ゼータ函数 (作用素)

作用素 $𝒪$ のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。

${\zeta }_{𝒪}(s)=\mathrm{tr}{𝒪}^{-s}$

の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。

ゼータ函数は、次の式で作用素 $𝒪$ の固有値 ${\lambda }_i$ によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function) としても表現できる。

${\zeta }_{𝒪}(s)=\sum _{{\lambda }_i}{\lambda }_i^{-s}.$

これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは

$\det 𝒪:=e^{-\zeta {\text{'}}_{𝒪}(0)}$

で与えられる。

ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。

また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。

さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、テンプレート:仮リンクの最も重要な動機の一つになっている。

参考文献

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