ダランベールの式のソースを表示

'''ダランベールの式'''（ダランベールのしき、{{Lang-en-short|{{lang|fr|d´Alembert}}'s formula}}）とは、[[数学]]の特に[[偏微分方程式]]の分野における次の形の一次元[[波動方程式]]の一般解を与える式である。

:<math>\begin{cases}
u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0, \\
u(x,0)              = g(x), \\
u_t(x,0)            = h(x).
\end{cases}</math>

ここで {{math|''x'' &isin; '''R'''}}, {{math|''t'' > 0}} である。名称は数学者[[ジャン・ル・ロン・ダランベール]]の名にちなむ<ref>D'Alembert (1747) [https://books.google.co.jp/books?id=lJQDAAAAMAAJ&pg=PA214&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration"] (Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), ''Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin'', vol. 3, pages 214-219. See also:  D'Alembert (1747) [https://books.google.co.jp/books?id=lJQDAAAAMAAJ&pg=PA220&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration"] (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), ''Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin'', vol. 3, pages 220-249. See also: D'Alembert (1750) [https://books.google.co.jp/books?id=m5UDAAAAMAAJ&pg=PA355&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration,"] ''Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin'', vol. 6, pages 355-360.</ref>。

== 解説 ==

この偏微分方程式の[[特性曲線法|特性曲線]]は {{math|1=''x'' ± ''ct'' = (定数)}} である。したがって、変数変換 {{math2|1=''&mu;'' := ''x'' + ''ct'', ''&eta;'' := ''x'' &minus; ''ct''}} によりこの偏微分方程式を書き換えると、{{math|1=''u{{sub|&mu;&eta;}}'' = 0}} となる。この一般解は <math>u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)</math> と表せる。ここで {{mvar|F}} と {{mvar|G}} は {{math|''C''<sup>1</sup>}} 級関数である。{{math|''x'', ''t''}} 座標に戻すと次のようになる。

:<math>(*)\quad u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)</math>
:（関数 {{mvar|F}} と {{mvar|G}} が {{math|''C''<sup>2</sup>}} 級なら、{{mvar|u}} も {{math|''C''<sup>2</sup>}} 級となる。）

この解 {{mvar|u}} は、一定速度 {{mvar|c}} によって {{mvar|x}} 軸に沿って反対方向に進む二つの波と解釈できる。

今、[[コーシー境界条件|コーシーデータ]] <math>u(x,0)=g(x)</math>、<math>u_t(x,0)=h(x)</math> に対する解を考える。<math>u(x,0)=g(x)</math> より、<math>F(x)+G(x)=g(x)</math> が得られる。<math>u_t(x,0)=h(x)</math> より、<math>cF'(x)-cG'(x)=h(x)</math> が得られる。この二つ目の式を積分すると、次が得られる。

:<math>cF(x)-cG(x)=\int_{-\infty}^x h(\xi)\,d\xi + c_1.</math>

この系を解くことで、次が得られる。

:<math>\begin{align}
F(x) &= \frac{-1}{2c}\left[-cg(x)-\left(\int_{-\infty}^x h(\xi)\,d\xi +c_1 \right)\right], \\
G(x) &= \frac{-1}{2c}\left[-cg(x)+\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) \,d\xi +c_1 \right)\right].
\end{align}</math>

ここで上述の式 (&lowast;) より、次の'''ダランベールの式'''が得られる：

:<math>u(x,t) = \frac{1}{2}\left[g(x-ct) + g(x+ct)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} h(\xi)\,d\xi.</math>

== 関連項目 ==
* [[ダランベール演算子]]

== 脚注 ==

{{reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE27 非同次波動方程式の解法の一例]（www.exampleproblems.com による）
 
{{analysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:たらんへえるのしき}}
[[Category:偏微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]