<math>c</math>は円形係数、<math>a</math>は標準偏差楕円の長軸、<math>b</math>は標準偏差楕円の短軸である）{{Sfn|鈴木|1984|p=551}}。
{{NumBlk|:|<math>c=\frac{b}{a}</math>|12}}
<math>c</math>は<math>0 \le c \le 1</math>をとり、<math>c=0</math>のときは[[線分]]、<math>c=1</math>のときは[[円 (数学)|円]]をなす{{Sfn|鈴木|1984|p=551}}。

また、[[離心率]]を用いて標準偏差楕円の形状を評価することもできる{{Sfn|杉浦|2003|pp=4-5}}。

; 地理学における利用
1971年にRobert S. Yuill<!-- [[:en:Robert Yuill]]とは別人-->により有用性が主張されて{{Efn|Yuill, R. S. 1971. The Standard Deviational Ellipse; An Updated Tool for Spatial Description. ''Geografiska Annaler: Series B, Human Geography'' 53: 28-39. {{DOI|10.1080/04353684.1971.11879353}}}}から、地理学で応用されるようになってきた{{Sfn|鈴木|1984|p=549}}。

また、[[認知地図]]の研究でも用いられ、Nathan Gale{{Efn|Gale, N. 1982. Some Applications of Computer Cartography to the Study of Cognitive Configurations. ''The Professional Geographer'' 34: 313-321. {{DOI|10.1111/j.0033-0124.1982.00313.x}}}}によると、標準偏差楕円を用いることで、認知地図の歪みを構成する2成分である錯誤と系統的歪みを分離することができる{{Sfn|若林|1989|p=345}}。認知地図から得られた標準偏差楕円の重心の位置と実際の位置のずれは系統的歪みであり、被験者全体的な傾向を示すが、標準偏差楕円の大きさは錯誤に由来し被験者により異なるものであり、被験者間での比較に利用できる{{Sfn|若林|1989|p=345}}。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Notelist}}

=== 出典 ===
{{Reflist|3}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=伊藤悟<!--既存独立記事とは別人-->|year=1997|chapter=点分布パターン分析|page=319|editors=[[山本正三]]・[[奥野隆史]]・石井英也・手塚章|title=人文地理学辞典|publisher=朝倉書店|ref={{SfnRef|伊藤|1997}}}}
* {{Cite book|和書|editor=浮田典良|editor-link=浮田典良|year=2004|title=最新地理学用語辞典|edition=改訂版|publisher=原書房|isbn=4-562-09054-5|ref={{SfnRef|浮田ほか|2004}}}}
* {{Cite book|和書|author=駒木伸比古|chapter=集積を把握する|pages=131-141|year=2013|editors=[[村山祐司]]・駒木伸比古|title=新版 地域分析|publisher=古今書院|isbn=978-4-7722-5272-0|ref={{SfnRef|駒木|2013}}}}
* {{Cite book|和書|author=杉浦芳夫|author-link=杉浦芳夫|year=2003|chapter=点分布パターン分析|pages=1-23|editor=杉浦芳夫|title=地理空間分析|series=シリーズ人文地理学|publisher=朝倉書店|isbn=4-254-16713-X|ref={{SfnRef|杉浦|2003}}}}
* {{Cite journal|和書|author=鈴木厚志|year=1984|title=セントログラフィック法による都市機能の空間的形状分析―水戸市を事例として|journal=地理学評論|volume=57|issue=8|pages=549-570|doi=10.4157/grj1984a.57.8_549|ref={{SfnRef|鈴木|1984}}}}
* {{Cite journal|和書|author=若林芳樹|author-link=若林芳樹 (地理学者)|year=1989|title=認知地図の歪みに関する計量的分析|journal=地理学評論|volume=62|issue=5|pages=339-358|doi=10.4157/grj1984a.62.5_339|ref={{SfnRef|若林|1989}}}}
{{DEFAULTSORT:せんとろくらふいい}}
[[Category:空間分析]]