ゼータ函数 (作用素)のソースを表示

[[作用素 (関数解析学)|作用素]] <math>\mathcal{O}</math> の'''[[ゼータ函数]]'''は、以下のように定義される関数である。
:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \operatorname{tr} \mathcal O^{-s}</math>
の右辺が存在するような ''s'' に対してはこの式で、他の ''s'' の値に対してはこの函数の[[解析接続]]として定義される。ここに tr は函数の[[跡 (線型代数学)|トレース]]を表す。

ゼータ函数は、次の式で作用素 <math>\mathcal O</math> の[[固有値]] <math>\lambda_i</math> によって'''スペクトルのゼータ函数'''(spectral zeta function)<ref>Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23</ref> としても表現できる。

:<math> \zeta_{\mathcal O}(s) = \sum_{\lambda_i} \lambda_i^{-s}\ .</math>

これは[[汎函数行列式]]を厳密に定義することに使われる。それは

:<math> \det \mathcal O := e^{-\zeta'_{\mathcal O}(0)} \;</math>
で与えられる。

[[ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数]]は、作用素がコンパクト[[リーマン多様体]]の[[ラプラシアン]]の場合の例である。

また、この考え方は、[[ゼータ函数正規化]]や[[解析的トーション]]に適用される。

さらに、代数幾何学的に一般化された[[熱核|熱核の方法]]とともに、作用素のゼータ函数は、{{仮リンク|アラケロフ理論|en|Arakelov theory}}の最も重要な動機の一つになっている。<ref>{{citation | last=Soulé | first= C. | title=Lectures on Arakelov geometry | series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume= 33 | publisher=Cambridge University Press | place=Cambridge | year= 1992 | pages= viii+177 | isbn= 0-521-41669-8
|mr=1208731 | author2= with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer}}</ref>

==参考文献==
{{reflist}}
* {{citation | last1=Lapidus | first1=Michel L. | last2=van Frankenhuijsen | first2=Machiel | title=Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings | series=Springer Monographs in Mathematics | location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=0-387-33285-5 | zbl=1119.28005 }}
* {{citation |title=Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory |series=Theoretical and Mathematical Physics |first1=Dmitri |last1=Fursaev |first2=Dmitri |last2=Vassilevich |publisher=[[Springer-Verlag]]  |year=2011 | isbn=94-007-0204-3 | page=98 }}

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