タッカー円

タッカー円（タッカーえん、テンプレート:Lang-en-short）^[1]^[2]は、幾何学において、ロバート・タッカーの名を冠するテンプレート:仮リンクの集合である。集合であることを明示する場合、タッカー円の群またはタッカー属とも言われる^[3]^[4]^[5]。タッカー円の特殊な場合として、外接円、テンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンク、テイラー円などがある。

定義

三角形の辺またはその延長上のある点から、他の辺の平行線か逆平行線を引く。その直線と3つめの辺（またはその延長）から、次の辺の、平行線と逆平行線のうち、先とは異なる方の直線を引き、別の辺との交点を取る。この操作を延べ6回繰り返して得た点は最初に決めた点と一致する。また、6回の操作の中で得た6点は共円である（タッカーの定理^[5]）。

この円をタッカー円といい、文中の平行線と逆平行線を辺とする六角形をタッカー六角形（Tucker hexagon）という^[6]^[7]。タッカー六角形はルモワーヌ六角形の一般化である。

性質と関係

三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺の長さは等しい。つまり $| Q_{b} P_{c} | = | Q_{c} P_{a} | = | Q_{a} P_{b} |$ 。
頂点と類似重心を結ぶ直線によって二等分される^[7]。つまり $| Q_{b} L | = | L P_{c} | = | Q_{c} M | = | M P_{a} | = | Q_{a} N | = | N P_{b} |$ 。

逆平行線であるタッカー六角形の辺は、垂心三角形テンプレート:Mathの対応する辺に平行である^[8]。つまり、 $Q_{b} P_{c} ∥ H_{b} H_{c}, Q_{c} P_{A} ∥ H_{c} H_{a}, Q_{a} P_{b} ∥ H_{a} H_{b}$ 。

テンプレート:Mathはテンプレート:Mathと $K$ を中心にして相似である^[7]。つまり、 $\frac{| K L |}{| K A |} = \frac{| K M |}{| K B |} = \frac{| K N |}{| K C |}$ 。

三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する頂点と外心を結ぶ直線と直交する^[7]。つまり $Q_{b} P_{c} ⊥ A O, Q_{c} P_{a} ⊥ B O, Q_{a} P_{b} ⊥ C O$ 。

タッカー円の中心テンプレート:Mvarはブロカール軸テンプレート:Mvar上にある。比 $\frac{| K T |}{| K O |}$ はテンプレート:Mathとテンプレート:Mathの相似比に比例する^[7]。つまり、 $\frac{| K T |}{| K O |} = \frac{| K L |}{| K A |} = \frac{| K M |}{| K B |} = \frac{| K N |}{| K C |}$ 。

タッカー円の包絡線はブロカール点を焦点とするテンプレート:仮リンク、ブロカール内接楕円（ブロカール楕円）である^[8]。

タッカー六角形が基準三角形に退化する、つまり $Q_{b} = P_{c} = A, Q_{c} = P_{a} = B, Q_{a} = P_{b} = C$ となるとき、外接円をタッカー円として得られる。

タッカー円を線分 $Q_{b} P_{c}$ の符号付長さを媒介変数として表す。

t = {\begin{matrix} | Q_{b} P_{c} |, & (A \notin P_{c} B) \\ - | Q_{b} P_{c} |, & (A \in P_{c} B) \end{matrix}

タッカー円の半径は $t$ を用いて次の様に与えられる^[8]

R (t) = \sqrt{\frac{t^{2} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}) - t (a^{2} + b^{2} + c^{2}) a b c + a^{2} b^{2} c^{2}}{(a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)}}

代表的な値の場合を以下の表に載せた^[8]。


タッカー円	パラメタ
外接円	$t = 0$
第一ルモワーヌ円	$t = \frac{a b c}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
第ニルモワーヌ円	$t = \frac{2 a b c}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
第三ルモワーヌ円	$t = \frac{3 a b c}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
六点円	$t = \frac{1}{4} \frac{(a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)}{a b c}$
アポロニウス円	$t = - \frac{a + b + c}{2}$

比 $t = \frac{| K T |}{| K O |}$ で記述すると、次のようになる。

半径は、ωをブロカール角として

$R_{T} = R \sqrt{t^{2} + (1 - t)^{2} \tan^{2} ω}$

タッカー円	パラメタ
外接円	$t = 1$
第一ルモワーヌ円	$t = \frac{1}{2}$
第ニルモワーヌ円	$t = 0$
剣持円	$t = \frac{S}{S + \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2})}$ （Sは面積）
ゲラトゥリ円	$t = \sin^{2} ω$
六点円	$t = - \cos \hat{A} \cos \hat{B} \cos \hat{C}$
アポロニウス円	$t = \frac{p (p^{2} - r^{2})}{a b c}$ （rは内半径、pは半周長）

空間

ルモワーヌ点^{[註 1]}を持つ四面体（等力四面体）にも、同様にしてタッカー円の類似物、タッカー球を作ることができる。

等力四面体テンプレート:Mathとルモワーヌ点を中心に相似の位置にある四面体テンプレート:Mathについて、平面テンプレート:Mathと直線テンプレート:Mathの交点、平面テンプレート:Mathと直線テンプレート:Mathの交点、平面テンプレート:Mathと直線テンプレート:Mathの交点、平面テンプレート:Mathと直線テンプレート:Mathの交点、延べ12点は同一球面上にある。この球をタッカー球と言う^[9]。

出典

↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:Cite book
↑ ^5.0 ^5.1 テンプレート:Cite book
↑ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 ^7.3 ^7.4 Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)
↑ テンプレート:Cite book

テンプレート:Reflist

参考文献

Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 53–67
Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)
Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)
テンプレート:Cite book
テンプレート:Cite book
François Lobit, Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle, Publibook, 2015, pages 30,31

外部リンク

テンプレート:MathWorld
Tucker circles auf cut-the-knot.org
Jacques Bouteloup, Cercles de Tücker archive

引用エラー: 「註」という名前のグループの <ref> タグがありますが、対応する <references group="註"/> タグが見つかりません

[1] テンプレート:Cite book

[2] テンプレート:Cite book

[3] テンプレート:Cite book

[:0-4] テンプレート:Cite book

[:3-5] 5.0 ^5.1 テンプレート:Cite book

[6] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)

[:1-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 ^7.3 ^7.4 Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)

[:2-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)

[10] テンプレート:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[註 1]

[9]

タッカー円

目次

定義

性質と関係

空間

出典

参考文献

関連項目

外部リンク

ナビゲーションメニュー

タッカー円

定義

性質と関係

空間

出典

参考文献

関連項目

外部リンク

ナビゲーション メニュー

検索

ナビゲーションメニュー