チェビアンのソースを表示

[[幾何学]]において、'''チェビアン'''<ref>{{Cite journal|title=構成的ガロア理論と数論的基本群における計算代数手法の揺籃|url=https://cir.nii.ac.jp/crid/1040000781919944064|journal=(No Title)|language=ja}}</ref>（[[英語|英]]:Cevian）または'''チェバ線'''<ref name=":1" />とは[[三角形]]の[[頂点]]とその対辺を結ぶ[[線分]]の総称である<ref>{{Cite book |last=Coxeter |first=H. S. M. |author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |last2=Greitzer |first2=S. L. |author2-link=Samuel L. Greitzer |year=1967 |title=Geometry Revisited |url=https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe |location=Washington, DC |publisher=[[Mathematical Association of America]] |isbn=0-883-85619-0 |page=[https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/n15 4]}}</ref><ref>Some authors exclude the other two sides of the triangle, see {{Harvtxt|Eves|1963|loc=p.77}}</ref>。[[中線]]や[[二等分線|角の二等分線]]などはチェバ線の特別な場合である。チェバ線に関する有名な定理を発表した[[ジョバンニ・チェバ]]に由来する<ref>{{Cite journal|last=Lightner|first=James E.|year=1975|title=A new look at the 'centers' of a triangle|journal=[[The Mathematics Teacher]]|volume=68|issue=7|pages=612–615|JSTOR=27960289}}</ref>。

== 長さ ==
[[ファイル:Stewarts_theorem.svg|右|サムネイル|三角形とそのチェビアン{{Mvar|d}} ]]

=== スチュワートの定理 ===
チェビアンの長さ''{{mvar|d}}''は[[スチュワートの定理]]を用いて次の様に求めることができる。

: <math>\,b^2m + c^2n = a(d^2 + mn).</math>

=== 中線 ===
チェビアンが[[中線]]である場合、[[中線定理]]を用いることができる。

: <math>\,m(b^2 + c^2) = a(d^2 + m^2)</math>
: <math>\,2(b^2 + c^2) = 4d^2 + a^2</math>
: <math>d= \frac\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}2 .</math>

ただし<math>\,a = 2m.</math>

=== 角の二等分線 ===
チェビアンが[[角の二等分線]]の場合、以下の様に求められる<ref name="Johnson">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.　</ref>。

: <math>\,(b + c)^2 = a^2 \left( \frac{d^2}{mn} + 1 \right),</math>
: <math>d^2+mn = bc</math>
: <math>d= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}</math>

ただし、sは[[半周長]]（<math>s = \tfrac{a+b+c}{2}</math>）

=== 頂垂線 ===
チェビアンが[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]である場合、以下の様に求められる。

: <math>\,d^2 = b^2 - n^2 = c^2 - m^2</math>
: <math>d=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a},</math>

== 比率 ==
[[ファイル:Ceva's_theorem_1.svg|右|サムネイル|3つのチェビアンが[[共点]]]]
図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ<ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996</ref>。

: <math>\begin{align}
& \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}  \cdot \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} = 1 \\
& \\
& \frac{\overline{AO}}{\overline{OD}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{EC}} + \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}; \\
& \\
& \frac{\overline{OD}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{OE}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{OF}}{\overline{CF}} = 1; \\
& \\
& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.
\end{align}</math>

最初の式は[[チェバの定理]]である。 

=== 中界線 ===
周長を二等分するチェビアンは{{仮リンク|中界線|en|Splitter (geometry)}}と呼ばれ、[[ナーゲル点]]で交わる。

=== 面積の二等分線 ===
面積を二等分するチェビアンは[[中線]]であり、[[幾何中心|重心]]で交わる。

=== 角の三等分線 ===
6本の角の三等分線の辺に対して同じ側にあるもの交点は、[[モーリーの定理|モーリーの三角形]]と呼ばれる[[正三角形]]を成す。

== チェビアンで分割された三角形の面積 ==
[[ラウスの定理]]によって[[三角形]]とチェビアンで作られた三角形との比を決定することができる。

== チェバ三角形 ==
{{Math|△''ABC''}}と点{{Math|''P''}}について直線{{Math|''BC'',''AP''}}の交点を{{Math|''D''}}、直線{{Math|''CA'',''BP''}}の交点を{{Math|''E''}},直線{{Math|''AB'',''CP''}}の交点を{{Math|''F''}}とする。このとき、線分{{Mvar|AD,BE,CF}}をチェバ族、チェバ単体という<ref name=":3">{{Cite book|和書 |edition=初版 |title=重心座標による幾何学 |publisher=[[現代数学社]] |date=2014 |location=[[京都市]] |isbn=978-4-7687-0437-0 |editor-first=Shin |editor-last=Hitotsumatsu |page=20 |author=[[一松信]],[[畔柳和生]]}}</ref>。また、{{Math|△''DEF''}}を{{Math|''P''}}の'''チェバ三角形'''（Cevian triangle）という<ref>{{Cite web |title=Cevian Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/CevianTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref name=":0" /><ref name=":2">{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-07-07}}</ref>。{{Math|''P''}}の[[重心座標]]を{{Mvar|p : q : r}}とし、{{Math|''D,E,F''}}の重心座標は以下の様に与えられる。

<math>D= 0 : q : r ,\quad E= p:0: r,\quad  F= p:q:0
</math>

=== 例 ===

* [[重心]]のチェバ三角形は[[中点三角形]]
* [[垂心]]のチェバ三角形は[[頂垂線 (三角形)|垂足三角形]]

=== チェバ円 ===
チェバ三角形の[[外接円]]を'''チェバ円'''（cevian circle）という<ref>{{Cite web |title=Cevian Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/CevianCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

==== 例 ====

* [[重心]]、垂心のチェバ円は[[九点円]]
* [[ジェルゴンヌ点]]のチェバ円は[[内接円]]

=== チェバ円共役 ===
{{Math|△''ABC''}}と点{{Math|''P''}}について、{{Math|''P''}}のチェバ三角形を{{Math|△''DEF''}}、チェバ円を{{Math|Γ}}とする。また{{Math|Γ}}と{{Math|''BC,CA,AB''}}の、{{Math|''D,E,F''}}でない方の交点をそれぞれ{{Math|''A",B",C"''}}とする。このとき、3つのチェビアン{{Math|''AA",BB",CC"''}}は一点で交わる。この3つのチェビアンの交点を、'''チェバ円共役点'''と言い、{{Math|''P''}}とそのチェバ円共役点の関係を'''チェバ円共役'''（Cyclocevian conjugate）という<ref>{{Cite web |title=Cyclocevian Conjugate |url=https://mathworld.wolfram.com/CyclocevianConjugate.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref name=":0" />。またチェバ円共役点のチェバ三角形を'''チェバ円三角形'''（Cyclocevian triangle）と言う。チェバ円共役が成り立つことは[[テルケムの定理]]と呼ばれている。

==== 例 ====

* ジェルゴンヌ点は自身とチェバ円共役
* 重心と垂心はチェバ円共役

{{Math|''P''}}の[[三線座標]]を{{Mvar|p : q : r}}、{{Mvar|a,b,c}}を三角形の辺の長さとし、チェバ円共役点の三線座標は以下の式で与えられる。<math display="block">\frac{1}{a(p^2q^2+p^2r^2-q^2r^2)+2pqr(ap+bq+cr) \cos A}:\frac{1}{b(q^2r^2+q^2p^2-r^2p^2)+2pqr(ap+bq+cr)  \cos B}
:\frac{1}{c(r^2p^2+r^2q^2-p^2q^2)+2pqr(ap+bq+cr) \cos C}</math>

=== 反チェバ三角形 ===
{{Math|△''ABC''}}と点{{Math|''P''}}について、以下の3つの条件を満たす三角形{{Math|△''A'B'C'''}}を{{Math|''P''}}の'''反チェバ三角形'''（Anticevian triangle）または'''反チェバ単体'''という<ref>{{Cite web |title=Anticevian Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/AnticevianTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref name=":0" /><ref name=":3" />。反チェバ三角形を成す直線は反チェバ線と言われる。

* {{Math|''A'B'C'''}}はそれぞれ{{Math|''AP,BP,CP''}}上にある。
* {{Math|''B'C',C'A',A'B'''}}はそれぞれ点{{Math|''A,B,C''}}を通る。
* {{Math|△''A'B'C'''}}に対する{{Math|''P''}}のチェバ三角形は{{Math|△''ABC''}}である。

{{Math|''P''}}の[[三線座標]]を{{Mvar|p : q : r}}とし、{{Math|''A',B',C'''}}の三線座標は以下の様に与えられる。

<math>A'= -p : q : r ,\quad B' = p:-q: r,\quad  C'= p:q:-r
</math>

==== 例 ====

* [[内心]]の反チェバ三角形は傍心三角形
* 重心の反チェバ三角形は反中点三角形
* [[類似中線|類似重心]]の反チェバ三角形は[[外接三角形]]

== チェバ共役 ==
{{Math|△''ABC''}}と任意の点{{Math|''P,Q''}}について、{{Math|''P''}}のチェバ三角形と{{Math|''Q''}}の反チェバ三角形は[[配景]]である。この配景の中心を{{Math|''Q''}}の'''{{Math|''P''}}チェバ共役点'''といい、{{Math|''Q''}}と{{Math|''Q''}}の{{Math|''P''}}チェバ円共役点の関係を'''チェバ共役'''(Ceva conjugate)という<ref>{{Cite web |title=Ceva Conjugate |url=https://mathworld.wolfram.com/CevaConjugate.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref name=":0" /><ref name=":2" />。

=== 例 ===

* [[ミッテンプンクト]]と内心は重心チェバ共役<ref name=":0">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-21}}</ref>
* [[類似中線|類似重心]]と[[外接円|外心]]は重心チェバ共役

{{Math|''P''}}の[[三線座標]]を{{Mvar|p : q : r}}、{{Math|''Q''}}の三線座標を{{Mvar|p' : q' : r'}}とすると、{{Math|''Q''}}の{{Math|''P''}}チェバ共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

<math display="block">p'(- \frac{p' }{p}+\frac{q'}{q}+\frac{r'}{ r } ):q'(- \frac{q' }{q}+\frac{r'}{r}+\frac{p'}{p} )
:r'(- \frac{r' }{r}+\frac{p'}{p}+\frac{q'}{ q } )</math>

このように3つの三角形{{Mvar|D,E,F}}について、{{Mvar|D}}が{{Mvar|E}}の、{{Mvar|E}}が{{Mvar|F}}のチェビアン三角形になっていることを'''チェバ線の入れ子'''（Cevian nest）と言う<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何をめぐる船旅 |date=2/15 |year=2023 |publisher=日本評論社 |page=82}}</ref>。チェバ線の入れ子の2組が配景的であるとき、残り1組も配景的である<ref name=":0" /><ref>{{Cite web |url=https://cs.earlham.edu/~minevig/Papers/Cevian%20Nest.pdf |title=Cevian nest |access-date=2024/3/23 |publisher=Igor Minevich}}</ref>。

== チェバ点 ==
{{Math|△''ABC''}}と任意の点{{Math|''P,Q''}}について、{{Math|''Q''}}の反チェバ三角形を{{Math|△''A"B"C"''}}、{{Math|''BC,A"P''}}の交点を{{Math|''A'''}}とする。{{Math|''B',C' ''}}も同様に定義する。 {{Math|△''ABC''}}と{{Math|△''A'B'C' ''}} は配景的であり、配景の中心を{{Math|''P,Q''}}の'''チェバ点'''（cevapoint）という<ref name=":0" /><ref>{{Cite web |title=Cevapoint |url=https://mathworld.wolfram.com/Cevapoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref name=":2" />。このとき{{Math|''P''}}は{{Math|''Q''}}の{{Math|''P,Q''}}のチェバ点チェバ共役、{{Math|''Q''}}は{{Math|''P''}}の{{Math|''P,Q''}}のチェバ点チェバ共役と言うことができる。

{{Math|''P''}}の[[三線座標]]を{{Mvar|p : q : r}}、{{Math|''Q''}}の三線座標を{{Mvar|p' : q' : r'}}とすると、{{Math|''P,Q''}}のチェバ点の三線座標は以下の式で与えられる。

<math>(pq' + qp' )(pr' + rp' ) : (qr' + rq')(qp' + pq') : (rp'  + pr')(rq' + qr')</math>

== 関連 ==

* [[メネラウスの定理]]
* [[垂足三角形]]
* [[三線極線]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 関連 ==

* {{Citation|title=A Survey of Geometry (Vol. One)|last=Eves|first=Howard|year=1963|publisher=Allyn and Bacon}}
* Ross Honsberger (1995). ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry'', pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
* Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." ''American Mathematical Monthly'' 36: 476–479.
* Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” ''Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions'', Vol '''24 (02)''', pp. 29–37.
{{デフォルトソート:ちえひあん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]