トムセンの定理

トムセンの定理$P_7=P_1$

トムセンの定理（トムセンのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、ゲルハルト・トムセンに因んで命名された初等幾何学の定理である。三角形の辺に平行な線から成るテンプレート:仮リンクは閉曲線となることを主張する。

テンプレート:Mathの辺（またはその延長）テンプレート:Mvar上に点テンプレート:Mathをとる。テンプレート:Mathを通りテンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Math、テンプレート:Mathを通りテンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Math、テンプレート:Mathを通りテンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Math、テンプレート:Mathを通りテンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Math、テンプレート:Mathを通りテンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mathとする。テンプレート:Mathを通りテンプレート:Mvarと平行な直線とテンプレート:Mvarの交点はテンプレート:Mathである。つまり折れ線テンプレート:Mathは閉じる。また、いづれかの点が辺の中点である場合、その連鎖の長さは3になる

またテンプレート:Mathは同一楕円上にある。

$k=\frac{B{P}_1}{BC}=(\frac{C{P}_2}{CA}=\frac{A{P}_3}{AB})$

としてその面積は

$\frac{4\pi }{3k^2-3k+1}S$

である。ただしテンプレート:Mvarは三角形の面積。楕円の中心は三角形の重心。テンプレート:Mathのときシュタイナーの内接楕円、テンプレート:Mathのときシュタイナーの外接楕円である。

出典

• Satz von Thomsen In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, テンプレート:ISBN2, pp. 358–359 (German)

関連項目

• パップスの定理
• タッカー円
• 三角形の円錐曲線

外部リンク

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (German)
• テンプレート:MathWorld
• Thomsen's Figure at Wolfram Demonstrations Project.