タッカー円のソースを表示

[[ファイル:Tucker2.gif|サムネイル|パラメタtにおけるタッカー円（茶）、外接円（紫）、第一ルモワーヌ円（緑）、第二ルモワーヌ円（赤）第三ルモワーヌ円（橙）、六点円（青）]]
'''タッカー円'''（タッカーえん、{{Lang-en-short|Tucker circles}}）'''<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]] |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1063410 |page=118}}</ref>'''<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第1卷 平面之部 |year=1919 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂出版部]] |author=[[ウジェーヌ・ルーシェ|るーしぇ]], [[チャールズ・ド・コンブルース|こんぶるーす]] |doi=10.11501/1082035 |translator=[[小倉金之助]]}}</ref>は、[[幾何学]]において、[[ロバート・タッカー (数学者)|ロバート・タッカー]]の名を冠する{{仮リンク|三角形の円|de|Kreise am Dreieck}}の集合である。集合であることを明示する場合、'''タッカー円の群'''または'''タッカー属'''とも言われる<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1929 |publisher=[[積善館]] |doi=10.11501/1171033 |author=[[森本清吾]] |page=71}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |pages= |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |doi=10.11501/828521 |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |page=235}}</ref><ref name=":3">{{Cite book|和書 |title=幾何学辞典 : 問題解法 続 |year=1912 |publisher=長沢亀之助 |page=556 |author=[[長沢亀之助]] |doi=10.11501/952919}}</ref>。タッカー円の特殊な場合として、[[外接円]]、 {{仮リンク|第一ルモワーヌ円|de|Erster Lemoinescher Kreis}}、{{仮リンク|第二ルモワーヌ円|de|Zweiter Lemoinescher Kreis}}、{{仮リンク|第三ルモワーヌ円|de|Dritter Lemoinescher Kreis}}、[[テイラー円]]などがある。

== 定義 ==
[[ファイル:Tucker2.svg|サムネイル|辺の平行線、逆平行線からなるタッカー六角形とその外接円タッカー円（赤）。]]
[[三角形]]の辺またはその延長上のある点から、他の辺の[[平行線]]か[[逆平行線]]を引く。その[[直線]]と3つめの辺（またはその延長）から、次の辺の、平行線と逆平行線のうち、先とは異なる方の直線を引き、別の辺との交点を取る。この操作を延べ6回繰り返して得た点は最初に決めた点と一致する。また、6回の操作の中で得た6点は[[共円]]である（タッカーの定理<ref name=":3" />）。 

具体的に書けば、{{Math|△''ABC''}}について、直線{{Mvar|AB}}上の点{{Mvar|Q{{sub|c}}}}を取り、{{Mvar|Q{{sub|c}}}}を通る{{Mvar|AC}}の平行線（逆平行線）と{{Mvar|BC}}の交点を{{Mvar|P{{sub|a}}}}、{{Mvar|P{{sub|a}}}}を通る{{Mvar|AB}}の逆平行線（平行線）と{{Mvar|AC}}の交点を{{Mvar|Q{{sub|b}}}}、{{Mvar|Q{{sub|b}}}}を通る{{Mvar|BC}}の平行線（逆平行線）と{{Mvar|AB}}の交点を{{Mvar|P{{sub|c}}}}、{{Mvar|P{{sub|a}}}}を通る{{Mvar|AC}}の逆平行線（平行線）と{{Mvar|BC}}の交点を{{Mvar|Q{{sub|a}}}}、{{Mvar|Q{{sub|a}}}}を通る{{Mvar|AB}}の平行線（逆平行線）を{{Mvar|P{{sub|b}}}}とすると、{{Mvar|P{{sub|b}}}}を通る{{Mvar|BC}}の逆平行線（平行線）と{{Mvar|AB}}は{{Mvar|Q{{sub|c}}}}で交わり、さらに六点{{Mvar|Q{{sub|c}}, P{{sub|a}}, Q{{sub|b}}, P{{sub|c}}, Q{{sub|a}}, P{{sub|b}}}}は[[同一円周上にある]]。

この円をタッカー円といい、文中の平行線と逆平行線を辺とする六角形をタッカー六角形（Tucker hexagon）という<ref>[[ロジャー・アーサー・ジョンソン|Roger A. Johnson]]: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel  ''Modern Geometry'')</ref><ref name=":1">[[Ross Honsberger]]: ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry''. MAA, 1995, S. 87–98 ([[iarchive:episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/86/mode/2up|Digitalisat]])</ref>。タッカー六角形は[[ルモワーヌ六角形]]の一般化である。

== 性質と関係 ==
[[ファイル:Tucker4.svg|サムネイル|タッカー円とタッカー六角形（茶）]]
[[ファイル:Brocard_ellipse_enveloppe.svg|サムネイル|直線<math>KO</math>（ブロカール軸）上に中心を持つタッカー円の包絡線はブロカール内接楕円（赤）。]]
以下では、基準三角形{{Math|△''ABC''}}の[[類似重心]]を{{Mvar|K}}、[[外心]]を{{Mvar|O}}、 タッカー六角形を{{Mvar|Q{{sub|c}}P{{sub|a}}Q{{sub|b}}P{{sub|c}}Q{{sub|a}}P{{sub|b}}}}とする。ただし{{Mvar|Q{{sub|c}}P{{sub|a}}, Q{{sub|b}}P{{sub|c}},  Q{{sub|a}}P{{sub|b}}}}が各辺と逆平行である。また、{{Mvar|T}}をタッカー円の中心、{{Mvar|L}}を{{Mvar|AK}}と{{Mvar|Q{{sub|b}}P{{sub|c}}}}の交点、{{Mvar|M}}を{{Mvar|BK}}と{{Mvar|Q{{sub|c}}P{{sub|a}}}}の交点、{{Mvar|N}}を{{Mvar|CK}}と{{Mvar|Q{{sub|a}}P{{sub|b}}}}の交点、 {{Mvar|H{{sub|a}}, H{{sub|b}}, H{{sub|c}}}}をそれぞれ{{Math|△''ABC''}}の各[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]の垂足と定義する。 

* 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺の長さは等しい。つまり<math>|Q_bP_c|=|Q_cP_a|=|Q_aP_b| </math> 。
* 頂点と類似重心を結ぶ直線によって[[二等分線|二等分]]される<ref name=":1" />。つまり<math>|Q_bL|=|LP_c|=|Q_cM|=|MP_a|=|Q_aN|=|NP_b| </math>。

* 逆平行線であるタッカー六角形の辺は、[[垂足三角形|垂心三角形]]{{Math|''H{{sub|a}}H{{sub|b}}H{{sub|c}}''}}の対応する辺に[[平行]]である<ref name=":2">Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: ''On the Tucker Circles''. In: ''[[Forum Geometricorum]]'', Band 17 (2017), S. 157–175 ([https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201720.pdf Digitalisat])</ref>。つまり、<math>Q_bP_c \parallel H_bH_c,Q_cP_A \parallel H_cH_a,Q_aP_b \parallel H_aH_b </math>。

* {{Math|△''LNM''}}は{{Math|△''ABC''}}と<math>K </math>を中心にして[[図形の相似|相似]]である<ref name=":1" />。つまり、<math>\frac{|KL|}{|KA|}=\frac{|KM|}{|KB|}=\frac{|KN|}{|KC|}</math>。

* 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する頂点と外心を結ぶ直線と[[直交]]する<ref name=":1" />。つまり<math>Q_bP_c \perp AO,Q_cP_a \perp BO,Q_aP_b \perp CO </math>。

* タッカー円の中心{{Mvar|T}}はブロカール軸{{Mvar|KO}}上にある。比<math>\frac{|KT|}{|KO|}</math>は{{Math|△''LNM''}}と{{Math|△''ABC''}}の相似比に比例する<ref name=":1" />。つまり、<math>\frac{|KT|}{|KO|}=\frac{|KL|}{|KA|}=\frac{|KM|}{|KB|}=\frac{|KN|}{|KC|}</math>。

* タッカー円の[[包絡線]]はブロカール点を焦点とする{{仮リンク|内接楕円|en|Inellipse}}、ブロカール内接楕円（[[ブロカール楕円]]）である<ref name=":2" />。

* タッカー六角形が基準三角形に退化する、つまり<math>Q_b=P_c=A,Q_c=P_a=B,Q_a=P_b=C </math>となるとき、外接円をタッカー円として得られる。

タッカー円を線分<math>Q_bP_c</math>の符号付長さを[[媒介変数]]として表す。

: <math>
t=
\begin{cases}
 \ \ \, |Q_bP_c|, & (A \notin  P_cB) \\
-|Q_bP_c|,  &  (A \in P_cB)
\end{cases}
</math>

タッカー円の半径は<math>t</math>を用いて次の様に与えられる<ref name=":2" />

: <math>R(t)=\sqrt{ \frac{t^2 (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-t(a^2+b^2+c^2)abc+a^2b^2c^2}
{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} }</math>

代表的な値の場合を以下の表に載せた<ref name=":2" />。
{| class="wikitable"
|+
!タッカー円
!パラメタ
|-
|外接円
|<math>t=0</math>
|-
|第一ルモワーヌ円
|<math>t=\frac{abc}{a^2+b^2+c^2}</math>
|-
|第ニルモワーヌ円
|<math>t=\frac{2abc}{a^2+b^2+c^2}</math>
|-
|第三ルモワーヌ円
|<math>t=\frac{3abc}{a^2+b^2+c^2}</math>
|-
|六点円
|<math>t=\frac{1}{4} \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) }{abc}</math>
|-
|[[アポロニウス点|アポロニウス円]]
|<math>t=-\frac{a+b+c}{2}</math>
|}
比<math>t=\frac{|KT|}{|KO|}</math>で記述すると、次のようになる。

半径は、ωを[[ブロカール点|ブロカール角]]として

<math>R_T = R \sqrt{t^2 + (1-t)^2 \tan^2 \omega}</math>
{| class="wikitable"
!タッカー円
!パラメタ
|-
|外接円
|<math>t=1</math>
|-
|第一ルモワーヌ円
|<math>t=\frac{1}{2}</math>
|-
|第ニルモワーヌ円
|<math>t=0</math>
|-
|[[剣持点|剣持円]]
|<math>t = \tfrac{S}{S + \frac12 (a^2 + b^2 + c^2)}</math>（Sは[[面積]]）
|-
|[[ゲラトゥリ円]]
|<math>t = \sin^2 \omega</math>
|-
|六点円
|<math>t = - \cos \hat{A} \cos \hat{B} \cos \hat{C}</math>
|-
|アポロニウス円
|<math>t=\frac{p(p^2-r^2)}{abc}</math>（rは[[三角形の内接円と傍接円|内半径]]、pは[[半周長]]）
|}

== 空間 ==
ルモワーヌ点<ref group="註">四面体とその頂点の外接球に対する接面が成す四面体が配景である、または対面のルモワーヌ点と頂点を結ぶ直線が共点であるとき、その点を四面体のルモワーヌ点という。</ref>を持つ[[四面体]]（[[等力四面体]]）にも、同様にしてタッカー円の類似物、'''タッカー球'''を作ることができる。

等力四面体{{Math|''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}}''A''{{sub|3}}''A''{{sub|4}}}}とルモワーヌ点を中心に相似の位置にある四面体{{Math|''B''{{sub|1}}''B''{{sub|2}}''B''{{sub|3}}''B''{{sub|4}}}}について、平面{{Math|''B''{{sub|2}}''B''{{sub|3}}''B''{{sub|4}}}}と直線{{Math|''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}},''A''{{sub|1}}''A''{{sub|3}}, ''A''{{sub|1}}''A''{{sub|4}}}}の交点、平面{{Math|''B''{{sub|3}}''B''{{sub|4}}''B''{{sub|1}}}}と直線{{Math|''A''{{sub|2}}''A''{{sub|1}},''A''{{sub|2}}''A''{{sub|3}}, ''A''{{sub|2}}''A''{{sub|4}}}}の交点、平面{{Math|''B''{{sub|4}}''B''{{sub|1}}''B''{{sub|2}}}}と直線{{Math|''A''{{sub|3}}''A''{{sub|1}},''A''{{sub|3}}''A''{{sub|2}}, ''A''{{sub|1}}''A''{{sub|4}}}}の交点、平面{{Math|''B''{{sub|1}}''B''{{sub|2}}''B''{{sub|3}}}}と直線{{Math|''A''{{sub|4}}''A''{{sub|1}},''A''{{sub|4}}''A''{{sub|2}}, ''A''{{sub|4}}''A''{{sub|3}}}}の交点、延べ12点は同一球面上にある。この[[球面|球]]をタッカー球と言う<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |year=1915 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂出版部]] |page=928 |doi=10.11501/1082037 |author=[[ウジェーヌ・ルーシェ|るーしぇ]], [[チャールズ・ド・コンブルース|こんぶるーす]]}}</ref>。

== 出典 ==
<references />{{Reflist|group=註}}

== 参考文献 ==

* [[Roger A. Johnson]]: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel  ''Modern Geometry'')
* A. Emmerich: ''Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks''. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 53–67
* [[Ross Honsberger]]: ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry''. MAA, 1995, S. 87–98 ([[iarchive:episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/86/mode/2up|Digitalisat]])
* Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: ''On the Tucker Circles''. In: ''[[Forum Geometricorum]]'', Band 17 (2017), S. 157–175 ([https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201720.pdf Digitalisat])
* {{Cite book|title=La géometrie du triangle |year=1952 |publisher=Librairie Vuibert |author=Traian Lalescu, Trajan Lalesco |issn=1220-5605}}
* {{Cite book|title=La géométrie du triangle : exercices resolus |year=1997 |publisher=Hermann |author=Sortais, Yvonne et René |isbn=9782705614294}}
* François Lobit, ''Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle'', [[:fr:Publibook|Publibook]], 2015, pages 30,31

== 関連項目 ==

* [[トムセンの定理]]
* [[三角形の円錐曲線]]

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|id=TuckerCircles|title=Tucker Circles}}
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/TuckerCircle.shtml#explanation Tucker circles] auf cut-the-knot.org
* Jacques Bouteloup, ''[http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/Bouteloup_tucker.pdf Cercles de Tücker]'' <small>[https://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.dma.ens.fr%2Fculturemath%2Fmaths%2Fpdf%2Fgeometrie%2FBouteloup_tucker.pdf archive]</small>
{{デフォルトソート:たつかあえん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]