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'''ゾンマーフェルト展開'''（ゾンマーフェルトてんかい、{{lang-en-short|Sommerfeld expansion}}）は、[[アルノルト・ゾンマーフェルト]]により開発された、[[物性物理学]]および{{ill2|統計物理学|en|Statistical_physics}}において頻出する特定の種類の[[積分法|積分]]を近似する手法である。これらの積分は物理的には、[[フェルミ分布関数|フェルミ・ディラック分布]]を用いた統計平均を表わしている。

[[逆温度]] <math>\beta</math> が大きいとき、これらの積分は <math>\beta</math> について以下のように展開できる<ref>{{Harvnb|Ashcroft & Mermin|1976|p=760}}.</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/fabian/pages/mainframes/teaching/teaching_files/files%20of%20mf_statistical_physics/Sommerfeld.pdf|title=Sommerfeld's expansion|accessdate=2016-02-08|publisher=Universitaet Regensburg}}</ref> 
: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2H^\prime(\mu) + O \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4</math>
ここで、<math>H^\prime(\mu)</math> は <math>H(\varepsilon)</math> の[[導関数]]の <math>\varepsilon = \mu</math> における値を表わし、 <math>O(x^n)</math> は <math>x^n</math>のオーダーの極限挙動を表わす。この展開は <math>H(\varepsilon)</math> が <math>\varepsilon \rightarrow  -\infty</math> において 0 に収束し、かつ <math>\varepsilon \rightarrow \infty</math> において ''ε'' の多項式よりも早く発散しないときにのみ有効である。この積分が 0 から無限の場合、この展開の第一項の積分は 0 から無限となり、第二項の積分は不変である。

== 自由電子モデルへの応用 ==
この種類の積分は、[[自由電子]]模型における固体の{{ill2|電子熱容量|en|Electron_heat_capacity}}など、[[電子]]の物性を算出する際に頻出する。これらの計算において、上述の展開は物理量 <math>H(\varepsilon)</math> の期待値を表わす。このとき、 <math>\beta</math> は[[逆温度]]、<math>\mu</math> は[[化学ポテンシャル]]に相当する。したがって、ゾンマーフェルト展開は逆温度 <math>\beta</math> の高い（[[温度]]の低い）系に有効である。

== 温度について二次の項までの導出 ==
温度について二次の項まで展開式を求めたい。ここで、 <math>\beta^{-1}=\tau=k_BT</math> を温度と[[ボルツマン定数]]の積とする。まず、変数変換 <math>\tau x=\varepsilon -\mu</math> により次を得る。
: <math>I=\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \tau\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x \,,</math>
積分範囲をわけて <math>I=I_1+I_2</math> とし、 <math>I_1</math> <math>x\rightarrow-x</math> を施すと次を得る。
: <math>I= \underbrace{\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_1} + 
                \underbrace{\tau\int_{0}^\infty \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x}_{I_2}\,.</math>

: <math>I_1=\tau\int_{-\infty}^0 \frac{H(\mu+\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x
=\tau\int_0^\infty \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{-x} + 1}\,\mathrm{d}x\, </math>
次に、<math>I_1</math>
: <math>\frac{1}{e^{-x}+1} = 1-\frac{1}{e^x+1}\,,</math>
すると、次を得る。
: <math>I_1=\tau\int_{0}^\infty H(\mu-\tau x)\,\mathrm{d}x
-\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\, </math>
変数変換 <math>-\tau \mathrm{d}x =  \mathrm{d}\varepsilon</math> により <math>I_1</math> の第一項を元の変数に戻し、<math>I=I_1+I_2</math> により次を得る。
: <math>I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+\tau\int_0^{\infty} \frac{H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x)}{e^{x} + 1}\,\mathrm{d}x\, </math>
第二項の分子は、<math>\tau</math> が十分に小さく <math>H(\varepsilon)</math> が十分に滑らかなとき一次導関数を用いて次のように近似することができる。
: <math>\Delta H= H(\mu+\tau x)-H(\mu-\tau x) \approx 2\tau x H'(\mu)+\cdots \, ,</math>
これを代入し、次を得る。
: <math>I=\int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon
+2\tau^2 H'(\mu)\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}\,</math>
この定積分の値は次のように得られることが知られている<ref>{{Cite web|url=http://www.sosmath.com/tables/integral/integ38/integ38.html|title=Definite integrals containing exponential functions|accessdate=2016-02-08|publisher=SOS Math}}</ref>。
: <math>\int_0^{\infty} \frac{x\mathrm{d}x}{e^{x} + 1}=\frac{\pi^2}{12}</math>.
したがって、最終的に次を得る。

== 母関数 ==
フェルミ分布のモーメント母関数は以下のような形である。
: <math>
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\epsilon}{2\pi} e^{\tau\epsilon/2\pi} \left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}= \frac 1{\tau}\left\{ \frac{(\frac{\tau T}{2})}{\sin(\frac{\tau T}{2})} e^{\tau\mu/2\pi}-1\right\}, \quad 0<\tau T/2\pi< 1.
</math> 
ここで、 <math>k_{\rm B} T= \beta^{-1}</math> であり、[[ヘヴィサイドの階段関数]] <math>-\theta(-\epsilon)</math> は発散的な絶対零度分布を引き去っている。これを <math>\tau</math> のべき乗で展開した結果の一部を以下に示す<ref name="loga">{{Cite journal|last=R. Loganayagam, P. Surówka|author=R. Loganayagam, P. Surówka|year=2012|title=Anomaly/Transport in an Ideal Weyl gas|journal=JHEP.|volume=04|page=2012:97|arxiv=1201.2812|bibcode=2012JHEP...04..097L|doi=10.1007/JHEP04(2012)097}}</ref>。
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\left(\frac{\mu}{2\pi}\right),
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2+\frac{T^2}{4!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{2!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^2\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)\frac{T^2}{4!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac1{3!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^3\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4+\frac{1}{2!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2\frac{T^2}{4!}+\frac 78\frac{T^4}{6!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{4!} \left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^4\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\} =\frac{1}{5!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^5+\frac{1}{3!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^3\frac{T^2}{4!}+\left(\frac{\mu}{2\pi}\right) \frac 78\frac{T^4}{6!},
</math>
: <math>
\int_{-\infty}^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\frac 1{5!}\left(\frac{\epsilon}{2\pi}\right)^5\left\{ \frac{1}{1+e^{\beta(\epsilon-\mu)}}-\theta(-\epsilon)\right\}=\frac{1}{6!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^6+\frac{1}{4!}\left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^4\frac{T^2}{4!}+\frac{1}{2!} \left(\frac{\mu}{2\pi}\right)^2 \frac 78\frac{T^4}{6!}+ \frac{31}{24} \frac{T^6}{8!}.
</math>
[[ボース分布関数]]の偶数次モーメントの母関数は、以下の形である。
:<math>
\int_0^\infty \frac{d\epsilon}{2\pi}\sinh(\epsilon \tau/\pi)  \frac {1}{e^{\beta\epsilon}-1}
= \frac 1{4\tau}\left\{1- \frac{\tau T}{\tan \tau T}\right\}, \quad 0< \tau T<\pi 
</math>

== 脚注 ==
<references />

== 参照文献 ==
* {{Cite journal|last=Sommerfeld|first=A.|year=1928|title=Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik|journal=Zeitschrift für Physik|volume=47|pages=1–3|bibcode=1928ZPhy...47....1S|doi=10.1007/BF01391052}}
* {{Cite journal|last=Ashcroft|first=Neil W.|date=1976|title=Solid State Physics|page=760|publisher=Thomson Learning|ref=harv|isbn=978-0-03-083993-1}}

{{デフォルトソート:そんまあふえるとてんかい}}
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