ソディ円のソースを表示

[[ファイル:Outer_soddy_center_as_equal_detour_point.png|サムネイル|外（第一）ソディ円が正の曲率を持つとき、2つのソディ点はequal dotour pointsとも呼ばれる。]]
[[幾何学]]において、三角形の'''ソディ円'''（ソディえん、[[英語|英]]:''Soddy circles of a triangle''）は、三角形に対して一意に存在する円の一つである。ソディ円の中心は'''ソディ点'''（Soddy centers）と呼ばれる。[[フレデリック・ソディ]]が[[デカルトの円定理|デカルトの定理]]を再発見したことに由来して名づけられた。

任意の三角形の3頂点について、頂点を中心とし、他の頂点を中心とする2円と接する円が存在する。さらにこの3つの円に接する円が最大2つ存在する。この2円をソディ円と呼ぶ。またソディ円の中心をソディ点と言う。2つのソディ点を通る直線は[[ソディ線]]と呼ばれ、ソディ線上には多くの[[三角形の中心]]が存在する。

== 定義 ==
<math>A, B, C</math>を三角形の頂点、<math>a, b, c</math> をその対辺の長さ、<math>s</math> を[[半周長]]とする。 <math>A, B, C</math> を中心としそれぞれ半径を <math>s-a, s-b, s-c</math> とする円は他の2円に接する。このとき[[デカルトの円定理|デカルトの定理]]より、3つの円に接する円が2つ存在し、それをソディ円という。

== 関連する性質 ==
3つの円と三角形の辺の交点は[[ジェルゴンヌ点|ジェルゴンヌ三角形]]を成す。つまり[[内接円]]と辺の接点と等しい。  2つのソディ円は内接円の外側と内側にある。ソディ点は三角形の頂点の2つを焦点とし、3つ目の頂点を通る[[双曲線]]3つの交点である<ref name=":0">{{Cite book |title=Association française pour l'avancement des sciences : conférences de Paris. 19, Compte-rendu de la 19e session. Seconde partie. Notes et mémoires |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201173h |date=1890-1891 |language=FR |first=Association française pour l'avancement des sciences Congrès (019 ; 1890 ; Limoges) Auteur du |last=texte}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Veldkamp|first=G. R.|date=1985-10|title=The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1985.11971677|journal=The American Mathematical Monthly|volume=92|issue=8|pages=546–558|language=en|doi=10.1080/00029890.1985.11971677|issn=0002-9890}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/2112.15232 |title=Triads of conics associated with a triangle |access-date=2024/4/9 |author=Garcia, Ronaldo; Reznik, Dan; Moses, Peter; Gheorghe, Liliana}}</ref>。

内側のソディ円の中心{{仮リンク|第二ソディ点|en|Equal detour point|label=第二ソディ点}}（Inner Soddy point）はequal detour point（等周点）ともよばれ、3頂点について、他の2頂点と第二ソディ点の距離の和が、対辺でない2辺の長さの和より大きい<ref name=":1">{{Cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/225560690_The_isoperimetric_point_and_the_points_of_equal_detour_in_a_triangle |title=The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle |access-date=2024/4/9 |author=Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter}}</ref>。 デカルトの定理によれば第二（内）ソディ円（Inner Soddy circle）の曲率は <math display="inline">(4R + r + 2s) / \Delta</math>である（<math>\Delta</math>は三角形の面積、<math>R</math> は[[外接円]]の半径、<math>r</math> は内接円の半径）<ref name=":2">{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201301.pdf |title=Soddyian Triangles |access-date=2024/4/9 |author=Frank M. Jackson}}</ref>。第一（外）ソディ円（Outer Soddy circle）の曲率は <math display="inline">(4R + r - 2s) / \Delta</math>で、この曲率が正ならば、{{仮リンク|第一ソディ点|en|Isoperimetric point}}（Outer Soddypoint）はもう一方のequal detour pointになる 。

第一ソディ円の曲率が負の場合、第一ソディ点はisoperimetric poin（等迂回点）とよばれ、 第一ソディ点と、2点の頂点が成す3つの三角形の周長は等しい<ref name=":1" />。第一ソディ円の曲率が0である場合、つまり<math display="inline">4R + r = 2s</math>または第二ソディ円の半径が<math display="inline">4/r</math>であるとき、第一ソディ円は退化して[[直線]]となり、元の三角形は"Soddyian triangles"と呼ばれる<ref name=":2" />。

== 3つの円 ==
[[ファイル:Excentric_soddy_circles.png|サムネイル|もう一組のソディ円は、中心を{{Math|''A'', ''B'', ''C''}}、半径を{{Math|''−s'', ''s''&thinsp;−&thinsp;''c'', ''s''&thinsp;−&thinsp;''b''}} とする円に接する。]]
A,B,Cを中心とし3円の半径を<math>(-s, s-c, s-b)</math>とする円は互いに接する<ref name=":3">{{Cite journal|last=Vandeghen|first=A.|date=1964|title=Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle|url=https://www.jstor.org/stable/2311750|journal=The American Mathematical Monthly|volume=71|issue=2|pages=176–179|doi=10.2307/2311750|issn=0002-9890}}</ref>。 ただし、負の半径は円が内部で接することを表す。 3円の接点は、辺かその延長線上にあり、うち2つは、角A内の傍接円とAB,ACの交点と一致する。また、この3円に関してもソディ円、ソディ点が定義できる。上記の双曲線に関する性質は、1つが双曲線、他2つが[[楕円]]に置き換わる<ref name=":0" />。

B,C,AとC,A,Bについても、半径を<math>(s-b, s-a, -s),</math><math>(s-c, -s, s-a)</math>とすれば同様の性質を得る。

== ソディ線 ==
{{Main|ソディ線}}
[[ファイル:Four_pairs_of_soddy_circles,_four_soddy_lines,_and_the_de_longchamps_point.png|サムネイル|4つのソディ線は元の三角形のド・ロンシャン点で交わる。]]
2つのソディ点を通る直線を[[ソディ線]]と言う。 ソディ線は、2つのソディ円の相似中心である内心と[[ジェルゴンヌ点]]、そして[[ド・ロンシャン点]]などを通る<ref name=":3" /><ref name=":4">{{Cite web |title=Wayback Machine |url=https://web.archive.org/web/20170811160941/https://www.ajuronline.org/uploads/Volume%203/Issue%201/31D-GischArt.pdf |website=web.archive.org |access-date=2024-04-09}}</ref>。

元の三角形のソディ円のほかに、「3つの円」の項で見たような、他3組の円の3つのソディ線はそれぞれがいずれかの傍心を通り、またド・ロンシャン点で交わる<ref name=":3" /><ref name=":4" /><ref>{{Cite journal|last=Longuet-Higgins|first=Michael|date=2000-12-01|title=A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle|url=https://doi.org/10.1007/BF03024448|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=22|issue=1|pages=54–59|language=en|doi=10.1007/BF03024448|issn=0343-6993}}</ref>。

== 他の図形との関連 ==
第一ソディ円と、A,B,Cを中心とするソディ円と他2円に接する3つの円の、接点の成す三角形を第一（外）'''ソディ三角形'''（Outer Soddy triangle）と言う。第二ソディ円に同様にして定義したものを第二（内）ソディ三角形と言う。

=== エプシュタイン点 ===
第一ソディ三角形とジェルゴンヌ三角形は[[配景]]的でその配景の中心を'''第一エプシュタイン点'''（First Eppstein point）という<ref>{{Cite journal|last=Eppstein|first=David|date=2001-01|title=Tangent Spheres and Triangle Centers|url=http://arxiv.org/abs/math/9909152|journal=The American Mathematical Monthly|volume=108|issue=1|pages=63–66|doi=10.2307/2695679|issn=0002-9890}}</ref><ref>{{Cite web |title=FG200508index |url=https://web.archive.org/web/20240409091837/https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200523index.html |website=web.archive.org |date=2024-04-09 |access-date=2024-07-11}}</ref><ref>{{Cite web |title=First Eppstein Point |url=https://mathworld.wolfram.com/FirstEppsteinPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-09 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref name=":5">{{Cite journal|last=Oldknow|first=Adrian|date=1996|title=The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle|url=https://ia600704.us.archive.org/view_archive.php?archive=/24/items/wikipedia-scholarly-sources-corpus/10.2307%252F291187.zip&file=10.2307%252F2975188.pdf|journal=The American Mathematical Monthly|volume=103|issue=4|pages=319–329|doi=10.2307/2975188|issn=0002-9890}}</ref>。[[エプシュタイン|Eppstein]]は'''エップシュタイン'''、'''エープシュタイン'''などとも書かれる。名は{{仮リンク|デイビッド・エプシュタイン|en|David Eppstein}}に由来する。

[[クラーク・キンバリング]]の「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」ではX(481)として登録されており[[三線座標]]は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(481) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X481 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-09}}</ref>。

<math>1-2\sec\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}:1-2\sec\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}:1-2\sec\frac{C}{2} \cos\frac{A}{2}\cos\frac{ B}{2}</math>

第二ソディ円にも同様にして定義したものを、第二エプシュタイン点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(482)として登録されており三線座標は以下の式で与えられる。

<math>1+2\sec\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}:1+2\sec\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}:1+2\sec\frac{C}{2} \cos\frac{A}{2}\cos\frac{ B}{2}</math>

エップシュタイン点はソディ線上にある<ref>{{Cite journal|last=Eppstein|first=David|date=2001|title=Tangent Spheres and Triangle Centers|url=https://www.jstor.org/stable/2695679|journal=The American Mathematical Monthly|volume=108|issue=1|pages=63–66|doi=10.2307/2695679|issn=0002-9890}}</ref>。

=== リグビー点 ===
第二ソディ三角形とその[[外接三角形|接線三角形]]の配景の中心、つまり第ニソディ三角形の[[類似重心]]を第一（内）'''リグビー点'''（1st Rigby point,Inner Rigby point）と言う<ref>{{Cite web |title=Rigby Points |url=https://mathworld.wolfram.com/RigbyPoints.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-09 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry - Ross Honsberger |url=http://archive.org/details/episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger |publisher= |pages=132-136}}</ref>。名は[[ジョン・リグビー (数学者)|ジョン・リグビー]]に由来する。第一リグビー点X(1371)の三線座標は、Sを三角形の面積として、以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 X(1371) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html#X1371 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-15}}</ref>。

<math>1+\frac{8S}{3a(b+c-a)}:1+\frac{8S }{3b(c+a-b)}:1+\frac{8S}{3c(a+b-c)}</math>

第一ソディ三角形についても第二（外）リグビー点が同様に定義される。第ニリグビー点X(1372)の三線座標は、以下の式で与えられる。

<math>1-\frac{8S}{3a(b+c-a)}:1-\frac{8S }{3b(c+a-b)}:1-\frac{8S}{3c(a+b-c)}</math>

リグビー点はソディ線上にある。

=== グリフィス点 ===
第一ソディ三角形の接線三角形と第二ソディ三角形の配景の中心を第一（外）'''グリフィス点'''（1st Griffiths point,Outer Griffiths point）と言う。同様に第二ソディ三角形の接線三角形と第一ソディ点の配景の中心を第二（内）グリフィス点と言う<ref>{{Cite web |title=Griffiths Points |url=https://mathworld.wolfram.com/GriffithsPoints.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-09 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Tabov|first=Jordan|date=1995|title=Four Collinear Griffiths Points|url=https://www.jstor.org/stable/2691382|journal=Mathematics Magazine|volume=68|issue=1|pages=61–64|doi=10.2307/2691382|issn=0025-570X}}</ref>。名は[[ヒューバート・ブライアン・グリフィス]]に由来する<ref name=":5" />。それぞれX(1373),X(1374)で三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html#X1373 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-07-11}}</ref>。

<math>X_{1373}=(1+\frac{8S}{a(b+c-a)}:1+\frac{8S}{b(c+a-b)}:1+\frac{8S}{c(a+b-c)})</math>

<math>X_{1374}=(1-\frac{8S}{a(b+c-a)}:1-\frac{8S}{b(c+a-b)}:1-\frac{8S}{c(a+b-c)})</math>

グリフィス点はソディ線上にある。

== 出典 ==
<references />

== 外部リンク ==
* {{Citation|title=Soddy circles and David Eppstein's centers|last=Bogomolny|first=Alexander|author-link=Alexander Bogomolny|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Eppstein.shtml|journal=[[Cut-the-knot]]}}

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