チェビシェフの不等式のソースを表示

'''チェビシェフの不等式'''（チェビシェフのふとうしき、{{lang-en-short|Chebyshev's inequality}}）は、[[不等式]]で表される、[[確率論]]の基本的な[[定理]]である。[[パフヌティ・チェビシェフ]]によって初めて証明された。

[[標本]]または[[確率分布]]は、[[平均]]の周りに、ある[[標準偏差]]をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の {{mvar|n}} 倍以上離れた値は全体の {{math|1/''n''{{sup|2}}}} 以下である。

== 歴史 ==
この定理はロシアの数学者[[パフヌティ・チェビシェフ]]の名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあった[[:en:Irénée-Jules Bienaymé|Irénée-Jules Bienaymé]]である<ref>{{cite book| |title=The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 |edition=3rd |author=Donald Knuth |authorlink1=Donald Knuth |year=1997 |publisher=Addison–Wesley |location=Reading, Massachusetts |isbn=978-0-201-89683-1 |url=http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/taocp.html |accessdate=1 October 2012 |ref=KnuthTAOCP1}}</ref>{{rp|98}}。

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明され<ref name="Bienayme1853">{{cite journal |author=I.-J. Bienaymé | year = 1853 | title = Considérations àl'appui de la découverte de Laplace | url = | journal = Comptes Rendus de l'Académie des Sciences | volume = 37 | issue = | pages = 309–324 |ref="Bienayme1853"}}</ref>、後の[[1867年]]にチェビシェフによってより一般的な形で証明された<ref name="Chebyshev1867">{{cite journal |author=P. Tchebichef |title=Des valeurs moyennes |journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |year=1867 |volume=12 |series=2 |pages=177–184 |ref="Chebyshev1867"}}</ref><ref>{{Cite book| last = Routledge| first = Richard| title = Chebyshev’s inequality| url = https://www.britannica.com/science/Chebyshevs-inequality|publisher = Encyclopedia Britannica}}</ref>。彼の教え子である[[アンドレイ・マルコフ]]は、1884年に博士論文の中で別証明を与えた<ref name="Markov1884">Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg.</ref>。

== 一般的表現 ==
この不等式は[[測度論]]を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（[[測度空間]]の[[次元]]が 1）として、確率論での形が導かれる。

=== 測度論的表現 ===
{{math|(''X'', Σ, ''μ'')}} を測度空間、{{mvar|f}} を {{mvar|X}} 上で定義された拡張[[実数]]（[[無限|無限大]]を含む）値可測[[関数 (数学)|関数]]とすると、任意の実数 {{math2|''t'' > 0}} に対して
:<math>\mu (\{ x \in X \,:\,\, |f(x)| \geq t\} ) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \, d\mu</math>
となる。より一般的には、{{mvar|g}} が非負実数値可測関数で、{{mvar|f}} の値域の範囲で減少しないとすれば、 <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math>と定義し
:<math>\mu (\{ x \in X \,:\,\, f(x) \geq t\}) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu</math>
となる。最初の式は、ここで {{math|''g''(''t'')}} を
:<math>g(t)=\begin{cases}t^2 &\mbox{if}~~~t\geq 0\\ 0 &\mbox{otherwise}\end{cases}</math>
で定義し、{{mvar|f}} の代わりに {{math|{{!}}''f''{{!}}}} を用いれば導かれる。

=== 確率論的表現 ===
{{mvar|X}} を、[[期待値]]が {{mvar|μ}}, 有限の[[分散 (確率論)|分散]]が {{math|''σ''{{sup|2}}}} である確率変数とすると、任意の実数 {{math|''k'' > 0}} に対して
:<math>\Pr (\left| X-\mu \right| \geq k\sigma )\leq \frac{1}{k^2}</math>
ただし {{math|''k'' > 1}} の場合にだけ意味がある。

[[確率の公理#余事象の法則|余事象]]について、こうなる。
:<math>\Pr (\left| X-\mu \right| < k\sigma ) > 1 - \frac{1}{k^2}</math>

例として、{{math|''k'' {{=}} {{sqrt|2}}}} を使えば、少なくとも半数の値は区間 {{math|(''μ'' &minus; {{sqrt|2}}''σ'',}} &nbsp; {{math|''μ'' + {{sqrt|2}}''σ'')}} 内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は[[大数の法則]]（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。

=== 例 ===
分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 ({{math|''μ''}}) が 1000 文字であって、標準偏差 ({{math|''σ''}}) が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。
* 長さが 717 から 1282 文字の文章の割合は少なくとも 50% である（{{math|''k'' {{=}} {{sqrt|2}} }} の場合）。
* 長さが 600 から 1400 文字の文章の割合は少なくとも 75% である（{{math|''k'' {{=}} 2}} の場合）。
* 長さが 400 から 1600 文字の文章の割合は少なくとも 88% である（{{math|''k'' {{=}} 3}} の場合）。
* 長さが 200 から 1800 文字の文章の割合は少なくとも 93% である（{{math|''k'' {{=}} 4}} の場合）。
* 長さが 2000 文字以下の文章の割合は少なくとも 96% である（{{math|''k'' {{=}} 5}} の場合）。

もし文章の長さが[[正規分布]]に従っているなら、次がいえる。
* 長さが 770 から 1230 文字の文章 {{math|(''μ'' &minus; 1.15''σ'',}} &nbsp; {{math|''μ'' + 1.15''σ'')}} の割合は 75% である。
* 長さが 717 から 1282 文字の文章 {{math|(''μ'' &minus; {{sqrt|2}}''σ'',}} &nbsp; {{math|''μ'' + {{sqrt|2}}''σ'')}} の割合は 84% である。
* 長さが 600 から 1400 文字の文章 {{math|(''μ'' &minus; 2''σ'',}} &nbsp; {{math|''μ'' + 2''σ'')}} の割合は 95% である。

== 証明 ==
=== 測度論的な証明 ===
{{mvar|A{{sub|t}}}} を {{math|''A{{sub|t}}'' {{=}} {''x'' ∈ ''X'' {{!}} ''f''(''x'') ≥ ''t''}}} で定義すると
:<math>0 \leq g(t) \leq g(f(x))=g \circ f(x)</math>
がすべての<math>x\in A_t</math>に対して成り立つことより、
:<math>g(t)\mu ( A_t )=\int_{A_t} g(t) \, d\mu \leq \int_{A_t} g\circ f\,d\mu \leq \int_X g\circ f\,d\mu</math>
となる。上の不等式を {{math|''g''(''t'')}} で割れば、目的の不等式が得られる。

=== 確率論的な証明 ===
任意の実数確率変数 {{mvar|Y}} と任意の正の実数 {{mvar|a}} に対して、[[マルコフの不等式]]から {{math2|Pr({{!}}''Y''{{!}} > ''a'') ≤ E({{!}}''Y''{{!}})/''a''}} が得られる。この不等式に {{math2|''Y'' {{=}} (''X'' &minus; ''μ''){{sup|2}}}}, {{math2|''a'' {{=}} (''σk''){{sup|2}}}} を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象 {{mvar|A}} に対し {{mvar|I{{sub|A}}}} が {{mvar|A}} の[[指示関数]]に従う確率変数である（つまり {{mvar|I{{sub|A}}}} は {{mvar|A}} が起これば {{math|1}}、そうでなければ {{math|0}}）とする。すると
:<math>\begin{align}
\Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma})= \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1}) \\
\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right) = \frac{1}{k^2} \frac{\operatorname{E}((X-\mu)^2)}{\sigma^2} = \frac{1}{k^2}
\end{align}</math>
と証明される。


== 出典　==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[マルコフの不等式]]

{{DEFAULTSORT:ちえひしえふのふとうしき}}
[[Category:確率論]]
[[Category:不等式]]
[[Category:パフヌティ・チェビシェフ]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]