ソディ線のソースを表示

[[ファイル:Soddy_line3.svg|サムネイル|500px|ソディ線<math>s</math>、 外(第一)ソディ点<math>S_o</math>、内(第二)ソディ点<math>S_i</math>, ジェルゴンヌ点<math>G</math>、内心 <math>I</math>,内(第二)ソディ円<math>s_i</math>、外(第一)ソディ点<math>s_o</math>, フレッチャー点<math>F </math>、ド・ロンシャン点 <math>L </math>、オイラー線 <math>e </math>、ジェルゴンヌ線 <math>g </math>]]
'''ソディ線'''（そでぃせん、[[英語|英]]:Soddy line）とは、二つの[[ソディ円]]の中心を結ぶ直線である。[[フレデリック・ソディ]]が1936年に[[ネイチャー]]で、ソディ円のような2円に接する円における[[デカルトの円定理|デカルトの定理]]の特別な場合の証明として発表した。

== 性質 ==
ソディ線は、[[オイラー線]]とは[[ド・ロンシャン点]]で交わり、[[三角形の内接円と傍接円#ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形|ジェルゴンヌ線]]とは'''フレッチャー点'''（Fletcher point）で交わる。また、ソディ線とジェルゴンヌ線は[[直交]]する。フレッチャー点の[[三線座標]]は以下の式で与えられる。

<math>  f(A,B,C) : f(B,C,A) : f(C,A,B)</math>

ただし

<math display="block"> f(A,B,C)=(\sec^2\frac{A}{2})(2 \cos^2\frac{A}{2} - \cos^2\frac{B}{2} - \cos^2\frac{C}{2})</math>

ソディ線、オイラー線、ジェルゴンヌ線から成る三角形は'''オイラー・ジェルゴンヌ・ソディ三角形'''（Euler-Gergonne-Soddy triangle）と言う<ref>{{Cite journal|last=Oldknow|first=Adrian|date=1996|title=The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle|url=https://www.jstor.org/stable/2975188|journal=The American Mathematical Monthly|volume=103|issue=4|pages=319–329|doi=10.2307/2975188|issn=0002-9890}}</ref>。特にオイラー線とジェルゴンヌ線の交点は[[エヴァンズ点]]（Evans point）と呼ばれ<ref>{{Cite web |title=Evans Point |url=https://mathworld.wolfram.com/EvansPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-05 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>、オイラー・ジェルゴンヌ・ソディ三角形はド・ロンシャン点、フレッチャー点、エヴァンズ点から成る<ref>{{Cite web |title=Euler-Gergonne-Soddy Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/Euler-Gergonne-SoddyTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-05 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

ソディ線は以下の点を通る。

* [[内心]]X<sub>1</sub>
* [[ジェルゴンヌ点]]X<sub>7</sub>
* ド・ロンシャン点X<sub>20</sub>
* [[第一ソディ点|ソディ点]]X<sub>175</sub>,X<sub>176</sub>
* [[ソディ円#エプシュタイン点|エプシュタイン点]]X<sub>481</sub>,X<sub>482</sub>
* [[ロンゲ・ヒギンズ点]]X<sub>962</sub>
* フレッチャー点X<sub>1323</sub>
* [[ソディ円#リグビー点|リグビー点]]X<sub>1371</sub>,X<sub>1372</sub>
* [[ソディ円#グリフィス点|グリフィス点]]X<sub>1373</sub>,X<sub>1374</sub>

== Central line ==
ソディ線はX(657)の[[中心線 (幾何学)|Central line]]であり、三線座標{{Math|''α'': ''β'': ''γ''}}を用いて以下の式で表される。

<math>\frac{\gamma-\beta}{(-a+b+c)a}+\frac{\alpha-\gamma}{(a-b+c)b}+\frac{\beta-\alpha}{(a+b-c)c}=0</math>

== GEOS円 ==
[[ファイル:GEOS circle overview.svg|サムネイル|225x225ピクセル|GEOS円(全体)]]
[[ファイル:GEOS circle.svg|サムネイル|233x233ピクセル|GEOS円]]
ソディ線とオイラー線の交点であるド・ロンシャン点、オイラー線と[[中心線 (幾何学)#外心の中心線:垂軸|垂軸]]の交点であるX(468)、垂軸とジェルゴンヌ線の交点であるX(650)、ジェルゴンヌ線とソディ線の交点であるフレッチャー点は[[共円]]である<ref name=":0">{{Cite web |title=GEOS Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/GEOSCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-05 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。この円を{{仮リンク|GEOS円|en|GEOS circle}}と言う。名称は4線の頭文字をとったものである。GEOS円とオイラー・ジェルゴンヌ・ソディ三角形の外接円（オイラー・ジェルゴンヌ・ソディ円）の[[根軸]]はソディ線である。

垂軸とオイラー線は直交することから、GEOS円の中心X(8142)は、X(650)とド・ロンシャン点の中点にあたり、その三線座標は[[コンウェイの記法 (幾何学)|コンウェイの記法]]を用いて以下の式で与えられる<ref name=":0" /><ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part5 X(8142) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart5.html#X8142 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-05}}</ref>。

<math display="block">\frac{a^2S_{A}-S_{B}S_{C}}{S^2}-\frac{as_{a}}{(a-b)(a-c)}:\frac{b^2S_{B}-S_{C}S_{A}}{S^2}-\frac{bs_{b}}{(b-c)(b-a)}:\frac{c^2S_{C}-S_{A}S_{B}}{S^2}-\frac{cs_{c}}{(c-a)(c-b)}</math>

ここで{{Mvar|s<sub>a</sub>,s<sub>b</sub>,s<sub>c</sub>}}はそれぞれ[[半周長]]を{{Mvar|s}}として{{Mvar|s-a,s-b,s-c}}である。これらのことから、ド・ロンシャン点、エヴァンズ点、X(650)、ソディ線と垂軸の交点X(3012)は{{仮リンク|垂心系|en|Orthocentric system}}を成す。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==

* Zuming Feng: ''Why Are the Gergonne and Soddy Lines Perpendicular? A Synthetic Approach''. In: ''Mathematics Magazin'', Band 81, Nr. 3, Juni 2008, S. 211-214 ([https://www.jstor.org/stable/27643109 JSTOR])
* {{仮リンク|ロジャー・チャールズ・アルペリン|en|Roger C. Alperin}}: ''The Gergonne and Soddy lines''.  In: ''Elemente der Mathematik'',. Band 70, Nr. 1, 2015, S. 1-6 ([https://www.researchgate.net/publication/273166144_The_Gergonne_and_Soddy_lines online])

== 外部リンク ==
{{Commonscat}}

* {{MathWorld|title=Soddy line|urlname=SoddyLine}}
{{デフォルトソート:そていせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]